Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques

Définition par récurrence

Exercices d'application

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont arithmétiques ? Quelles sont alors leurs raisons respectives ?

• $u_0=1,u_1=3,u_2=5,u_3=7,u_4=9,u_5=11,u_6=13,\dots$
• $u_0=2,u_1=5,u_2=7,u_3=12,u_4=19,u_5=31,u_6=50,u_7=81\dots$
• $u_0=0,u_1=5,u_2=10,u_3=15,u_4=20,u_5=25,u_6=30,u_7=35\dots$
• $u_0=7,u_1=14,u_2=28,u_3=56,u_4=112,u_5=224,u_6=448\dots$
• $u_0=5u_1=3,u_2=1,u_3=-1,u_4=-3,u_5=-5,u_6=-7\dots$

Terme général d'une suite arithmétique

Pour arriver à $u_n$, il faut ajouter $n$ fois la raison $r$ au premier terme $u_0$

Utilisation du terme général

1. Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0=-3$ et $r=3,5$. Calculer $u_{11}$.
2. Soit $(v_n)$ une suite arithmétique telle que $v_0=24$ et $r=-6$. Calculer $v_{25}$.
3. Soit $(w_n)$ une suite arithmétique telle que $w_1=2$ et $r=6,25$. Calculer $w_{10}$.
4. Soit $(s_n)$ une suite arithmétique telle que $s_{15}=2$ et $r=6$. Calculer $s_0$.
5. Soit $(t_n)$ une suite arithmétique telle que $t_{11}=25$ et $t_4=6$. Calculer $t_0$ et $r$.

Somme des termes d'une suite arithmétique

Somme des entiers consécutifs

Comment calculer simplement ? $S=0+1+2+3+\dots +98+99+100$

Il suffit d’utiliser la formule : $S=0+1+2+3+\dots +n=\frac{n\times (n+1)}{2}$

On trouve donc : $S=0+1+2+3+\dots +98+99+100=5050$

Généralisation

La somme des termes consécutifs d'une progression arithmétique est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre de termes de la suite.

Calculs de sommes

En utilisant la formule, calculer :

• $S=1+3+5+7+9+\dots +131=\dots$
• $S=7+9+11+13+\dots +99=\dots$

Représentation graphique d'une suite arithmétique et lien avec les fonctions affines

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, l’expression du terme général montre que :

si on définit la fonction affine $f(x)=r\times x+u_0$, alors $u_n=f(n)$.

Si $u_n=a+bn$ , alors $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison b et de premier terme a.

En faisant l'analogie avec les fonctions affines, on peut dire que :

• $a$ : Ordonnée à l'origine
• $b$ : Coefficient directeur

Graphiques

• Placer, dans un repère orthogonal, les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $u_0=-3$ et de raison $r=3,5$. Quelle est l'équation de la droite sur laquelle les points correspondant aux termes sont alignés ?

Modèle:Solution

Le graphique représentant les points de la droite d'équation $y=3.5x-3$ est le suivant :

Points d'une droite caractérisant une suite arithmétique

Modèle:Bas de page