Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices

Exercice 1

Soit A un anneau tel que $\mathrm{\forall }x\in A,x^2=x$.

1. Montrer que $\mathrm{\forall }x\in A,x+x=0$.
2. En déduire que A est commutatif.

Exercice 2

Soient $A$ un anneau et $x,y\in A$ tels que $1-yx$ soit inversible. Montrer que $1-xy$ est inversible. Modèle:Solution

Exercice 3

Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.

1. Dans l'anneau de polynômes A[X], montrer que le seul idéal principal contenant a et X est l'anneau A[X] tout entier.
2. Montrer que si l'idéal (X, a) est égal à A[X] alors a est inversible.
3. En déduire que si a n'est pas inversible alors l'idéal (X, a) n'est pas principal.
4. En déduire que si A n'est pas un corps alors l'anneau A[X] n'est pas principal.

Exercice 4

Dans un anneau commutatif intègre, montrer que pour toute famille non vide ${\left(a_i\right)}_{i\in I}$ d'éléments et pour tout élément non nul $k$ :

• $\mathrm{ppcm}\left({\left(k{a}_i\right)}_{i\in I}\right)$ existe si et seulement si $\mathrm{ppcm}\left({\left(a_i\right)}_{i\in I}\right)$ existe ;
• dans ce cas, $\mathrm{ppcm}\left({\left(k{a}_i\right)}_{i\in I}\right)=k\mathrm{ppcm}\left({\left(a_i\right)}_{i\in I}\right)$.

Exercice 5

On se place dans un anneau (commutatif, intègre) à PGCD, c'est-à-dire dans lequel deux éléments non nuls $x$ et $y$ possèdent toujours un ppcm, noté $x\vee y$, donc aussi un pgcd, $x\wedge y:=\frac{xy}{x\vee y}$. On note $\sim$ la relation d'association (deux éléments sont associés si l'un est produit de l'autre par un inversible).

On rappelle que le pgcd vérifie : $(x\wedge y)z\sim (xz)\wedge (yz)$.

On va démontrer, pour tous éléments non nuls $a$, $b$ et $c$ :

$a\wedge (b\vee c)\sim (a\wedge b)\vee (a\wedge c)$.

1°  Montrer que le membre de gauche est associé à $\frac{ab\wedge ac\wedge bc}{b\wedge c}$ et celui de droite à $\frac{(a\wedge b)(a\wedge c)}{a\wedge b\wedge c}$.

2°  Vérifier que $(ab\wedge ac\wedge bc)(a\wedge b\wedge c)$ et $(a\wedge b)(a\wedge c)(b\wedge c)$ sont associés, en développant chacun d'eux en un pgcd de monômes.

3°  A-t-on également

$a\vee (b\wedge c)\sim (a\vee b)\wedge (a\vee c)$ ?

Exercice 6

Montrer que dans un anneau principal, le pgcd d'une famille quelconque d'éléments est toujours égal au pgcd d'une sous-famille finie. Modèle:Solution

Exercice 7

Soient $a$ et $b$ deux éléments d'un anneau, tels que :

• $ab+ba=1$ ;
• $a^{2}b+b{a}^2=a$.

Montrer que :

1. $a^{2}b=b{a}^2$
2. $2aba=a$
3. $a$ est inversible, d'inverse $2b$.

Exercice 8

Soient $a$ et $b$ deux éléments inversibles d'un anneau, tels que $a+b=1$ et $a^{-1}+b^{-1}=1$. Montrer que :

1. $ab=ba=1$ ;
2. $a^2=a-1$ ;
3. $a^3=-1$.

Exercice 9

Soit $(A,+,\cdot )$ un anneau commutatif. On note $B=\{x\in A\mid x^2=x\}$.

1. Vérifier que $\mathrm{\forall }x\in B1-x\in B$.
2. On pose $x\circ y=x+y-2xy$. Montrer que $\circ$ est une loi de composition interne sur $B$ et que $(B,\circ ,\cdot )$ est un anneau commutatif unitaire.

Exercice 10

Modèle:Wikipédia Soient un entier $f\le -2$ et $\omega ,\bar{\omega }$ les deux solutions complexes de $z^2-z-f=0$. On désigne par $\mathbb{Z}[\omega ]$ l'ensemble des nombres complexes de la forme $p+q\omega$ où $(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2$.

1. Calculer $\omega +\bar{\omega }$ et $\omega \bar{\omega }$.
2. Montrer que $\mathbb{Z}[\omega ]$ est un sous-anneau de $ℂ$ stable par conjugaison.
3. Montrer que $\mathrm{\forall }z\in \mathbb{Z}[\omega ]z\overline{z}\in \mathbb{N}$.
4. Montrer qu'un élément $p+q\omega$ est inversible dans $\mathbb{Z}[\omega ]$ si et seulement si $p^2+pq-f{q}^2=1$.
5. En déduire que les seuls éléments inversibles de $\mathbb{Z}[\omega ]$ sont $1$ et $-1$.

