Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Coniques

Introduction

Modèle:AlLe nom « coniques » vient du fait que ces courbes sont les intersections d'un cône de révolution avec un « plan ne passant pas par le sommet du cône » $⇝$ voir les trois tracés ci-dessous :

• 
  Hyperbole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et coupant le cône en deux parties distinctes
• 
  Parabole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et $\parallel$ à une génératrice du cône
• 
  Ellipse comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et sécant avec toutes les génératrices du cône

Définition géométrique des coniques

Définition bifocale d'une hyperbole

Modèle:AlOn considère deux points distincts $F$ et $F^{\prime }$ $($définissant les deux « foyers » de l'hyperbole$)$ séparés de la distance $F{F}^{\prime }=2c$, le milieu $C$ du segment $[F{F}^{\prime }]$ et une longueur $a<c$ : Modèle:Définition

Principales propriétés d'une hyperbole

Schéma d'une hyperbole utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques

$⇝$Il existe :

• deux asymptotes$({\delta }_1)$ et $({\delta }_2)$ passant par $C$ $($centre de l'hyperbole$)$ et deux branches d'hyperbole ;
• deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers $F$ et $F^{\prime }$ est appelé « axe focal »,
  Modèle:Transparentl'autre $(\mathrm{\Delta })$ lui étant $\perp$ en $C$ $($centre de l'hyperbole$)$ est appelé « axe non focal » ;

$⇝$nommant $A$ et $A^{\prime }$ les points de l'hyperbole sur l'axe focal $(A$ étant le plus proche de $F)$,

• la longueur «$CA=C{A}^{\prime }=a$» est appelée « demi-axe focal »,
• on introduit le demi-axe non focal$b$ comme la longueur commune «$CB=C{B}^{\prime }=b$» avec $B$ et $B^{\prime }$ points de l'axe non focal,
  projetés orthogonaux des points d'intersection des $\perp$ à l'axe focal en $A$ et $A^{\prime }$ avec les asymptotes
  $($points d'intersections notés $K_1$ ou $K_2$, $K{\text{'}}_1$ ou $K{\text{'}}_2$, seul $K{\text{'}}_2$ est représenté sur le schéma ci-contre$)$ ;

$⇝$nommant $H_1$ et $H_2$ les projetés orthogonaux de $F$ sur les asymptotes $(H{\text{'}}_1$ et $H{\text{'}}_2$ ceux de $F^{\prime }$ sur les asymptotes$)$,

• la longueur «$C{H}_1=C{H}_2=CH{\text{'}}_1=CH{\text{'}}_2=a$» ;
• on établit que la longueur «$F{H}_1=F{H}_2=(F^{\prime }H{\text{'}}_1=F^{\prime }H{\text{'}}_2)=b$» car, dans les triangles $CF{H}_1$ et $C{A}^{\prime }K{\text{'}}_2$, $\tan (\alpha )=$ $\frac{F{H}_1}{C{H}_1}=\frac{A^{\prime }K{\text{'}}_2}{A^{\prime }C}$ avec $\frac{A^{\prime }K{\text{'}}_2}{A^{\prime }C}=\frac{b}{a}$ d'où $F{H}_1=\frac{b}{a}C{H}_1=b$, $b$est donc aussi la distance orthogonale entre les foyers et les asymptotes ;
• le triangle$H_{1}FC$rectangle en$H_1$ a pour longueur de côtés $\left(\begin{array}{c}CF=c\\ H_{1}F=b\\ C{H}_1=a\end{array}\right)$ $\Rightarrow$ «$c^2=a^2+b^2$» ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle $\alpha$ entre les asymptotes et l'axe focal vaut «$\alpha =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$»Modèle:, ;
• on définit le paramètre par «$p=\frac{b^2}{a}$» et on peut établir son lien avec $e$ et $a$ en éliminant $b^2$ par $b^2=c^2-a^2$ puis $c$ par $c=ea$ d'où «$b^2=a^2(e^2-1)$» et «$p=a(e^2-1)$».

Définition bifocale d'une ellipse

Modèle:AlOn considère deux points distincts $F$ et $F^{\prime }$ $($définissant les deux « foyers » de l'ellipse$)$ séparés de la distance $F{F}^{\prime }=2c$, le milieu $C$ du segment $[F{F}^{\prime }]$ et une longueur $a>c$ : Modèle:Définition

Principales propriétés d'une ellipse

Schéma d'une ellipse utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques

$⇝$Il existe :

• deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers $F$ et $F^{\prime }$ est appelé « axe focal » ou « grand axe »,
  Modèle:Transparentl'autre $(\mathrm{\Delta })$ lui étant $\perp$ en $C$ $($centre de l'ellipse$)$ est appelé « axe non focal » ou « petit axe » ;

$⇝$nommant $A$ et $A^{\prime }$ les points de l'ellipse sur l'axe focal $(A$ étant le plus proche de $F)$,

• la longueur «$CA=C{A}^{\prime }=a$» est appelée « demi grand axe » ;

$⇝$nommant $B$ et $B^{\prime }$ les points de l'ellipse sur le petit axe,

• la longueur «$CB=C{B}^{\prime }=b$» est appelée « demi petit axe » ;
• le triangle$BFC$rectangle en$C$ a pour longueur de côtés $\left(\begin{array}{c}CF=c\\ CB=b\\ FB=a\end{array}\right)$ $\Rightarrow$ «$a^2=b^2+c^2$» ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle $\alpha =\widehat{CBF}$ a pour sinus «$\sin (\alpha )=\frac{c}{a}=e$» ;
• on définit le paramètre par «$p=\frac{b^2}{a}$» et on peut établir son lien avec $e$ et $a$ en éliminant $b^2$ par $b^2=a^2-c^2$ puis $c$ par $c=ea$ d'où «$b^2=a^2(1-e^2)$» et par suite «$p=a(1-e^2)$».

Définition monofocale d'une parabole

Modèle:AlLa parabole n'a pas de définition bifocale car une parabole n'a qu'un foyer ;
Modèle:Alelle n'a donc qu'une définition monofocale, nécessitant de préciser son foyer $F$ et la directrice $(D)$ associée à son foyer, droite séparée du foyer d'une distance définissant son paramètre $p$ : Modèle:Définition

Schéma explicitant la définition monofocale d'une parabole de foyer $F$, de directrice $(D)$ et de paramètre $p$

Principales propriétés d'une parabole

$⇝$Il existe :

• un axe de symétrie « la droite passant par $F$ et $\perp$ à $(D)$», cet axe est appelé « axe focal »,

$⇝$nommant $S$ le point de la parabole situé sur son axe focal,

• c'est « le milieu de $[FK]$» dans lequel $K$ est le projeté orthogonal du foyer $F$ sur la directrice $(D)$ $\Rightarrow$ «$FS=\frac{p}{2}$», $S$ étant nommé « sommet de la parabole ».

Définition monofocale d'une conique

Modèle:AlC'est la seule définition commune aux trois coniques « ellipse, parabole ou hyperbole », on précise alors :

• le couple « foyer, directrice associée »,
• le « paramètre $p$»,
• l'« excentricité $e$» et
• la « distance $2c$ séparant le 2^ème foyer $($celui qui n'est pas utilisé$)$ du 1^er $($celui qui est utilisé$)$» dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole correspondant à l'existence d'un deuxième couple « foyer, directrice associée ».

Modèle:Définition Modèle:AlRemarque : Dans le cas d'un cercle, $M$ restant à distance finie de $F$, $MH$ est $\mathrm{\infty }$ et comme $e$ est nulle, «$eMH$» constitue une forme indéterminée laquelle doit être identifiée à la distance
Modèle:AlModèle:Transparent$MF$ c.-à-d. au rayon du cercle ;
Modèle:AlModèle:Transparenton en déduit que la définition monofocale d'un cercle est peu exploitable ;

Modèle:AlModèle:Transparentdans le cas d'une parabole on retrouve bien la définition fournie précédemment dans la mesure où l'« excentricité $e$ de la parabole est égale à $1$».

Application à une hyperbole

Schéma explicitant la définition monofocale d'une hyperbole de foyer $F$, de directrice associée $(D)$ et d'excentricité $e>1$ ; sont aussi représentés l'autre foyer $F^{\prime }$ et sa directrice associée $(D^{\prime })$ ainsi que les principales caractéristiques de l'hyperbole

Modèle:AlVoir ci-contre le tracé de l'hyperbole de foyer $F$, de directrice associée $(D)$ et d'excentricité $e>1$, la distance séparant $F$ de $(D)$ est $KF=\frac{p}{e}$ dans lequel $K$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(D)$ $[e$ étant $>$ à $1$, on en déduit que $KF=\frac{p}{e}<p$$]$ ;

Modèle:All'excentricité $e$ étant $>1$ l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points $M$ du plan tel que “$MF=eMH>MH$” dans laquelle
Modèle:AlModèle:Transparent$H$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(D)$»
Modèle:Al$[$sur le schéma ci-contre la branche correspondant à $M$ et $F$ situés d'un même côté relativement à $(D)$ est tracée et expliquée en rouge,
Modèle:AlModèle:Transparentl'autre branche correspondant à $M$ et $F$ situés de part et d'autre de $(D)$ tracée en bleu et expliquée en noir$]$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentc'est aussi l'« ensemble des points $M$ du plan tel que “$M{F}^{\prime }=eM{H}^{\prime }>M{H}^{\prime }$” avec
Modèle:AlModèle:Transparent$H^{\prime }$ projeté orthogonal de l'autre foyer $F^{\prime }$ sur
Modèle:AlModèle:Transparentla directrice associée $(D^{\prime })$»
Modèle:Al$[$sur le schéma ci-contre la branche correspondant à $M$ et $F^{\prime }$ situés d'un même côté relativement à $(D^{\prime })$ tracée et expliquée en bleu,
Modèle:AlModèle:Transparentl'autre branche rouge n'étant pas expliquée pour éviter la surcharge$]$.

Établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale

Modèle:AlPartant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer $F$ - directrice $(D)$» on a «$MF=eMH$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$H$ projeté orthogonal de $F$ sur $(D)$» et

Modèle:AlModèle:Transparentutilisant le couple « foyer $F^{\prime }$ - directrice $(D^{\prime })$» Modèle:Transparent «$M{F}^{\prime }=eM{H}^{\prime }$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$H^{\prime }$ projeté orthogonal de $F^{\prime }$ sur $(D^{\prime })$» ;

Modèle:Alen faisant la différence de ces deux définitions on obtient «$MF-M{F}^{\prime }=e(MH-M{H}^{\prime })$» ou, $M$ ayant été choisi sur la branche représentée en bleu,
Modèle:AlModèle:Transparent«$MF-M{F}^{\prime }=e{H}^{\prime }H$» avec «$H^{\prime }H=2(CF-KF)=2(c-\frac{p}{e})$» d'où «$MF-M{F}^{\prime }=2(ec-p)$» ;

Modèle:Alil reste à montrer que cette constante $2(ec-p)$ est égale à l'axe focal «$A^{\prime }A=2a$» et pour cela il faut $($en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'hyperbole$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentétablir le lien de $A^{\prime }A=2a$ avec «$e$ et $p$» d'une part ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparent«$e$ et $c$» d'autre part ;

Modèle:Aldans ce but définissons $A$ de façon monofocale utilisant le couple « foyer $F$ - directrice $(D)$ selon «$AF=eAK$ avec $K$ le pied de la directrice $(D)$ sur l'axe focal » et

Modèle:AlModèle:Transparentutilisant le couple « foyer $F^{\prime }$ - directrice $(D^{\prime })$ selon «$A{F}^{\prime }=eA{K}^{\prime }$ avec $K^{\prime }$ le pied de la directrice $(D^{\prime })$ sur l'axe focal » ;

Modèle:Alde la 1^ère définition on tire $AF=eAK=e(FK-FA)=e(\frac{p}{e}-AF)=p-eAF$ $\Rightarrow$ $AF(1+e)=p$ soit $AF=\frac{p}{1+e}$ $\Rightarrow$ «$a=CA=CF-AF=c-\frac{p}{1+e}$» ;

Modèle:Alde la 2^ème définition on tire $A{F}^{\prime }=eA{K}^{\prime }=e(F^{\prime }A-F^{\prime }{K}^{\prime })=e(A{F}^{\prime }-\frac{p}{e})=eA{F}^{\prime }-p$ $\Rightarrow$ $A{F}^{\prime }(e-1)=p$ soit $A{F}^{\prime }=\frac{p}{e-1}$ $\Rightarrow$ «$a=CA=F^{\prime }A-F^{\prime }C=\frac{p}{e-1}-c$» ;

Modèle:Al$\succ$faisant la somme des deux expressions de $a$ dans le but d'éliminer $c$, nous en déduisons «$2a=\frac{p}{e-1}-\frac{p}{1+e}=\frac{2p}{e^2-1}$» d'où «$a=\frac{p}{e^2-1}$» ;

Modèle:Al$\succ$faisant la différence des deux expressions de $a$ dans le but d'obtenir $c$, nous en déduisons «$0=2c-\frac{p}{1+e}-\frac{p}{e-1}=2c-\frac{2pe}{e^2-1}$» d'où «$c=\frac{ep}{e^2-1}$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$c=ea$» en tenant compte de l'expression
Modèle:AlModèle:Transparentde $a=\frac{p}{e^2-1}$ précédemment obtenue, soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$a=\frac{c}{e}$» $\Rightarrow$ $e=\frac{c}{a}>1$ ;

Modèle:Alreprenant «$MF-M{F}^{\prime }=2(ec-p)$» et y reportant les expressions de $c$ et $p$ en fonction de $a$ soit $\left\{\begin{array}{ccccccc}a& =& \frac{c}{e}& \Rightarrow & c& =& ea\\ a& =& \frac{p}{e^2-1}& \Rightarrow & p& =& (e^2-1)a\end{array}\right\}$ nous obtenons
Modèle:AlModèle:Transparent«$MF-M{F}^{\prime }=2[e^{2}a-a(e^2-1)]=2a$» pour les points $M$ de la branche représentée en bleu ; nous trouverions
Modèle:AlModèle:Transparent«$M{F}^{\prime }-MF=2a$» pour les points $M$ de la branche représentée en rouge ;

Modèle:Alfinalement les deux définitions monofocales de l'hyperbole $\left\{\begin{array}{c}MF=eMH\text{avec}H\text{projeté orthogonal de}F\text{sur}(D)\\ M{F}^{\prime }=eM{H}^{\prime }\text{avec}{H}^{\prime }\text{projeté orthogonal de}{F}^{\prime }\text{sur}(D^{\prime })\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ la définition bifocale de celle-ci «$|MF-M{F}^{\prime }|=2a$».

Modèle:AlIl reste à montrer que «$a$, $b$ et $p$ définis de façon monofocale » sont effectivement reliés par «$p=\frac{b^2}{a}$», mais ayant établi que « la définition monofocale $\Rightarrow$ la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle $CF{H}_1$» c.-à-d. $a^2+b^2=c^2$ $\Rightarrow$ $b^2=c^2-a^2={\left(ea\right)}^2-a^2$ $\Rightarrow$ $b^2=a^2(e^2-1)=a[a(e^2-1)]=ap$ soit «$p=\frac{b^2}{a}$» C.Q.F.D..

Application à une ellipse

Schéma explicitant la définition monofocale d'une ellipse de foyer $F$, de directrice associée $(D)$ et d'excentricité $e<1$ ; sont aussi représentés l'autre foyer $F^{\prime }$ et sa directrice associée $(D^{\prime })$ ainsi que les principales caractéristiques de l'ellipse

Modèle:AlVoir ci-contre le tracé de l'ellipse de foyer $F$, de directrice associée $(D)$ et d'excentricité $e<1$, la distance séparant $F$ de $(D)$ est $KF=\frac{p}{e}$ dans lequel $K$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(D)$
Modèle:AlModèle:Transparent$[e$ étant $<$ à $1$, on en déduit que $KF=\frac{p}{e}>p$$]$ ;

Modèle:All'excentricité $e$ étant $<1$ l'ellipse cherchée est l'« ensemble des points $M$ du plan vérifiant la relation Modèle:Nobr $=eMH<MH$” dans laquelle $H$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(D)$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentc'est aussi l'« ensemble des points $M$ du plan vérifiant Modèle:Nobr $[H^{\prime }$ projeté orthogonal de l'autre foyer $F^{\prime }$ sur la directrice associée $(D^{\prime })]$».

Établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale

Modèle:AlPartant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer $F$ - directrice $(D)$» on a Modèle:Nobr avec $H$ projeté orthogonal de $F$ sur $(D)$» et

Modèle:AlModèle:Transparentutilisant le couple « foyer $F^{\prime }$ - directrice $(D^{\prime })$» Modèle:Transparent Modèle:Nobr avec $H^{\prime }$ projeté orthogonal de $F^{\prime }$ sur $(D^{\prime })$» ;

Modèle:Alen faisant la somme de ces deux définitions on obtient «$MF+M{F}^{\prime }=e(MH+M{H}^{\prime })=eH{H}^{\prime }$» avec «$H^{\prime }H=2(CF+KF)=2(c+\frac{p}{e})$» d'où «$MF+M{F}^{\prime }=2(ec+p)$» ;

Modèle:Alil reste à montrer que cette constante $2(ec+p)$ est égale au grand axe «$A^{\prime }A=2a$» et pour cela il faut, $($en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'ellipse$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentétablir le lien de $A^{\prime }A=2a$ avec «$e$ et $p$» d'une part ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparent«$e$ et $c$» d'autre part ;

Modèle:Aldans ce but définissons $A$ de façon monofocale utilisant le couple « foyer $F$ - directrice $(D)$ selon «$AF=eAK$ avec $K$ le pied de la directrice $(D)$ sur l'axe focal » et

Modèle:AlModèle:Transparent utilisant le couple « foyer $F^{\prime }$ - directrice $(D^{\prime })$ selon «$A{F}^{\prime }=eA{K}^{\prime }$ avec $K^{\prime }$ le pied de la directrice $(D^{\prime })$ sur l'axe focal » ;

Modèle:Alla 1^ère définition $\Rightarrow$ $AF=eAK=e(FK-FA)=e(\frac{p}{e}-AF)=p-eAF$ $\Rightarrow$ $AF(1+e)=p$ soit $AF=\frac{p}{1+e}$ $\Rightarrow$ «$a=CA=CF+FA=c+\frac{p}{1+e}$» ;

Modèle:Alla 2^ème définition $\Rightarrow$ $A{F}^{\prime }=eA{K}^{\prime }=e(A{F}^{\prime }+F^{\prime }{K}^{\prime })$ $=e(A{F}^{\prime }+\frac{p}{e})=eA{F}^{\prime }+p$ $\Rightarrow$ $A{F}^{\prime }(1-e)=p$ soit $A{F}^{\prime }=\frac{p}{1-e}$ $\Rightarrow$ «$a=CA=F^{\prime }A-F^{\prime }C=\frac{p}{1-e}-c$» ;

Modèle:Al$\succ$faisant la somme des deux expressions de $a$ dans le but d'éliminer $c$, nous en déduisons «$2a=\frac{p}{1+e}+\frac{p}{1-e}=\frac{2p}{1-e^2}$» d'où «$a=\frac{p}{1-e^2}$» ;

Modèle:Al$\succ$faisant la différence des deux expressions de $a$ dans le but d'obtenir $c$, nous en déduisons «$0=2c+\frac{p}{1+e}-\frac{p}{1-e}=2c-\frac{2pe}{1-e^2}$» d'où «$c=\frac{ep}{1-e^2}$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$c=ea$» en tenant compte de l'expression
Modèle:AlModèle:Transparentde $a=\frac{p}{1-e^2}$ précédemment obtenue, soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$a=\frac{c}{e}$» $\Rightarrow$ $e=\frac{c}{a}<1$ ;

Modèle:Alreprenant «$MF+M{F}^{\prime }=2(ec+p)$» et y reportant les expressions de $c$ et $p$ en fonction de $a$ soit $\left\{\begin{array}{ccccccc}a& =& \frac{c}{e}& \Rightarrow & c& =& ea\\ a& =& \frac{p}{1-e^2}& \Rightarrow & p& =& (1-e^2)a\end{array}\right\}$ nous obtenons
Modèle:AlModèle:Transparent«$MF+M{F}^{\prime }=2[e^{2}a+a(1-e^2)]=2a$» pour tous les points $M$ de l'ellipse ;

Modèle:Alfinalement les deux définitions monofocales de l'ellipse $\left\{\begin{array}{c}MF=eMH\text{avec}H\text{projeté orthogonal de}F\text{sur}(D)\\ M{F}^{\prime }=eM{H}^{\prime }\text{avec}{H}^{\prime }\text{projeté orthogonal de}{F}^{\prime }\text{sur}(D^{\prime })\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ la définition bifocale de celle-ci «$MF+M{F}^{\prime }=2a$».

