Espace vectoriel/Exercices/Rang, dimension

Exercice 2-1 : Lemme de Steinitz

Démontrer que si v₁, … , v_m sont des vecteurs [[../../Familles de vecteurs#Familles de vecteurs|linéairement indépendants]] d'un espace vectoriel V engendré par w₁, … , w_n alors m ≤ n et, à permutation près des w_k, l'ensemble {v₁, … , v_m, w_m+1, … , w_n} engendre V.

Exercice 2-2

Montrer que $E:=\{P\in {ℝ}_5[X]:X^3\mid P\}$ est un sous-espace vectoriel de ${ℝ}_5[X]$ et déterminer une base de $E$. Modèle:Solution

1. Montrer que $(X(X-1),(X-1)(X+1),X(X+1))$ est une base de ${ℝ}_2[X]$.
2. En déduire que pour tous réels $u$, $v$ et $w$, il existe un unique polynôme $P(X)\in {ℝ}_2[X]$ tel que $P(-1)=u$, $P(0)=v$ et $P(1)=w$.

Exercice 2-3

Soient $n\in \mathbb{N}$ et $E={ℝ}_n[X]$.

1. Si $\beta =(P_0,P_1,\dots ,P_n)$, où $P_k$ est un polynôme de degré $k$, $\mathrm{\forall }k,0\le k\le n$, montrer que $\beta$ est une base de $E$.
2. Si $P$ est un polynôme de degré $n$, montrer que $\gamma :=(P,P^{\prime },\dots ,P^{(n)})$ est une base de $E$. Déterminer les composantes dans $\gamma$ du polynôme $Q$ défini par $Q(X)=P(X+a)$, où $a$ est un réel fixé.
3. Montrer que $\delta :={(X^k(1-X{)}^{n-k})}_{0\le k\le n}$ est une base de $E$ et déterminer, pour tout $p\in \{0,1,\dots ,n\}$, les composantes de $X^p$ dans $\delta$.

Exercice 2-4

Montrer que les vecteurs $u_1=(1,2)$ et $u_2=(1,-2)$ forment une base de ${ℝ}^2$. Pour tout vecteur $v=(x,y)$ de ${ℝ}^2$, donner (en fonction de $x$ et $y$) les coordonnées de $v$ dans cette base. Modèle:Solution Soient

$u_1=(0,1,2),u_2=(-1,4,6),u_3=(-2,9,14)\text{et}{u}_4=(0,0,-2).$

1. La famille $(u_1,u_2,u_3)$ est-elle libre ? Est-elle génératrice de ${ℝ}^3$ ?
2. Montrer que $ℬ=(u_1,u_2,u_4)$ est une base de ${ℝ}^3$.
3. La famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ est-elle libre ? Est-elle génératrice de ${ℝ}^3$ ?
4. Déterminer les coordonnées du vecteur $u=(x,y,z)$ dans la base $ℬ$.

Exercice 2-5

Soit $(\mathrm{\Sigma })$ le système d'équations $\{\begin{array}{cc}x+3y+2z& =0\\ x+y+z+t& =0\\ x-t& =0.\end{array}$

Montrer que l'ensemble des solutions de $(\mathrm{\Sigma })$ est un sous-espace vectoriel $F$ de ${ℝ}^4$. Déterminer la dimension et une base de $F$. Modèle:Solution

Montrer que $F:=\{M\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)\mid \mathrm{tr}(M)=0\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$. Déterminer une base de $F$ et la compléter en une base de ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$. Modèle:Solution

Exercice 2-6

Soient $v_1=(1,0,0,-1)$, $v_2=(2,1,0,1)$, $v_3=(1,-1,1,-1)$, $v_4=(7,2,0,-1)$ et $v_5=(-2,-3,1,0)$.

Donner une base du sous-espace vectoriel $F=\mathrm{Vect}(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)$ de ${ℝ}^4$. Modèle:Solution

Exercice 2-7

Soient (dans un espace vectoriel) $u,v,w$ des vecteurs linéairement indépendants. Montrer que :

1. les vecteurs $u+v-2w$, $u-v-w$ et $u+w$ sont linéairement indépendants ;
2. les vecteurs $u+v-3w$, $u+3v-w$ et $v+w$ sont linéairement dépendants.