Exercice 11

Soit $K$ un corps commutatif. Dans l'anneau $K[X,Y,Z]/⟨X(1-YZ)⟩$, on note $x,y,z$ les classes de $X,Y,Z$.

Vérifier que $x$ et $xy$ sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau.

Référence : Modèle:W, Cours d'algèbre, remarque II.3.7 Modèle:Solution Dans l'anneau $\mathbb{Z}[X]/⟨2(X^2-1)⟩$, on note $x$ et $\overline{2}$ les classes de $X$ et $2$.

Vérifier que $\overline{2}$ et $\overline{2}x$ sont associés, puis montrer qu'ils ne sont pas multiples l'un de l'autre par un élément inversible de l'anneau. Modèle:Solution

Exercice 12

Dans l'anneau $A=C(ℝ,ℝ)$, soit $I$ l'idéal des fonctions nulles en 0.

1. Soient $f_1,\dots ,f_n\in A$. Montrer que tout élément $g$ de l'idéal $⟨f_1,\dots ,f_n⟩$ vérifie $g=O(\sum |f_i|)$ au voisinage de 0.
2. En déduire que $I$ n'est pas de type fini (ce qui prouve que $A$ n'est pas noethérien).
3. Montrer que $I^2=I$.
4. Montrer que $A$ ne contient aucun élément irréductible.
5. Montrer que si deux éléments de $A$ n'ont pas de zéro commun, alors ils sont premiers entre eux.
6. Montrer que dans $A$, si deux éléments $f,g$ ont un pgcd $d$, alors $Z(d)$ (l'ensemble des zéros de $d$) est égal à $Z(f)\cap Z(g)$ et $d\in ⟨f,g⟩$.

Soient $K$ un espace compact et $C(K,ℝ)$ l'anneau des fonctions continues de $K$ dans $ℝ$. On note $Z(f)=f^{-1}(\{0\})$ (pour $f\in C(K,ℝ)$), et $I(x)=\{f\in C(K,ℝ)\mid f(x)=0\}$ (pour $x\in K$).

1. Montrer que $I(x)$ est un idéal maximal de $C(K,ℝ)$.
2. Quels sont les éléments inversibles de $C(K,ℝ)$ ?
3. Soient $I$ un idéal de $C(K,ℝ)$ et $Z(I)={\cap }_{f\in I}Z(f)$. Montrer que si $Z(I)=\varnothing$, il existe $f_1,\dots ,f_n\in I$ telles que $\underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}Z(f_i)=\varnothing$. Que peut-on dire alors de $\sum f_i^2$ ? En déduire que $Z(I)=\varnothing \iff I=C(K,ℝ)$.
4. En déduire que tout idéal maximal de $C(K,ℝ)$ est de la forme $I(x)$.
5. Si $K$ est infini, soit $x$ un point d'accumulation de $K$. Montrer par l'absurde que $I(x)$ n'est pas de type fini. (Indication : si $I(x)=(f_1,\dots ,f_n)$ et $F=\max (|f_1|,\dots ,|f_n|)$, montrer que $\sqrt{F}\in I(x)$, pour en déduire une contradiction.)

Exercice 13

Dans l'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$, montrer que $2$ est irréductible, mais pas premier. (Ceci prouvera que cet anneau n'est pas factoriel.) Modèle:Solution

Exercice 14

Quel est le noyau du morphisme $\mathbb{Z}[X]\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},P(X)\mapsto \overline{P(0)}$ ? Modèle:Solution

Exercice 15

Démontrer que $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]/⟨1+3\mathrm{i}⟩=\mathbb{Z}[\mathrm{i}]/⟨\mathrm{i}-3⟩\simeq \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$. Modèle:Solution Soit $A=\mathbb{Z}[\mathrm{i}\sqrt{7}]$.

1. Montrer que $A\simeq \mathbb{Z}[X]/⟨X^2+7⟩$.
2. Montrer que $2A$ n'est pas un Modèle:W de $A$.
3. Montrer que $A/⟨1+\mathrm{i}\sqrt{7}⟩\simeq \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$.