Modèle:AlIl reste à montrer que «$a$, $b$ et $p$ définis de façon monofocale » sont effectivement reliés par «$p=\frac{b^2}{a}$», mais ayant établi que « la définition monofocale $\Rightarrow$ la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle $BFC$» c.-à-d. $c^2+b^2=a^2$ $\Rightarrow$ $b^2=a^2-c^2=a^2-{\left(ea\right)}^2$ $\Rightarrow$ $b^2=a^2(1-e^2)=a[a(1-e^2)]=ap$ soit «$p=\frac{b^2}{a}$» C.Q.F.D..

Retour sur la parabole

Modèle:AlAu vu de la définition monofocale d'une conique, il semble possible de supposer que « la parabole de foyer $F$ et de directrice $(D)$ $[$donc de paramètre $p$ fixé$]$» est

• « la limite d'une ellipse d'excentricité $e$ dont $F$ est un des foyers, de même paramètre $p$ et de directrice associée $(D_e)\parallel$ à $(D)$ quand l'excentricité $e$ de l'ellipse tend vers $1^{-}$»
  $[$cette induction se vérifie aisément : quand $e\to 1^{-}$, $\frac{p}{e}\to p$ $\Rightarrow$ $(D_e)\to (D)$ et
  Modèle:Transparentla définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points $M$ du plan tel que $MF=e\times d\{M,(D_e)\}$» devient
  Modèle:Transparent« ensemble des points $M$ du plan tel que $MF=1\times d\{M,(D)\}$
  Modèle:Transparent$=d\{M,(D)\}$» définition monofocale de la parabole$]$ et
• « la limite d'une branche d'hyperbole d'excentricité $e$ dont $F$ est le foyer contourné, de même paramètre $p$ et de directrice associée $(D_h)\parallel$ à $(D)$ quand l'excentricité $e$ de l'hyperbole $\to 1^{+}$»
  $[$cette induction se vérifie aisément : quand $e\to 1^{+}$, $\frac{p}{e}\to p$ $\Rightarrow$ $(D_h)\to (D)$ et
  Modèle:Transparentla définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points $M$ du plan tel que $MF=e\times d\{M,(D_h)\}$» devient
  Modèle:Transparent« ensemble des points $M$ du plan tel que $MF=1\times d\{M,(D)\}$
  Modèle:Transparent$=d\{M,(D)\}$» définition monofocale de la parabole$]$ ;

Modèle:Alque deviennent le « demi-axe focal $a$», le « demi-axe non focal $b$» et la « distance $c$ séparant chaque foyer du centre de symétrie » de l'ellipse ou de l'hyperbole tendant vers la parabole,

Modèle:Alque devient la définition bifocale de l'ellipse ou de l'hyperbole dans les mêmes conditions de limite ?

Passage de l'ellipse à la parabole

Limite parabolique d'une ellipse de foyer $F$, de directrice associée $(D_e)$, de paramètre $p$ et d'excentricité $e$ quand «$e\to 1^{-}$ à foyer et paramètre fixés »

Modèle:AlPartant de l'ellipse de foyer $F$ et de directrice associée $(D_e)\parallel$ à $(D)$ tel que « le paramètre $p$ de l'ellipse soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité $e$ de l'ellipse vers $1^{-}$ :

Modèle:Almontrons que « le 2^ème foyer $F^{\prime }$ de l'ellipse se trouve rejeté à l'infini de $F$ perpendiculairement à la direction commune de $(D_e)$ et $(D)$», en effet, partant de l'expression «$F{F}^{\prime }=2FC=2c=\frac{2ep}{1-e^2}$», on établit que Modèle:Nobr $[$la parabole limite n'a donc pas de 2^ème foyer $F^{\prime }$ et la distance $c$ n'y est pas définie$]$ ;

Modèle:Alsimultanément on constate que «$A\to S$ sommet de la parabole » car, partant de l'expression «$FA=\frac{p}{1+e}$», on établit que «$FA=\frac{p}{1+e}\to \frac{p}{2}$ quand $e\to 1^{-}$» et

Modèle:AlModèle:Transparentque «$A^{\prime }$ s'éloigne à l'infini de $F$ perpendiculairement à la direction commune de $(D_e)$ et $(D)$» car, partant de l'expression «$F{A}^{\prime }=F^{\prime }A=\frac{p}{1-e}$» $\Rightarrow$ «$F{A}^{\prime }=\frac{p}{1-e}\to \mathrm{\infty }$ quand $e\to 1^{-}$» $[$la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet$]$ ;

Modèle:Alle « demi-grand axe $a$ de l'ellipse devient infini » quand son excentricité $e$ tend vers $1$ car, partant de l'expression Modèle:Nobr on établit que «$a=\frac{p}{1-e^2}\to \mathrm{\infty }$ quand $e\to 1^{-}$» $[$la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal $a$»$]$ ;

Modèle:Alles points «$B$ et $B^{\prime }$ se retrouvent rejetés à l'infini parallèlement à la direction commune de $(D_e)$ et $(D)$» car, du lien entre les trois longueurs $p$, $a$ et $b$ défini pour une ellipse $p=\frac{b^2}{a}$ on tire $b=$ $CB=C{B}^{\prime }=\sqrt{pa}$ et avec $a=\frac{p}{1-e^2}$, on en déduit «$b=CB=C{B}^{\prime }=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}$» $\Rightarrow$ «$b=CB=C{B}^{\prime }=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}\to \mathrm{\infty }$ quand $e\to 1^{-}$» $[$la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal $($donc pas de points $B$ et $B^{\prime })$ ni de « demi-axe non focal $b$»$]$.

Passage de la branche d'hyperbole à la parabole

Limite parabolique d'une branche d'hyperbole de foyer $F$ contourné par elle, de directrice associée $(D_h)$, de paramètre $p$ et d'excentricité $e$ quand «$e\to 1^{+}$ à foyer et paramètre fixés »

Modèle:AlPartant de la branche d'hyperbole de foyer $F$ qu'elle contourne et de directrice associée $(D_h)\parallel$ à $(D)$ tel que « le paramètre $p$ de l'hyperbole soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité $e$ de l'hyperbole vers $1^{+}$ :

Modèle:Almontrons que « le 2^ème foyer $F^{\prime }$ de l'hyperbole se trouve rejeté à l'infini de $F$ perpendiculairement à la direction commune de $(D_h)$ et $(D)$», en effet, partant de l'expression «$F{F}^{\prime }=2FC=2c=\frac{2ep}{e^2-1}$», on établit que «$F{F}^{\prime }=\frac{2ep}{e^2-1}\to \mathrm{\infty }$ quand $e\to 1^{+}$» $[$la parabole limite n'a donc pas de 2^ème foyer $F^{\prime }$ et la distance $c$ n'y est pas définie$]$ ;

Modèle:Alsimultanément on constate que «$A\to S$ sommet de la parabole » car, partant de l'expression «$FA=\frac{p}{1+e}$», on établit que Modèle:Nobr quand $e\to 1^{-}$» et

Modèle:AlModèle:Transparentque «$A^{\prime }$ s'éloigne à l'infini de $F$ perpendiculairement à la direction commune de $(D_h)$ et $(D)$» car, partant de l'expression «$F{A}^{\prime }=F^{\prime }A=\frac{p}{e-1}$», on établit que «$F{A}^{\prime }=\frac{p}{e-1}\to \mathrm{\infty }$ quand $e\to 1^{+}$» Modèle:Nobr parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet$]$ ;

Modèle:Alle « demi-axe focal $a$ de l'hyperbole $\to \mathrm{\infty }$» quand son excentricité $e\to 1$ car, partant de la relation «$a=CA=C{A}^{\prime }=\frac{p}{e^2-1}$», on établit que «$a=\frac{p}{e^2-1}\to \mathrm{\infty }$ quand $e\to 1^{+}$» $[$la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal $a$»$]$ ;

Modèle:Alle « demi-axe non focal $b$ de l'hyperbole devient infini » quand son excentricité $e$ tend vers $1$ car, du lien entre les trois longueurs $p$, $a$ et $b$ défini pour une hyperbole $p=\frac{b^2}{a}$ on tire $b=$ $\sqrt{pa}$ et avec $a=\frac{p}{e^2-1}$, on en déduit «$b=\frac{p}{\sqrt{e^2-1}}$» $\Rightarrow$ «$b\frac{p}{\sqrt{e^2-1}}\to \mathrm{\infty }$ quand $e\to 1^{+}$» $[$la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal ni de « demi-axe non focal $b$»$]$ ;

Modèle:Alles « asymptotes ${\delta }_1$ et ${\delta }_2$ de l'hyperbole sont rejetées à l'infini perpendiculairement à la direction commune de $(D_h)$ et $(D)$» $($donc parallèlement à l'axe focal de l'hyperbole$)$ quand l'excentricité $e$ de cette dernière tend vers $1$ car l'angle que fait l'une ou l'autre de ces asymptotes avec l'axe focal étant $\alpha =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$Modèle:, avec $a=\frac{p}{e^2-1}$ et $b=\frac{p}{\sqrt{e^2-1}}$ $($voir sous-paragraphe précédent$)$, on en déduit «$\alpha =\arctan \left(\frac{\frac{p}{\sqrt{e^2-1}}}{\frac{p}{e^2-1}}\right)=\arctan \left(\sqrt{e^2-1}\right)$» $\Rightarrow$ «$\alpha =\arctan \left(\sqrt{e^2-1}\right)\to 0$ quand $e\to 1^{+}$» $[$la parabole limite n'a donc pas d'asymptotes mais simplement une direction asymptotique $\parallel$ à l'axe de la parabole$]$.

