Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques

Définition

Modèle:Définition De telles suites peuvent être entièrement « résolues », c'est-à-dire que l'on sait exprimer « simplement » $u_n$ en fonction de $n$ (et bien sûr, de $a$, $b$ et $u_0$).

C'est l’objet de ce chapitre.

Étude de cas particuliers

Avant de nous lancer dans la « résolution » générale, regardons quelques cas particuliers :

• si $a=0$, il s'agit d'une suite constante à partir de l'indice 1 : $u_n=b$ ;
• si $a=1$, il s'agit simplement d'une suite arithmétique de raison $b$, donc $u_n=u_0+nb$ ;
• si $b=0$, on a une suite géométrique, donc $u_n=u_0{a}^n$.

L'idée, dans un premier temps, va être d'observer ce qui se passe pour les premiers termes de la suite.

Les premiers termes de la suite

$\begin{array}{cc}{u}_1& =a{u}_0+b\\ u_2& =a{u}_1+b\\ & =a(a{u}_0+b)+b\\ & =a^2{u}_0+ab+b\\ u_3& =a{u}_2+b\\ & =a(a^2{u}_0+ab+b)+b\\ & =a^3{u}_0+a^{2}b+ab+b\\ u_4& =a{u}_3+b\\ & =a(a^3{u}_0+a^{2}b+ab+b)+b\\ & =a^4{u}_0+a^{3}b+a^{2}b+ab+b\\ \dots \end{array}$

Il semblerait bien que

$u_n=a^n{u}_0+a^{n-1}b+\dots +ab+b$.

Vérifions cette conjecture dans les cas particuliers :

• si $n=0$, notre formule devient $u_0=a^n{u}_0+0$ (une somme vide étant nulle par définition) donc elle est toujours vérifiée (y compris si $a=0$, avec la [[w:Zéro puissance zéro|convention usuelle 0Modèle:Exp = 1]]) ;
• si $a=0$, elle équivaut, pour tout $n>0$, à : $u_n=b$ ;
• si $a=1$, elle donne :

  $u_n=1^n{u}_0+1^{n-1}b+\dots +1b+b=u_0+b+\dots +b=u_0+nb$ ;

• si $b=0$, elle donne bien $u_n=a^n{u}_0$.

Est-ce bon dans le cas général ?

Le cas général

Réécrivons la formule précédente sous une forme plus compacte :

$u_n=a^n{u}_0+a^{n-1}b+\dots +ab+b=a^n{u}_0+b\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i$

et démontrons qu'elle caractérise bien les suites arithmético-géométriques de paramètres $a$ et $b$.

Si $a\ne 1$, la somme de droite du théorème est une somme géométrique, que l’on sait donc calculer :

$\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i=\frac{1-a^n}{1-a}$.

Par conséquent : Modèle:Corollaire L'étude du comportement de ces suites est relativement facile à partir de cette expression.