Exercice 16

Soit $K$ un corps commutatif. Déterminer les éléments inversibles et les idéaux (principaux et autres) de l'anneau $K[X,Y]/(X^2,XY,Y^2)$. Modèle:Solution

Exercice 17

Soit $J$ l'idéal de $ℝ[X]$ engendré par $X^3+3X^2+4X+2$ et $X^4+2X^3+3X^2+2X+2$. Donner un isomorphisme entre $ℝ[X]/J$ et $ℂ$. Modèle:Solution

Exercice 18

On suppose connu l'anneau $A:=\mathbb{Z}[\mathrm{j}]=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\mathrm{j}$ (euclidien) et l'on se propose d'étudier les idéaux premiers de $B:=A[\sqrt{2}]$.

1. Montrer que $B$ est noethérien
2. Soit $I$ un idéal non nul de $B$. Montrer que $I\cap A\ne (0)$ et en déduire que $I\cap \mathbb{Z}\ne (0)$.
3. On suppose de plus $I$ premier. Montrer que $I\cap \mathbb{Z}$ est de la forme $p\mathbb{Z}$ où $p$ est un nombre premier. Montrer que $I$ est maximal.
4. Montrer que les idéaux premiers non nuls de $A[Y]$ sont
   • les $(P)$ avec $P$ élément irréductible de $A[Y]$
   • les $(u,P)$ avec $u$ élément irréductible de $A$, et $P\in A[Y]$ irréductible modulo $u$ (c'est-à-dire d'image irréductible dans $(A/uA)[Y]$).
5. Soit $M$ un idéal maximal de $A[Y]$ contenant $Y^2-2$.
   1. Montrer que $M$ est de la forme $M=(u,Y^2-2)$ avec $u$ élément irréductible de $A$ et $Y^2-2$ irréductible modulo $u$, ou alors $M=(u,Y-a)$ avec $u$ élément irréductible de $A$ et $a\in A$ racine de $Y^2-2$ modulo $u$.
   2. En déduire l'allure des idéaux premiers non nuls de $B$.
6. Applications à $I_1=(\sqrt{2})$ et $I_2=(-3+\sqrt{2},2-\mathrm{j})$ : dans les deux cas, montrer que $I$ est premier. Montrer que $B/I_1$ est un corps à $4$ éléments et que $B/I_2\simeq \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.

Exercice 19

Soit A un anneau non nul. On suppose que pour tout élément $a$ non nul de A, il existe un élément $a^{\prime }$ de A tel que $a^{\prime }a=1.$ Prouver que A est un corps.

Indication : on peut prouver que les éléments non nuls de A forment un monoïde pour la multiplication et, à l'aide du Problème 2 de la page Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes, que ce monoïde est un groupe. Modèle:Solution Remarque. L'énoncé de cet exercice servira dans la solution d'un exercice de la page Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension.

Exercice 20

Soient $K$ un corps commutatif et $I=(X^3-YZ,Y^2-XZ,Z^2-X^{2}Y)$ dans $K[X,Y,Z]$. On veut montrer que l'idéal $I$ est premier et que $I$ ne peut admettre moins de trois générateurs.

1. Soient $\phi :K[X,Y,Z]\to K[T]$ le morphisme défini par $\phi (X)=T^3,\phi (Y)=T^4,\phi (Z)=T^5$, et $J=\ker \phi$. Vérifier que $J$ est premier et contient $I$.
2. Montrer que les seuls $A,B,C\in K[X]$ tels que $A+BY+CZ\in J$ sont $A=B=C=0$.
3. Soit $P(X,Y,Z)\in K[X,Y,Z]$. Soit $YQ+R$, avec $Q,R\in K[X,Z]$, le reste de la division euclidienne de $P$ par $Y^2-XZ$ dans $K[X,Z][Y]$, puis $Z^2{Q}_2+Z{Q}_1+Q_0$ et $Z^2{R}_2+Z{R}_1+R_0$, avec $Q_2,Q_1,Q_0,R_2,R_1,R_0\in K[X]$, les restes des divisions euclidiennes de $Q,R$ par $Z^3-X^5$ dans $K[X][Z]$.
   1. Montrer que $P\in J$ si et seulement si $X^{3}Z{Q}_2+X^3{Q}_1+Y{Q}_0+X^{2}Y{R}_2+Z{R}_1+R_0\in J$.
   2. En déduire que $I=J$ (utiliser (2)), ce qui prouve que $I$ est premier.
4. Soit $M=(X,Y,Z)$, idéal maximal de $K[X,Y,Z]$. La structure d'idéal de $I$ (idéal de $K[X,Y,Z]$) induit sur $I/MI$ une structure de $K[X,Y,Z]/M\simeq K$-espace vectoriel, dont la dimension est majorée par $3$. Montrer que cette dimension est exactement 3 (ce qui prouvera que $I$ ne peut avoir moins de trois générateurs). Pour cela, montrer que l'image dans $I/MI$ du triplet $(X^3-YZ,Y^2-XZ,Z^2-X^{2}Y)$ est $K$-libre.