Mise en équation des coniques

Équations cartésiennes des coniques

Parabole de sommet O et d'axe Oy

Équation cartésienne

Modèle:Proposition Modèle:AlJustification : Pour $a>0$, la concavité étant vers les $y>0$, le foyer $F$ a pour coordonnées cartésiennes $(x_F=0,y_F=\frac{p}{2})$ et
Modèle:AlModèle:Transparentla directrice associée $(D)\parallel$ à l'axe $Ox$ a pour équation $y_{(D)}=-\frac{p}{2},\mathrm{\forall }x\in ℝ$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentla définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points $M(x_M,y_M)$ tel que $MF=MH$» avec $H$ projeté orthogonal de $M$ sur la directrice $(D)$ soit
Modèle:AlModèle:Transparentde coordonnées $(x_H=x_M,y_H=-\frac{p}{2})$, nous en déduisons
Modèle:AlModèle:Transparent$M{F}^2=M{H}^2$ avec $M{F}^2={(x_F-x_M)}^2+{(y_F-y_M)}^2=x_M^2+{(\frac{p}{2}-y_M)}^2$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$M{H}^2={(x_H-x_M)}^2+{(y_H-y_M)}^2={(-\frac{p}{2}-y_M)}^2$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$x_M^2+{(\frac{p}{2}-y_M)}^2={(\frac{p}{2}+y_M)}^2$ ou $x_M^2={(\frac{p}{2}+y_M)}^2-{(\frac{p}{2}-y_M)}^2$ ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent$x_M^2=[(\frac{p}{2}+y_M)+(\frac{p}{2}-y_M)][(\frac{p}{2}+y_M)-(\frac{p}{2}-y_M)]=p\left[2y_M\right]$ et
Modèle:AlModèle:Transparentfinalement «$y_M=\frac{1}{2p}{x}_M^2$» s'identifiant à l'équation cartésienne «$y_M=a{x}_M^2$»
Modèle:AlModèle:Transparentsi «$a=\frac{1}{2p}$ $\iff$ $p=\frac{1}{2a}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentle foyer «$F$» de la parabole d'équation cartésienne «$y=a{x}^2$» a pour ordonnée «$y_F=\frac{p}{2}=\frac{1}{4a}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentsa directrice associée «$(D)$» pour équation «$y_{(D)}=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4a},\mathrm{\forall }x\in ℝ$».

Propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque

Propriété d'intersection de la tangente à la parabole en un point quelconque $M$ et de sa tangente au sommet $S$

Modèle:AlÉnoncé : Considérant une parabole de sommet $S$, la tangente en un point quelconque $M$ $($de projeté $H$ sur la tangente au sommet$)$
Modèle:AlModèle:Transparentrecoupe la tangente au sommet au milieu de $SH$.

Modèle:AlDémonstration : Considérons la parabole d’équation cartésienne $y=a{x}^2$, de sommet $S(0,0)$ et un point quelconque $M(x,y=a{x}^2)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla tangente en $M$ à la parabole a pour équation $Y-y=$ $y^{\prime }(x)[X-x]$ avec $y^{\prime }(x)=2ax$ soit encore
Modèle:AlModèle:Transparent$Y-a{x}^2=2ax[X-x]$ ou $Y=2axX-a{x}^2$ soit enfin
Modèle:AlModèle:Transparent$Y=2ax[X-\frac{x}{2}]$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla tangente en $M$ recoupe l’axe des $x$ $[$c.-à-d. la tangente au sommet$]$ en $J$ d’abscisse $X_J=\frac{x}{2}$ moitié de l’abscisse de $M$ ou
Modèle:AlModèle:Transparentde $H$ ;

Modèle:AlModèle:Transparenten conclusion de $X_J=\frac{X_H}{2}$ on en déduit que $J$ est le milieu du segment $[SH]$.

Ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy

Modèle:Proposition Modèle:AlJustification avec$Ox$axe focal : Le demi-grand axe est donc $a=a^{\prime }$ et le demi-petit axe $b=b^{\prime }$, la distance séparant le centre $O$ de chacun des foyers est $CF=C{F}^{\prime }=c=\sqrt{a^2-b^2}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$CF=C{F}^{\prime }=c=\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparentle foyer $F$ a pour coordonnées cartésiennes $(x_F=\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2},y_F=0)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentsa directrice associée $(D)$ étant $\perp$ à l'axe focal $Ox$ est $\parallel$ à $Oy$, situé à la distance $\frac{p}{e}$ au-delà de $F$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$p=\frac{b^2}{a}$ soit ici $p=\frac{{b^{\prime }}^2}{a^{\prime }}$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$e=\frac{c}{a}$ soit ici $e=\frac{\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}}{a^{\prime }}=\sqrt{1-\frac{{b^{\prime }}^2}{{a^{\prime }}^2}}$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$\frac{p}{e}=\frac{\frac{{b^{\prime }}^2}{a^{\prime }}}{\sqrt{1-\frac{{b^{\prime }}^2}{{a^{\prime }}^2}}}=\frac{{b^{\prime }}^2}{\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation de la directrice $(D)$ $x_{(D)}=c+\frac{p}{e}$ $=\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}+\frac{{b^{\prime }}^2}{\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}}$ soit finalement $x_{(D)}=\frac{{a^{\prime }}^2}{\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}},\mathrm{\forall }y\in ℝ$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentla définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points $M(x_M,y_M)$ tel que $MF=eMH$» avec $H$ projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$H(x_H=\frac{{a^{\prime }}^2}{\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}},y_H=y_M)$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$M{F}^2=e^{2}M{H}^2$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$M{F}^2={(x_F-x_M)}^2+{(y_F-y_M)}^2={(\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}-x_M)}^2+y_M^2$
Modèle:AlModèle:Transparentet $M{H}^2={(x_H-x_M)}^2+{(y_H-y_M)}^2={(\frac{{a^{\prime }}^2}{\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}}-x_M)}^2$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent${(\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}-x_M)}^2+y_M^2=(1-\frac{{b^{\prime }}^2}{{a^{\prime }}^2}){(\frac{{a^{\prime }}^2}{\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}}-x_M)}^2$
Modèle:AlModèle:Transparentou ${(\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}-x_M)}^2+y_M^2={(a^{\prime }-\frac{\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}}{a^{\prime }}{x}_M)}^2$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$({a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2)+x_M^2-2\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}{x}_M+y_M^2={a^{\prime }}^2+\frac{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}{{a^{\prime }}^2}{x}_M^2-2\sqrt{{a^{\prime }}^2-{b^{\prime }}^2}{x}_M$ ou, après simplification,
Modèle:AlModèle:Transparent$\frac{{b^{\prime }}^2}{{a^{\prime }}^2}{x}_M^2+y_M^2={b^{\prime }}^2$ et, en divisant les deux membres par ${b^{\prime }}^2$, l'équation «$\frac{x_M^2}{{a^{\prime }}^2}+\frac{y_M^2}{{b^{\prime }}^2}=1$» C.Q.F.D..

Modèle:AlCas du cercle : l'excentricité d'un cercle étant $e=0$ et son expression pour une ellipse $e=\sqrt{1-\frac{{b^{\prime }}^2}{{a^{\prime }}^2}}$, on en déduit $a^{\prime }=b^{\prime }$ dont la valeur commune définit le rayon $R$ d'où Modèle:Proposition

Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy

Modèle:Proposition Modèle:AlJustification : $Ox$ étant l'axe focal, le demi-axe focal est $a$ et le demi-axe non focal $b$, la distance séparant le centre $O$ de chacun des foyers est $CF=C{F}^{\prime }=c=\sqrt{a^2-b^2}$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparentle foyer $F$ a pour coordonnées cartésiennes $(x_F=\sqrt{a^2-b^2},y_F=0)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentsa directrice associée $(D)$ étant $\perp$ à l'axe focal $Ox$ est $\parallel$ à $Oy$, situé à la distance $\frac{p}{e}$ en deçà de $F$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$p=\frac{b^2}{a}$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$e=\frac{c}{a}$ soit ici $e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$\frac{p}{e}=\frac{\frac{b^2}{a}}{\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}}=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation de la directrice $(D)$ $x_{(D)}=c-\frac{p}{e}$ $=\sqrt{a^2+b^2}-\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ soit finalement $x_{(D)}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}},\mathrm{\forall }y\in ℝ$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentla définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points $M(x_M,y_M)$ tel que $MF=eMH$» avec $H$ projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$H(x_H=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}},y_H=y_M)$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent$M{F}^2=e^{2}M{H}^2$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$M{F}^2={(x_F-x_M)}^2+{(y_F-y_M)}^2$ $={(\sqrt{a^2+b^2}-x_M)}^2+y_M^2$
Modèle:AlModèle:Transparentet $M{H}^2={(x_H-x_M)}^2+{(y_H-y_M)}^2={(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}-x_M)}^2$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent${(\sqrt{a^2+b^2}-x_M)}^2+y_M^2=(1+\frac{b^2}{a^2}){(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}-x_M)}^2$
Modèle:AlModèle:Transparentou ${(\sqrt{a^2+b^2}-x_M)}^2+y_M^2={(a-\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}{x}_M)}^2$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent$(a^2+b^2)+x_M^2-2\sqrt{a^2+b^2}{x}_M+y_M^2=a^2+\frac{a^2+b^2}{a^2}{x}_M^2-2\sqrt{a^2+b^2}{x}_M$ ou, après simplification,
Modèle:AlModèle:Transparent$\frac{b^2}{a^2}{x}_M^2-y_M^2=b^2$ et, en divisant les deux membres par $b^2$, l'équation «$\frac{x_M^2}{a^2}-\frac{y_M^2}{b^2}=1$» C.Q.F.D..