Modèle:Solution Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou indépendants :

1. $u=(1,2,3)$ et $v=(-1,3,2)$ ;
2. $u=(2,1,3)$ et $v=(4,2,6)$ ;
3. $u=(3,2,1)$ et $v=(3,0,1)$ ;
4. $u=(2,4,6)$, $v=(4,2,6)$ et $w=(6,4,2)$ ;
5. $u=(-1,0,1)$, $v=(1,1,1)$ et $w=(0,1,2)$.

Modèle:Solution Pour quelles valeurs de $a\in ℝ$ la famille de vecteurs $((a,1,2,2),(0,a,1,1),(1,0,a,1))$ est-elle libre ? Modèle:Solution Les systèmes de vecteurs suivants de $E$ sont-ils libres ou liés ? Forment-ils une base de $E$ ? Quelle est la dimension du sous-espace qu'ils engendrent ?

1. $E={ℝ}^2$
   1. $u=(1,2)$
   2. $u=(1,3),v=(3,9)$
   3. $u=(-1,1),v=(3,-2)$
   4. $u=(1,3),v=(-1,3),w=(3,2)$
2. $E={ℝ}^3$
   1. $u=(1,1,1),v=(0,2,-3)$
   2. $u=(1,0,1),v=(0,0,0),w=(-2,4,3)$
   3. $u=(1,2,-1),v=(-2,3,-1),w=(-4,13,-5)$.

Exercice 2-8

Soient $U=\{(x,y,z,t)\in K^4\mid y+z+t=0\}$ et $V=\{(x,y,z,t)\in K^4\mid x+y=0\text{ et }z=2t\}$.

Trouver la dimension et une base de $U,V,U\cap V\text{ et }U+V$. Modèle:Solution Donner des bases des espaces vectoriels :

• $E_1=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x=2y\}$ ;
• $E_2=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x+y=0\}$ ;
• $E_3=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x-y=2x-3y=0\}$ ;
• $F_1=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x=2y-z\}$ ;
• $F_2=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x+2y-3z=0\}$ ;
• $F_3=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x-y-z=x+2y-3z=0\}$.

Exercice 2-9

Dans $K^4$, soient $U=\mathrm{Vect}(a,b,c)$ et $V=\mathrm{Vect}(d,e)$ avec $a=(1,0,0,0)$, $b=(1,1,1,0)$, $c=(1,1,0,0)$, $d=(0,0,1,1)$ et $e=(\alpha ,\beta ,0,1)$ où $\alpha ,\beta \in K$ sont des paramètres fixés.

1. A-t-on $U+V=K^4$ ?
2. A-t-on $U\oplus V=K^4$ ?
3. Déterminer $U\cap V$.
4. Est-ce que $(a+b+c,a+b,a,d-e)$ est une base de $K^4$ ?

Modèle:Solution Mêmes questions 1 à 3 pour

$a=(1,2,3,4),b=(1,1,1,3),c=(2,1,1,1),d=(-1,0,-1,2)\text{et}e=(2,3,0,1).$

Exercice 2-10

Soient

$v_0=(0,0),v_1=(1,1),v_2=(1,-1),v_3=(-3,-3),v_4=(3,4),$

${ℱ}_1=(v_0),{ℱ}_2=(v_0,v_2),{ℱ}_3=(v_1),{ℱ}_4=(v_1,v_2),{ℱ}_5=(v_1,v_3)\text{et}{ℱ}_6=(v_1,v_2,v_4).$

Pour $k$ de $1$ à $6$, dire si la famille ${ℱ}_k$ est libre, si elle est génératrice de ${ℝ}^2$, et si c'est une base de ${ℝ}^2$. Modèle:Solution Soient $m,n\in \mathbb{N}$. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel ${\mathrm{M}}_{m,n}(ℝ)$ ? Soient

$M_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),M_3=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 2\end{array}\right),M_4=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 2\end{array}\right),M_5=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 2\end{array}\right),$

