Calcul différentiel/Théorèmes utiles

Dans ce chapitre, nous rappelons quelques théorèmes importants qui serviront l'étude ultérieure des recherches d'extrema et des équations aux dérivées partielles.

Définitions

L'espace ${ℝ}^n$ usuel est un espace de Banach.

Entre espaces de dimension finie, toute application linéaire est continue. Entre espaces de Banach, d'après le théorème de Banach-Schauder, la réciproque d'une bijection linéaire continue est toujours continue.

Théorème des fonctions implicites

Énoncé

Modèle:Exemple

Remarques

• L'intérêt de ce théorème est qu'on dispose de nombreux outils pour étudier les nappes paramétrées (en dimension 3), notamment ceux permettant la recherche d'extrema, sujet abordé au chapitre suivant.
• En différentiant l'équation $f(x,g\left(x\right))=0$, on obtient :

  $\mathrm{\forall }x\in V\mathrm{d}{g}_x=-{\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,g\left(x\right))\right)}^{-1}\circ \frac{\partial f}{\partial x}(x,g\left(x\right))$,

  Si $k\ge 2$, en différentiant deux fois $f(x,g\left(x\right))=0$, on obtient :

  $\mathrm{\forall }x\in V{\mathrm{d}}^2{g}_x=-{\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,g\left(x\right))\right)}^{-1}\circ [\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,g\left(x\right))+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,g\left(x\right))\circ (\mathrm{i}\mathrm{d},\mathrm{d}{g}_x)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,g\left(x\right))\circ (\mathrm{d}{g}_x,\mathrm{d}{g}_x)]$,

  expression dans laquelle on peut remplacer $\mathrm{d}{g}_x$ à l'aide de l'équation précédente. En continuant (jusqu'à l'ordre $k$), on peut ainsi exprimer les différentielles successives de $g$ en fonction de celles de $f$.

• Sur toute partie connexe C de V contenant $a$, $g$ est alors la seule application continue vérifiant

  $g\left(a\right)=b\text{et}\mathrm{\forall }x\in C(x,g\left(x\right))\in U\text{ et }f(x,g\left(x\right))=0$.
  (C'est un exercice sur la connexité.)

Inégalité des accroissements finis

Remarque

Théorème de Schwarz

Énoncé

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Modèle:Théorème

Remarques

La version plus souvent énoncée dans les ouvrages suppose $f$ définie seulement au voisinage du point $a$, mais elle résulte du théorème ci-dessus, en étendant de façon arbitraire une telle fonction à l'espace entier.

En mathématiques, l’intérêt de ce théorème est multiple. D'une part, à l'affirmative, il permet de réaliser les calculs de dérivée partielle, donc simplifie l'étude des équations aux dérivées partielles. D'autre part, sa contraposée permet par l'absurde de montrer que certaines fonctions ne sont pas deux fois différentiables, comme dans l'exemple ci-dessous.

En physique et en chimie, les hypothèses de ce théorème sont souvent vérifiées et son utilisation est presque systématiquement implicite. On montre ainsi des égalités en thermodynamique classique, des formules fondamentales d'analyse vectorielle, ou dans l'étude des ondes (par exemple dans l'équation des télégraphistes).

Contre-exemple

Le contre-exemple suivant, proposé par Peano en 1884, montre qu'une fonction peut, en un point, posséder une matrice hessienne non symétrique (donc ne pas être deux fois différentiable, d'après le théorème de Schwarz).

Il s'agit de la fonction :

$f:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto \{\begin{array}{cc}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}& \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$

Ses dérivées partielles premières sont :

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)}{x}=-y$

et

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)}{y}=x$,

de sorte que

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1\text{tandis que}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1$.

Développement limité

Exemple : formule de Taylor-Young à l’ordre 2

Si $f:E\to F$ est deux fois dérivable au point $a$, alors

$f(a+h)=f\left(a\right)+\mathrm{d}{f}_a\left(h\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{d}}^2{f}_a(h,h)+o(\Vert h{\Vert }^2)$,

ce qui, si $E={ℝ}^n$, s'écrit :

$f(a_1+h_1,\dots ,a_n+h_n)=f(a_1,\dots ,a_n)+\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(a\right)h_i+\frac{1}{2}\sum _{i,j}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}\left(a\right)h_i{h}_j+o(\Vert h{\Vert }^2)$.

La formule de Taylor-Young vectorielle ci-dessus se démontre de la même façon que son homologue réelle, à l'aide du lemme suivant : Modèle:Lemme

Théorème de différentiation terme à terme

Énoncé

(Si les $\mathrm{d}{f}_n$ sont continues, $\mathrm{d}f$ le sera donc également.)

Remarques

Ce théorème généralise le théorème de dérivation terme à terme valable pour les suites de fonctions d'une variable réelle ou, plus généralement, le théorème de dérivation d'une intégrale paramétrique. Il intervient notamment dans le cas de fonctions « limites », qu'on ne sait pas exprimer autrement que comme limite d'une suite, ou dans le cadre des séries de fonctions.