Modèle:AlCas d'une hyperbole équilatère de centre$O$, d'asymptotes$Ox$et$Oy$ : Une hyperbole est dite « équilatère » si ses asymptotes sont $\perp$ $\Rightarrow$ « le demi-axe non focal $b$ est égal au demi-axe focal $a$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentnotant $O{x}^{\prime }$ l'axe focal de cette hyperbole équilatère et $O{y}^{\prime }$ son axe non focal, son équation cartésienne s'écrit alors
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{{x^{\prime }}^2}{a^2}-\frac{{y^{\prime }}^2}{a^2}=1$» dans laquelle «$a$ est la valeur commune des demi-axes focal et non focal » ou «${x^{\prime }}^2-{y^{\prime }}^2=a^2$» ;
Modèle:AlModèle:Transparenteffectuant un changement d'axes correspondant à une rotation de centre $O$ et d'angle $-\frac{\pi }{4}$ de façon à ce que l'axe focal $O{x}^{\prime }$
Modèle:AlModèle:Transparentsoit la 1^ère bissectrice du nouveau système d'axes $(Ox,Oy)$ $[$c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté $\widehat{({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)}]$, les anciennes
Modèle:AlModèle:Transparentcoordonnées $(x^{\prime },y^{\prime })$ d'un point $M$ étant liées aux nouvelles $(x,y)$ par $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\cos (-\frac{\pi }{4})-y\sin (-\frac{\pi }{4})\\ y^{\prime }=x\sin (-\frac{\pi }{4})+y\cos (-\frac{\pi }{4})\end{array}\right\}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\\ y^{\prime }=\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\end{array}\right\}$,
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation de l'hyperbole équilatère dans l'ancien système d'axes «${x^{\prime }}^2-{y^{\prime }}^2=a^2$» se réécrivant «$(x^{\prime }-y^{\prime })(x^{\prime }+y^{\prime })=a^2$»
Modèle:AlModèle:Transparentavec «$x^{\prime }+y^{\prime }=\frac{2y}{\sqrt{2}}=y\sqrt{2}$» et «$x^{\prime }-y^{\prime }=\frac{2x}{\sqrt{2}}=x\sqrt{2}$» soit finalement
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation de l'hyperbole équilatère dans le nouveau système d'axes «$\left(x\sqrt{2}\right)\left(y\sqrt{2}\right)=a^2$» ou «$y=\frac{a^2}{2x}$». Modèle:Proposition Modèle:AlCommentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre$O$, d'asymptotes$Ox$et$Oy$ : pour «$k>0$», l'axe focal étant la 1^ère bissectrice $[$c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté $\widehat{({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)}]$,
Modèle:AlModèle:Transparentla valeur commune des demi-axes focal et non focal s'évalue par «$a=b=\sqrt{2k}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentl'excentricité de l'hyperbole équilatère par «$e=\sqrt{2}$» $[$les foyers, de part et d'autre de
Modèle:AlModèle:Transparent$O$ sur la 1^ère bissectrice, en étant distants de «$c=ae=2\sqrt{k}$»$]$ alors que

Modèle:AlModèle:Transparentpour «$k<0$», l'axe focal étant la 2^ème bissectrice $[$c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté $\widehat{({\overrightarrow{u}}_x,-{\overrightarrow{u}}_y)}]$,
Modèle:AlModèle:Transparentla valeur commune des demi-axes focal et non focal s'évalue par «$a=b=\sqrt{-2k}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentl'excentricité de l'hyperbole équilatère par «$e=\sqrt{2}$» $[$les foyers, de part et d'autre de
Modèle:AlModèle:Transparent$O$ sur la 2^ème bissectrice, en étant distants de «$c=ae=2\sqrt{-k}$»$]$.

Équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy

Équations paramétriques d'un cercle de centre O

Paramétrage d'un cercle de centre $O$ par l'abscisse angulaire de son point générique $M_c$ définie selon $\theta$ $=\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{O{M}_c})}$

Modèle:AlLe cercle de centre $O$, de rayon $R$, a pour équations paramétriques «$\left\{\begin{array}{c}X=R\cos (\theta )\\ Y=R\sin (\theta )\end{array}\right\}$», le paramètre «$\theta =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{O{M}_c})}$» étant l'abscisse angulaire
Modèle:AlModèle:Transparentdu point générique $M_c(X,Y)$ du cercle ;

Modèle:Alce cercle est décrit une seule fois si le domaine de variation de $\theta$ est large de $2\pi$ par exemple «$\theta \in ]-\pi ;\pi ]$» ;

Modèle:Alces équations paramétriques sont bien celles du cercle d'équation cartésienne «$\frac{X^2}{R^2}+\frac{Y^2}{R^2}=1$», l'élimination du paramètre $\Leftarrow$ $\left\{\begin{array}{c}\cos (\theta )=\frac{X}{R}\\ \sin (\theta )=\frac{Y}{R}\end{array}\right\}$ et
Modèle:AlModèle:Transparent${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$.

Affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k

Modèle:AlPour tout point $M$ du plan, «$M^{\prime }$ est son image par l'affinité d'axe $Ox$, de direction $Oy$ et de rapport $k$» si,
Modèle:AlModèle:Transparent«$H$ étant le projeté de $M$ sur $Ox$ parallèlement à $Oy$», «$M^{\prime }$ a même projeté que $M$ sur $Ox$ parallèlement à $Oy$» tel que
Modèle:AlModèle:Transparent«$\overline{H{M}^{\prime }}=k\overline{HM}$»
Modèle:AlModèle:Transparent$[$«$M\stackrel{{𝒜}_{\text{axe}Ox}^{\text{dir.}Oy}(k)}{⟼}{M}^{\prime }$» si $M{M}^{\prime }$ est $\parallel$ à $Oy$, le projeté commun $H$ de $M$ et $M^{\prime }$ sur $Ox$ parallèlement à $Oy$ étant tel que «$\overline{H{M}^{\prime }}=k\overline{HM}$»$]$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentsi les « coordonnées cartésiennes de $M$ sont $\{x,y\}$», « celles de $M^{\prime }$ sont $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=ky\end{array}\right\}$».

Conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy

Présentation de l'affinité d'axe $Ox$, de direction $Oy$ et de rapport $\frac{b}{a}$ transformant le cercle de centre $O$ et de rayon $a$ en ellipse de même centre $O$, de grand axe $Ox$ et de petit axe $Oy$

Modèle:AlJustification$Ox$étant axe focal : L'ellipse de centre $O$, d'axe focal $x^{\prime }x$ et non focal $y^{\prime }y$, donc de demi-grand axe $a=a^{\prime }$ et de demi-petit axe $b=b^{\prime }$,
Modèle:AlModèle:Transparentest l'image du cercle de même centre $O$ et de rayon $a=a^{\prime }$
Modèle:AlModèle:Transparentpar l'affinité d'axe $Ox$, de direction $Oy$ et de rapport $k=\frac{b}{a}=\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}$
Modèle:AlModèle:Transparent$($voir figure ci-contre$)$ car
Modèle:AlModèle:Transparentl'affinité d'axe $Ox$, de direction $Oy$ et de rapport $k=\frac{b}{a}=\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}$ associe le point courant $M_c(X,Y)$ du cercle au
Modèle:AlModèle:Transparentpoint courant $M(x=X,y=\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}Y)$
Modèle:AlModèle:Transparentde l'ellipse ;

Modèle:AlModèle:Transparenton peut déduire des équations paramétriques du cercle de centre $O$ et de rayon $a=a^{\prime }$ «$\left\{\begin{array}{c}X=a^{\prime }\cos (\theta )\\ Y=a^{\prime }\sin (\theta )\end{array}\right\}$»,
Modèle:Transparentcelles de l'ellipse de même centre $O$, d'axe focal $x^{\prime }x$ et non focal $y^{\prime }y$, donc
Modèle:Transparentde demi-grand axe $a=a^{\prime }$ et de demi-petit axe $b=b^{\prime }$,
Modèle:AlModèle:Transparenten utilisant l'affinité précédemment définie «$\left\{\begin{array}{c}x=X\\ y=\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}Y\end{array}\right\}$» $\Rightarrow$ «$\left\{\begin{array}{c}x=a^{\prime }\cos (\theta )\\ y=b^{\prime }\sin (\theta )\end{array}\right\}$».

Modèle:AlRemarque : Les équations paramétriques de l'ellipse d'équation cartésienne $\frac{x^2}{{a^{\prime }}^2}+\frac{y^2}{{b^{\prime }}^2}=1$ restent les mêmes pour une ellipse de centre $O$, d'axe focal $y^{\prime }y$ et non focal $x^{\prime }x$, donc
Modèle:AlModèle:Transparentde demi-grand axe $a=b^{\prime }$ et de demi-petit axe $b=a^{\prime }$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{c}x=a^{\prime }\cos (\theta )\\ y=b^{\prime }\sin (\theta )\end{array}\right\}$», l'affinité à considérer étant indépendante de la nature des axes pour l'ellipse.

Courbe de Lissajous correspondant à la visualisation à l'oscilloscope en fonctionnement (x, y) d'une tension sinusoïdale en fonction d'une autre tension sinusoïdale de même fréquence

Modèle:AlSi on impose les tensions «$u_1(t)=U_{m,1}\cos (\omega t+{\phi }_1)$» sur la voie $CH1$ et «$u_2(t)=U_{m,2}\cos (\omega t+{\phi }_2)$» sur la voie $CH2$, toutes deux étant de même fréquence «$f=\frac{\omega }{2\pi }$» et
Modèle:Alsi on choisit le « fonctionnement $(x,y)$ de l'oscilloscope », on visualise une « courbe de Lissajous »Modèle:, fermée$[$« les deux tensions ayant une période commune »$]$ et
Modèle:AlModèle:Transparentcette courbe de LissajousModèle:, est une « ellipse de centre$O$» $[$même plus petite période des deux tensions$]$
Modèle:AlModèle:Transparentdéterminée par ses équations paramétriques «$\left\{\begin{array}{c}x=U_{m,1}\cos (\omega t+{\phi }_1)\\ y=U_{m,2}\cos (\omega t+{\phi }_2)\end{array}\right\}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$si «${\phi }_2={\phi }_1$» $($les tensions étant en phase$)$, l'ellipse est dégénérée en segment de droite de pente positive,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$si «${\phi }_2={\phi }_1\pm \pi$» $($les tensions étant en opposition de phase$)$, l'ellipse est dégénérée en segment de droite
Modèle:AlModèle:Transparentde pente négative,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$si «${\phi }_2={\phi }_1\pm \frac{\pi }{2}$» $($les tensions étant en quadrature de phase$)$, « l'ellipse admet $x^{\prime }x$ et $y^{\prime }y$ comme
Modèle:AlModèle:Transparentaxes de symétrie » et
Modèle:AlModèle:Transparentpar choix des sensibilités des deux voies, la courbe de LissajousModèle:, peut devenir un cercle ;
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$dans tous les autres cas on admet que la courbe de LissajousModèle:, est une ellipse de centre $O$
Modèle:AlModèle:Transparentinscrite dans un « rectangle à côtés $\parallel$ aux axes $x^{\prime }x$ et $y^{\prime }y$»
Modèle:AlModèle:Transparentde longueurs respectives «$2U_{m,1}$ le long de $x^{\prime }x$» et
Modèle:AlModèle:Transparent«$2U_{m,2}$ le long de $y^{\prime }y$».