${ℱ}_1=(M_1,M_2,M_3),{ℱ}_2=(M_1,M_2,M_3,M_4)\text{et}{ℱ}_3=(M_1,M_2,M_4,M_5).$

Pour $k$ de $1$ à $3$, dire si la famille ${ℱ}_k$ est libre, si elle est génératrice de ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$, et si c'est une base de ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$. Modèle:Solution

Exercice 2-11

Dans ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$, montrer que le sous-ensemble des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et préciser leurs dimensions. Modèle:Solution

Exercice 2-12

Soit A un anneau non nul (non forcément commutatif). Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

a) tout A-module à gauche est libre;

b) tout A-module à gauche non nul comprend au moins un vecteur libre;

c) A est un corps.

Indication : d'après l'exercice 19 de la page Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices, il suffit, pour prouver que A est un corps, de prouver que pour tout élément non nul $a$ de A, il existe un élément $a^{\prime }$ de A tel que $a^{\prime }a=1$; pour cela, on peut choisir un idéal à gauche maximal J de A et appliquer l'hypothèse b) au A-module à gauche A/J (puis faire preuve d'un peu d'astuce). Modèle:Solution

Exercice 2-13

Cet exercice n'est pas vraiment un exercice sur les espaces vectoriels. Il montre qu'une propriété importante des espaces vectoriels, l'équipotence des bases d'un même espace, n'est pas vraie pour tous les modules.

a) Soit A un anneau. On a vu que les deux lois de A (addition et multiplication) font de A un A-module à gauche, parfois noté $A_s.$ On dira ici « le A-module A ». Il est clair que ce module admet une base de cardinal 1, à savoir $\{1\}.$

On suppose que ce module admet aussi une base de cardinal 2. Prouver que pour tout nombre naturel $n\ge 1$, ce module admet une base à $n$ éléments. (Indication : on peut raisonner par récurrence sur $n.$)

b) Soit V un espace vectoriel, par exemple sur le corps $\mathbb{Q}.$ (Le fait que V soit un espace vectoriel et non un module sur un anneau plus général que $\mathbb{Q}$ n'est pas vraiment important.) On suppose que V admet une base $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}.$ (On peut par exemple prendre pour V la somme directe d'une famille infinie dénombrable de $\mathbb{Q}$-espaces vectoriels égaux à $\mathbb{Q}.$) L'ensemble End(V) des endomorphismes de V peut se munir d'une structure d'anneau, l'addition étant définie « point par point » : $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ et la multiplication étant la composition $(f,g)\mapsto f\circ g$ des endomorphismes de V. Notons A = End(V) l'anneau ainsi défini. Le neutre multiplicatif de l'anneau A est l'endomorphisme identique $i{d}_V$ de V. Comme au point a), considérons le A-module à gauche A.

D'après un théorème du chapitre Module sur un anneau/Définitions (détermination d'un homomorphisme par ses valeurs en les éléments d'une base), il existe un et un seul endomorphisme $f$ de V tel que

$f(v_n)=v_{n/2}$ pour tout $n$ pair

et $f(v_n)=0$ pour tout $n$ impair.

De même, il existe un et un seul endomorphisme $g$ de V tel que

$g(v_n)=v_{(n-1)/2}$ pour tout $n$ impair

et $g(v_n)=0$ pour tout $n$ pair.

Prouver que $f$ et $g$ forment une base (à deux éléments) du A-module à gauche A. (D'après le point a), il en résulte que pour tout nombre naturel $n\ge 1$, le A-module à gauche A admet une base à $n$ éléments.)

Exercice 2-14

Soit $E={ℝ}_n[X]$.

1. Expliciter sa base canonique $ℬ$.
2. Soient $P_j:=X^j(1-X{)}^{n-j}$, $𝒞:=(P_0,\dots ,P_n)$. Déterminer la matrice $A$ de $𝒞$ dans $ℬ$ et son déterminant. En déduire que $𝒞$ est une base de $E$.
3. Pour $n=3$, trouver par deux méthodes différentes l'expression du polynôme $P=X^3-X^2-X-1$ dans la base $𝒞$.