Matrice/Inverse

Nous avons défini le produit matriciel et constaté qu'il n'était ni commutatif, ni simplifiable à gauche ou à droite. Comme annoncé alors, nous allons voir dans ce chapitre que cependant, certaines matrices carrées sont simplifiables (des deux côtés) et même inversibles, sous réserve que l'anneau K soit un corps commutatif (comme $\mathbb{Q}$, $ℝ$ ou $ℂ$), ce que nous supposerons désormais.

Exemple motivant

Soit une équation simple impliquant des nombres réels :

$ax=b$.

On suppose $a$ non nul. Alors la solution existe, est unique, et il s'agit de :

$x=\frac{b}{a}=\frac{1}{a}\times b$.

On cherche à trouver quelque chose d'analogue pour les matrices, qui permettrait de résoudre les équations matricielles de même type :

$AX=B$.

Groupe des matrices inversibles

Puisque ${\mathrm{M}}_n(K)$ est un anneau, on a immédiatement : Modèle:Propriété Par conséquent :

• si $A$ est inversible alors $A^{-1}$ l'est aussi, et

  ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$ ;

• si $A,B\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n\left(K\right)$ alors le produit $AB$ est inversible, et l'inverse du produit est le produit des inverses, dans l'ordre contraire :

  ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.

Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité

Non-nullité du déterminant

Si $A$ est inversible alors son déterminant est évidemment non nul, puisque

$\det \left(A^{-1}\right)\det A=\det \left(A^{-1}A\right)=\det \left({\mathrm{I}}_n\right)=1$.

Réciproquement, si $\det A\ne 0$ alors la formule de Laplace (cf. chapitre précédent) prouve que $A$ est inversible, et fournit une expression de son inverse : Modèle:Théorème Cette condition nécessaire d'inversibilité n'est suffisante que lorsque K est un corps commutatif. Si K est seulement un anneau commutatif, la condition $\det M\ne 0$ est à remplacer par : $\det M$ est inversible dans K. Par exemple dans ${\mathrm{M}}_n(\mathbb{Z})$, les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à $\pm 1$.

Cette caractérisation des matrices inversibles permet de démontrer que dans ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$ et dans ${\mathrm{M}}_n(ℂ)$:

• le sous-ensemble des matrices inversibles est dense (cf. Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 2-2 : densité de GLn) ;
• son complémentaire est négligeable, c'est-à-dire de mesure de Lebesgue nulleModèle:,.

Calcul de l'inverse

Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.

Cas des matrices 2 × 2

Un cas très simple (et à mémoriser) est celui des matrices de taille 2 × 2, dont l'inverse est facile à calculer :

Cas général

Le moyen le plus simple est d’utiliser la méthode dite du pivot de Gauss. Modèle:Wikipédia Modèle:Exemple