Mouvement circulaire uniforme d'un point et mouvement rectiligne sinusoïdal de son projeté sur un diamètre

Schéma permettant de visualiser le lien entre le mouvement circulaire uniforme d'un point $M$ et ceux rectilignes sinusoïdaux de ses projetés $M_x$ et $M_y$ respectivement sur $Ox$ et $Oy$

Modèle:AlLe mouvement uniforme de $M$ sur le cercle de centre $O$, de rayon $R$, est décrit par l'équation horaire de son abscisse angulaire en fonction du temps selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$\theta =\omega t+{\theta }_0$» ;

Modèle:Alon en déduit ses équations horaires cartésiennes «$\left\{\begin{array}{c}x=R\cos (\omega t+{\theta }_0)\\ y=R\sin (\omega t+{\theta }_0)\end{array}\right\}$» $\Rightarrow$ les mouvements des projetés de $M$ sur les axes $x^{\prime }x$ et $y^{\prime }y$, c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentde $M_x$ et $M_y$, sont $($rectilignes$)$ sinusoïdaux
Modèle:AlModèle:Transparentde pulsation égale à la « valeur absolue de la vitesse angulaire de $M$» :

• si la vitesse angulaire «$\omega$ est $>0$», «$y=R\sin (\omega t+{\theta }_0)=R\cos (\omega t+{\theta }_0-\frac{\pi }{2})$» $\Rightarrow$ «$M_y$ est en quadrature retard sur $M_x$» alors que
• si la vitesse angulaire «$\omega$ est $<0$», elle s'écrit encore «$\omega =-|\omega |$», on en déduit «$x=R\cos (\omega t+{\theta }_0)=R\cos (-|\omega |t+{\theta }_0)=R\cos (|\omega |t-{\theta }_0)$» et «$y=R\sin (\omega t+{\theta }_0)=R\sin (-|\omega |t+{\theta }_0)=-R\sin (|\omega |t-{\theta }_0)=R\cos (|\omega |t-{\theta }_0+\frac{\pi }{2})$» $\Rightarrow$ «$M_y$ est en quadrature avance sur $M_x$».

Modèle:AlOn peut aussi affirmer que la composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux de même pulsation, de « même amplitude et en quadrature de phase » suivant deux directions orthogonales, est un mouvement circulaire uniforme.

En complément, équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy

Équations paramétriques d'une hyperbole équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy

Raison pour laquelle Modèle:Nobr introduisit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

Modèle:AlRappel : Une hyperbole équilatère de centre $O$, d'axes focal $Ox$ et non focal $Oy$, de demi-axes focal et non focal $a$ ayant pour
Modèle:AlModèle:Transparentéquation cartésienne $($sous forme implicite$)$ «$x^2-y^2=a^2$», nous en déduisons l'équation cartésienne $($sous forme implicite$)$ de
Modèle:AlModèle:Transparentl'hyperbole équilatère de centre $O$, d'axes focal $Ox$ et non focal $Oy$, de demi-axes focal et non focal unité, «$x^2-y^2=1$».

Modèle:AlUne demi-droite, passant par l'origine $O$, coupe l'hyperbole équilatère de centre $O$, d'axes focal $Ox$ et non focal $Oy$,
Modèle:AlModèle:Transparentde demi-axes focal et non focal unité,
Modèle:AlModèle:Transparenten un point dont les coordonnées ont été paramétrées en fonction d'une grandeur $𝔞$
Modèle:AlModèle:Transparentpar Vincenzo Riccati,
Modèle:AlModèle:Transparentparamétrage qui lui permit de créer de nouvelles fonctions baptisées
Modèle:AlModèle:Transparent« cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée,
Modèle:AlModèle:Transparentplus précisément $\{x=\cosh (𝔞);y=\sinh (𝔞)\}$, le paramètre $𝔞$ s'avérant être
Modèle:AlModèle:Transparent« le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite,
Modèle:AlModèle:Transparentl'hyperbole équilatère de demi-axes unité et l'axe des abscisses »
Modèle:AlModèle:Transparent$($en rouge sur le schéma ci-contre$)$.

Modèle:AlJustification : on vérifie que les coordonnées du point $M$ d'abscisse $x=\cosh (𝔞)$ et d'ordonnée $y=\sinh (𝔞)$
Modèle:AlModèle:Transparentsuivent effectivement l'équation de l'hyperbole équilatère de demi-axes unité
Modèle:AlModèle:Transparent«$x^2-y^2=1$» en utilisant la relation fondamentale liant $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ soit «${\cosh }^2(𝔞)-{\sinh }^2(𝔞)=1$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentensuite le vecteur position de $M$ s'écrivant $\overrightarrow{OM}=\cosh (𝔞){\overrightarrow{u}}_x+\sinh (𝔞){\overrightarrow{u}}_y$ on en déduit
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$le vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}=\sinh (𝔞)d𝔞{\overrightarrow{u}}_x+\cosh (𝔞)d𝔞{\overrightarrow{u}}_y$ puis
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$le vecteur surface élémentaire $\overrightarrow{dS}$ balayée par le rayon vecteur $\overrightarrow{OM}$ quand le point $M$ se déplace de $\overrightarrow{dM}$ sur l'hyperbole équilatère de demi-axes unité
Modèle:AlModèle:Transparentà l'aide de sa définition $\overrightarrow{dS}=\frac{\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{dM}}{2}$, soit $\overrightarrow{dS}=\frac{[\cosh (𝔞){\overrightarrow{u}}_x+\sinh (𝔞){\overrightarrow{u}}_y]\wedge [\sinh (𝔞)d𝔞{\overrightarrow{u}}_x+\cosh (𝔞)d𝔞{\overrightarrow{u}}_y]}{2}$ $=\frac{[{\cosh }^2(𝔞)-{\sinh }^2(𝔞)]d𝔞}{2}{\overrightarrow{u}}_z$ et,
Modèle:AlModèle:Transparenten utilisant la relation fondamentale liant $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ c.-à-d. «${\cosh }^2(𝔞)-{\sinh }^2(𝔞)=1$» $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{dS}=\frac{d𝔞}{2}{\overrightarrow{u}}_z$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$l'expression de l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\overrightarrow{OM}$ quand le point $M$ se déplace de $\overrightarrow{dM}$ sur l'hyperbole équilatère de demi-axes unité, «$\frac{d𝔞}{2}$» soit enfin
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur $\overrightarrow{OM}$ quand le point $M$ se déplace sur l'hyperbole équilatère de demi-axes unité
Modèle:AlModèle:Transparentdu point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $𝔞$
Modèle:AlModèle:Transparent«$\frac{𝔞}{2}$» (C.Q.F.V.) ;
Modèle:AlModèle:Transparentle paramètre$𝔞$ de l'hyperbole équilatère de centre $O$, de demi-axes unité, représente le double de l'aire balayée par le rayon vecteur$\overrightarrow{OM}$quand le point$M$se déplace
Modèle:AlModèle:Transparentsur cette hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par ce paramètre.

Modèle:AlRemarque : Il y a un lien entre l'angle $\theta =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})}$ et l'aire $𝔞$ de la surface balayée par le rayon vecteur quand $M$ se déplace sur l'hyperbole équilatère de demi-axes unité
Modèle:AlModèle:Transparentdu point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $\theta$ mais,
Modèle:AlModèle:Transparentcontrairement au cas du cercle, $𝔞\ne \frac{\theta }{2}$ ;
Modèle:AlModèle:Transparenten effet, dans le cas de la branche d'hyperbole équilatère de demi-axes unité, les coordonnées polaires du point $M\{\rho ,\theta \}$ sont telles que $\left\{\begin{array}{c}x=\rho \cos (\theta )\\ y=\rho \sin (\theta )\end{array}\right\}$, ce qui donne,
Modèle:AlModèle:Transparentpar report dans l'équation cartésienne «$x^2-y^2=1$» de cette branche, ${\rho }^2{\cos }^2(\theta )-{\rho }^2{\sin }^2(\theta )=1$ ou ${\rho }^2=\frac{1}{{\cos }^2(\theta )-{\sin }^2(\theta )}$ c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation polaire de la branche «${\rho }^2=\frac{1}{\cos (2\theta )}$» $[$on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à $\rho \to +\mathrm{\infty }$ soit $\theta \to \pm \frac{\pi }{4}]$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentle vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand $M$ se déplace de $\overrightarrow{dM}$ sur la branche d'hyperbole équilatère de demi-axes unité
Modèle:AlModèle:Transparentétant $\overrightarrow{dS}=\frac{\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{dM}}{2}$, se réécrit en polaire $\overrightarrow{dS}=\frac{\rho {\overrightarrow{u}}_{\rho }\wedge (d\rho {\overrightarrow{u}}_{\rho }+\rho d\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta })}{2}=\frac{{\rho }^{2}d\theta }{2}{\overrightarrow{u}}_z$ dont on tire
Modèle:AlModèle:Transparentl'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur «$d𝔞=\frac{{\rho }^{2}d\theta }{2}=\frac{d\theta }{2\cos (2\theta )}$ effectivement $\ne \frac{d\theta }{2}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparenton obtient alors $𝔞$ en intégrant la relation précédente entre $0$ et $\theta$ soit «$𝔞=\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{d{\theta }^{\prime }}{2\cos (2{\theta }^{\prime })}$» qui s'intègre
Modèle:AlModèle:Transparenten posant $t^{\prime }=\tan \left({\theta }^{\prime }\right)$ $\Rightarrow$ $d{t}^{\prime }=[1+{\tan }^2\left({\theta }^{\prime }\right)]d{\theta }^{\prime }$ $\Rightarrow$ «$d{\theta }^{\prime }=\frac{d{t}^{\prime }}{1+{t^{\prime }}^2}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\cos (2{\theta }^{\prime })={\cos }^2({\theta }^{\prime })-{\sin }^2({\theta }^{\prime })={\cos }^2({\theta }^{\prime })[1-{\tan }^2({\theta }^{\prime })]=\frac{1-{\tan }^2({\theta }^{\prime })}{1+{\tan }^2({\theta }^{\prime })}=\frac{1-{t^{\prime }}^2}{1+{t^{\prime }}^2}$ $\Rightarrow$ «$\frac{1}{\cos (2{\theta }^{\prime })}=\frac{1+{t^{\prime }}^2}{1-{t^{\prime }}^2}$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparent«$𝔞=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{d{t}^{\prime }}{1-{t^{\prime }}^2}$» dans laquelle on décompose «$\frac{1}{1-{t^{\prime }}^2}$» en éléments irréductibles simples selon «$\frac{1}{1-{t^{\prime }}^2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-t^{\prime }}+\frac{\frac{1}{2}}{1+t^{\prime }}$», ce qui conduit à
Modèle:AlModèle:Transparent«$𝔞=\frac{1}{4}[\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{d{t}^{\prime }}{1-t^{\prime }}+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{d{t}^{\prime }}{1+t^{\prime }}]=\frac{1}{4}[\underset{t^{\prime }=0}{\overset{t^{\prime }=t}{\int }}\frac{d(1+t^{\prime })}{1+t^{\prime }}-\underset{t^{\prime }=0}{\overset{t^{\prime }=t}{\int }}\frac{d(1-t^{\prime })}{1-t^{\prime }}]=\frac{1}{4}{[\ln \left(\frac{1+t^{\prime }}{1-t^{\prime }}\right)]}_0^t$ $=\frac{1}{4}\ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)$» soit finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«$𝔞=\frac{1}{4}\ln \left[\frac{1+\tan (\theta )}{1-\tan (\theta )}\right]$»Modèle:,.

Affinité d'axe x'x, de direction y'y d'une hyperbole équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy

Modèle:AlOn peut transformer l'« hyperbole équilatère de centre $O$, d'axes focal $Ox$ et non focal $Oy$, de demi-axes communs $a$» par affinité d'axe $x^{\prime }x$, de direction $y^{\prime }y$ et de rapport $k$ en
Modèle:AlModèle:Transparentl'« hyperbole de centre $O$, d'axes focal $Ox$ et non focal $Oy$, de demi-axes focal $a$ et non focal $b$» en fixant le rapport «$k=\frac{b}{a}$» en effet,

Modèle:AlModèle:Transparentles équations paramétriques de l'hyperbole équilatère de centre $O$, d'axes focal $Ox$ et non focal $Oy$, de demi-axes communs $a$ étant «$\left\{\begin{array}{c}X=a\cosh \left(\xi \right)\\ Y=a\sinh \left(\xi \right)\end{array}\right\}$» avec
Modèle:AlModèle:Transparentpour paramètre $\xi$ « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite $OM$, l'hyperbole équilatère de demi-axes communs $a$ et l'axe des abscisses,
Modèle:AlModèle:Transparentaire exprimée en unité $a^2$ »,

Modèle:AlModèle:Transparentson image par l'affinité d'axe $x^{\prime }x$, de direction $y^{\prime }y$ et de rapport $k=\frac{b}{a}$ c.-à-d. l'« hyperbole de centre $O$, d'axes focal $Ox$ et non focal $Oy$,
Modèle:AlModèle:Transparentde demi-axes focal $a$ et non focal $b$»
Modèle:AlModèle:Transparenta pour équations paramétriques «$\left\{\begin{array}{ccccc}x& =& X& =& a\cosh \left(\xi \right)\\ y& =& \frac{b}{a}Y& =& b\sinh \left(\xi \right)\end{array}\right\}$» avec,
Modèle:AlModèle:Transparentpour paramètre $\xi$ « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite $OM$, l'hyperbole équilatère de centre $O$, de demi-axes communs $a$ et l'axe des $x$,
Modèle:AlModèle:Transparentaire exprimée en unité $a^2$ »Modèle:,.

Modèle:AlJustification : les équations paramétriques «$\left\{\begin{array}{c}x=a\cosh (\xi )\\ y=b\sinh (\xi )\end{array}\right\}$» sont bien celles de l'« hyperbole de centre $O$, d'axes focal $Ox$ et non focal $Oy$, de demi-axes focal $a$ et non focal $b$» car,
Modèle:AlModèle:Transparenten éliminant le paramètre $\xi$ entre les deux équations paramétriques $\left\{\begin{array}{c}\cosh (\xi )=\frac{x}{a}\\ \sinh (\xi )=\frac{y}{a}\end{array}\right\}$ et utilisant la relation fondamentale liant $\cosh ()$ et $\sinh ()$ ${\cosh }^2(\xi )-{\sinh }^2(\xi )=1$,
Modèle:AlModèle:Transparenton retrouve bien son équation cartésienne $($sous forme implicite$)$ «$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$».

Équations polaires des coniques

Généralités sur le repérage polaire d'un point d'un plan fixe

Modèle:AlRappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point $M$ du plan fixe nécessite le choix $($dans ce plan$)$ d'une origine «$O$» et d'une base orthonormée liée au plan «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentune fois ce choix fait, $M$ est repéré par ses coordonnées cartésiennes «$(x,y)$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenton peut repérer autrement le point $M$ relativement au repère cartésien «$\{O,{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y\}$»
Modèle:AlModèle:Transparenten précisant ses coordonnées polaires c.-à-d. «$(r,\theta )$» où
Modèle:AlModèle:Transparent«$r=OM⩾0$» est « la 1^ère coordonnée polaire exprimée en $m$»
Modèle:AlModèle:Transparentappelée « coordonnée radiale »,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\theta =\widehat{(\overrightarrow{u_x};\overrightarrow{OM})}$» étant « la 2^ème coordonnée polaire exprimée en $rad$»
Modèle:AlModèle:Transparentappelée « coordonnée $($ou abscisse$)$ angulaire »
Modèle:AlModèle:Transparent$[$l'axe $Ox$ étant appelé « axe polaire »$]$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentquand un point $M$ décrit une courbe, celle-ci peut être caractérisée par son « équation polaire »
Modèle:AlModèle:Transparentc.-à-d. la fonction explicitant la coordonnée radiale de $M$ «$r$» en fonction de
Modèle:AlModèle:Transparentson abscisse angulaire «$\theta$» soit «$r=r(\theta )$».

Exemple de courbe définie par son équation polaire

Cercle passant par $O$, centré sur l'axe polaire $Ox$ et de diamètre $a$, ayant pour équation polaire «$r=a\cos (\theta )$»

Modèle:AlCi-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «$r=a\cos (\theta )$» : cette courbe est un « cercle passant par $O$, de diamètre $a$ et centré au point $C(\frac{a}{2},0)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« le domaine de variation de $\theta$ étant $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$» ;
Modèle:AlModèle:Transparenten effet multiplions l'équation polaire «$r=a\cos (\theta )$» de part et d'autre par «$r$»
Modèle:AlModèle:Transparentdans le but de faire apparaître «$r^2=x^2+y^2$» dans le membre de gauche, nous obtenons
Modèle:AlModèle:Transparent«$r^2=ar\cos (\theta )$» et, reconnaissant dans le membre de droite «$r\cos (\theta )=x$»,
Modèle:AlModèle:Transparentnous en déduisons l'équation cartésienne suivante «$x^2+y^2=ax$» qui se réécrit selon
Modèle:AlModèle:Transparent«$x^2-ax+y^2=0$ $\iff$ ${(x-\frac{a}{2})}^2+y^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$» définissant effectivement un cercle
Modèle:AlModèle:Transparent« centré en $C(\frac{a}{2},0)$» sur l'axe polaire $Ox$, « de rayon $\frac{a}{2}$» et « passant par $O$».

Choix communs de repérage polaire des coniques dont O est le (ou un des) foyer(s)

Modèle:AlLe pôle $O$ du repérage polaire étant le $($ou un des$)$ foyer(s), l'axe focal étant orienté de ce foyer vers le point le plus proche $[$c.-à-d. le « péricentre » pour une ellipse, le « sommet » pour une parabole
Modèle:AlModèle:Transparentou le « sommet » pour l'une ou l'autre branche d'une hyperbole$]$,
Modèle:AlModèle:Transparenton note «$\phi$» l'angle orienté que fait l'axe focal avec l'axe polaire c.-à-d. «$\phi =\widehat{(\overrightarrow{\text{axe polaire}},\overrightarrow{\text{axe focal}})}$».

Modèle:AlRemarque : Dans ce qui suit, l'établissement de l'équation polaire d'une conique dont le pôle $O$ est le $($ou un des$)$ foyer(s) a été faite à partir de la définition monofocale de cette dernière.

Équation polaire d'une ellipse de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e

Schéma représentant une ellipse dont $O$ est l'un des foyers et son repérage polaire de pôle $O$, l'axe focal $($orienté vers le péricentre de l'ellipse$)$ faisant l'angle $\phi$ avec l'axe polaire

Modèle:AlVoir ci-contre la disposition de l'ellipse par rapport au repère, un des foyers de l'ellipse choisi pour pôle $O$ du repérage polaire,
Modèle:AlModèle:Transparentl'axe focal $($orienté vers le péricentre $P$ de l'ellipse$)$ faisant l'angle $\phi$ avec l'axe polaire $\overrightarrow{Ox}$
Modèle:AlModèle:Transparent«$\phi =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OP})}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle point courant $M$ de l'ellipse étant repéré par ses coordonnées polaires «$\{r=OM,\theta =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})}\}$».

Établissement à partir de la définition monofocale de l'ellipse

Modèle:AlL'ellipse dont $O$ est un des foyers étant définie selon « l'ensemble des points $M$ du plan tel que $MO=eMH$ dans lequel
Modèle:AlModèle:Transparent$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$ directrice associée au foyer $O$
Modèle:AlModèle:Transparentet $e$ l'excentricité de l'ellipse » avec
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$MO=r$» coordonnée radiale du point $M$ dans son repérage polaire et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$MH=d\{O,(D)\}-OM\cos \left[\widehat{(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OM})}\right]=\frac{p}{e}-r\cos (\theta -\phi )$» dans laquelle
Modèle:AlModèle:Transparent«$p$ et $e$» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'ellipse,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\theta$ et $\phi$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $M$ et
Modèle:AlModèle:Transparentl'angle que fait l'axe focal $($orienté vers le péricentre $P$ de
Modèle:AlModèle:Transparentl'ellipse$)$ avec l'axe polaire $\overrightarrow{Ox}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentde «$MO=eMH$» on déduit «$r=e[\frac{p}{e}-r\cos (\theta -\phi )]=p-er\cos (\theta -\phi )$» soit «$r[1+e\cos (\theta -\phi )]=p$» et finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«$r=\frac{p}{1+e\cos (\theta -\phi )}$» sachant que «$1+e\cos (\theta -\phi )$ est $\ne 0,\mathrm{\forall }\theta$».

Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire

• La distance minimale d'approche $($distance séparant le péricentre $P$ de l'ellipse de son foyer $O)$ «$r_P=\frac{p}{1+e}$» $($correspondant à «$\theta =\phi$»$)$,
• La distance maximale d'éloignement $($distance séparant l'apocentre $A$ de l'ellipse de son foyer $O)$ «$r_A=\frac{p}{1-e}$» $($correspondant à «$\theta =\phi +\pi$»$)$,
• le demi-grand axe «$a$» par «$2a=r_P+r_A=\frac{p}{1+e}+\frac{p}{1-e}=\frac{2p}{1-e^2}$» d'où «$a=\frac{p}{1-e^2}$» et
• le demi-petit axe «$b$» par «$p=\frac{b^2}{a}\Rightarrow b=\sqrt{pa}$» ou, en y reportant l'expression de «$a=\frac{p}{1-e^2}$», «$b=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}$».

Équation polaire d'une parabole de foyer O et de paramètre p

Schéma représentant une parabole de foyer $O$ et son repérage polaire de pôle $O$, l'axe focal $($orienté vers le sommet de la parabole$)$ faisant l'angle $\phi$ avec l'axe polaire

Modèle:AlVoir ci-contre la disposition de la parabole par rapport au repère, le foyer de la parabole choisi pour pôle $O$ du repérage polaire,
Modèle:AlModèle:Transparentl'axe focal $($orienté vers le sommet $P$ de la parabole$)$ faisant l'angle $\phi$ avec l'axe polaire $\overrightarrow{Ox}$
Modèle:AlModèle:Transparent«$\phi =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OP})}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle point courant $M$ de la parabole étant repéré par ses coordonnées polaires «$\{r=OM,\theta =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})}\}$».

Établissement à partir de la définition (monofocale) de la parabole

Modèle:AlLa parabole de foyer $O$ étant définie selon « l'ensemble des points $M$ du plan tel que $MO=MH$ dans lequel
Modèle:AlModèle:Transparent$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$ directrice associée au foyer $O$ avec
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$MO=r$» coordonnée radiale du point $M$ dans son repérage polaire et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$MH=d\{O,(D)\}-OM\cos \left[\widehat{(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OM})}\right]=p-r\cos (\theta -\phi )$» dans laquelle
Modèle:AlModèle:Transparent«$p$» est « le paramètre » de la parabole,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\theta$ et $\phi$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $M$ et
Modèle:AlModèle:Transparentl'angle que fait l'axe focal $($orienté vers le sommet $P$ de
Modèle:AlModèle:Transparentla parabole$)$ avec l'axe polaire $\overrightarrow{Ox}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentde «$MO=MH$» on déduit «$r=p-r\cos (\theta -\phi )$» soit «$r[1+\cos (\theta -\phi )]=p$» et finalement
Modèle:AlModèle:Transparent«$r=\frac{p}{1+\cos (\theta -\phi )}$»
Modèle:AlModèle:Transparentsachant que «$1+\cos (\theta -\phi )$ est $\ne 0,\mathrm{\forall }\theta \ne \phi +\pi$»
Modèle:AlModèle:Transparent$[$pour «${\theta }_a=\phi +\pi$», $1+\cos ({\theta }_a-\phi )=0$ $\Rightarrow$ $r({\theta }_a)$ doit être $\mathrm{\infty }$ d'où la direction repérée par «${\theta }_a=\phi +\pi$» est
Modèle:AlModèle:Transparentla direction asymptotique de la parabole$]$.

Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire

• La distance minimale d'approche $($distance séparant le sommet $P$ de la parabole de son foyer $O)$ «$r_P=\frac{p}{2}$» $($correspondant à «$\theta =\phi$»$)$ et
• l'angle polaire de la direction asymptotique $($correspondant à une distance minimale d'éloignement $\mathrm{\infty })$ «${\theta }_{\text{asympt}}=\phi +\pi$».

Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche contournant O

Schéma représentant une branche d'hyperbole contournant un des foyers $O$ et son repérage polaire de pôle $O$, l'axe focal Modèle:Nobr vers le sommet de la branche$)$ faisant l'angle $\phi$ avec l'axe polaire

Modèle:AlVoir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer contourné par la branche choisi pour pôle $O$ du
Modèle:AlModèle:Transparentrepérage polaire,
Modèle:AlModèle:Transparentl'axe focal $($orienté vers le sommet $P$ de la branche$)$ faisant l'angle $\phi$ avec l'axe polaire $\overrightarrow{Ox}$ «$\phi =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OP})}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle point courant $M$ de la branche étant repéré par ses coordonnées polaires «$\{r=OM,\theta =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})}\}$».

Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole

Modèle:AlLa branche d'hyperbole contournant le foyer $O$ étant définie selon « l'ensemble des points $M$ du demi-plan situé du côté de $O$
Modèle:AlModèle:Transparenttel que $MO=eMH$ dans lequel
Modèle:AlModèle:Transparent$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$ directrice associée
Modèle:AlModèle:Transparentau foyer $O$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$e$ l'excentricité de l'hyperbole » avec
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$MO=r$» coordonnée radiale du point $M$ dans son repérage polaire et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$MH=d\{O,(D)\}-OM\cos \left[\widehat{(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OM})}\right]=\frac{p}{e}-r\cos (\theta -\phi )$»
Modèle:AlModèle:Transparentdans laquelle «$p$ et $e$» sont « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\theta$ et $\phi$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $M$ et l'angle que fait l'axe focal $($orienté vers le sommet $P$ de la branche$)$
Modèle:AlModèle:Transparentavec l'axe polaire $\overrightarrow{Ox}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentde «$MO=eMH$» on déduit «$r=e[\frac{p}{e}-r\cos (\theta -\phi )]=p-er\cos (\theta -\phi )$» soit «$r[1+e\cos (\theta -\phi )]=p$» et finalement,
Modèle:AlModèle:Transparent«$r=\frac{p}{1+e\cos (\theta -\phi )}$» pour «$1+e\cos (\theta -\phi )>0$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentla condition «$1+e\cos (\theta -\phi )>0$» $\iff$ «$\cos (\theta -\phi )>-\frac{1}{e}$» $($valeur limite $\in ]-1,0[)$ $\Rightarrow$ le domaine de définition de l'angle $\theta -\phi$ :
Modèle:AlModèle:Transparent«$]-\arccos (-\frac{1}{e}),\arccos (-\frac{1}{e})[$» $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent«$\theta \in ]\phi -\arccos (-\frac{1}{e}),\phi +\arccos (-\frac{1}{e})[$» $($domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la branche d'hyperbole$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentles bornes du domaine de définition $[$à savoir ${\theta }_{a,-}=\phi -\arccos (-\frac{1}{e})$ et ${\theta }_{a,+}=\phi +\arccos (-\frac{1}{e})$$]$
Modèle:AlModèle:Transparentcorrespondant aux abscisses angulaires des directions asymptotiques de l'hyperbole
Modèle:AlModèle:Transparent$[$pour «${\theta }_{a,\pm }$», $1+e\cos ({\theta }_{a,\pm }-\phi )=0$ $\Rightarrow$ $r({\theta }_{a,\pm })$ doit être $\mathrm{\infty }$ »$]$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation polaire «$r=\frac{p}{1+e\cos (\theta -\phi )}$» avec «$1+e\cos (\theta -\phi )>0,\mathrm{\forall }\theta \in ]\phi -\arccos (-\frac{1}{e}),\phi +\arccos (-\frac{1}{e})[$».

Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire

• La distance minimale d'approche $($distance séparant le sommet $P$ de la branche d'hyperbole du foyer $O$ de cette dernière$)$ «$r_P=\frac{p}{1+e}$» $($correspondant à «$\theta =\phi$»$)$,
• l'angle polaire des directions asymptotiques $($correspondant à une distance maximale d'éloignement $\mathrm{\infty })$ «${\theta }_{\text{asympt},\pm }=\phi \pm \arccos (-\frac{1}{e})$»
  $[$l'angle polaire des directions asymptotiques ${\theta }_{\text{asympt},\pm }$ s'écrit encore «${\theta }_{\text{asympt},\pm }=\phi \pm (\pi -\alpha )$» avec «$\alpha$ l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal »$]$,
• le demi-axe focal «$a$» étant la distance séparant le sommet $P$ de la branche d'hyperbole du centre de symétrie $C$ de l'hyperbole complète d'où
  Modèle:Transparent«$a=PC=OC-OP$» avec $OC=c$ $($distance entre le centre et l'un des foyers$)$ ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité $e=\frac{c}{a}$, «$OC=c=ea$» et
  Modèle:AlModèle:Transparent«$OP=r_P=\frac{p}{1+e}$» d'où
  Modèle:Transparent«$a=OC-OP$» se réécrit «$a=ea-\frac{p}{1+e}$ $\iff$ $a(e-1)=\frac{p}{1+e}$» soit finalement «$a=\frac{p}{e^2-1}$» et
• le demi-axe non focal «$b$» par «$p=\frac{b^2}{a}\Rightarrow b=\sqrt{pa}$» ou, en y reportant l'expression de «$a=\frac{p}{e^2-1}$», «$b=\frac{p}{\sqrt{e^2-1}}$».

Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche différente de celle contournant O

Schéma représentant une branche d'hyperbole contournant un des foyers $O^{\prime }$ et son repérage polaire de pôle $O$, l'autre foyer de l'hyperbole, l'axe focal $($orienté vers le sommet de la branche Modèle:Nobr faisant l'angle $\phi$ avec l'axe polaire

Modèle:AlVoir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer non contourné par la branche choisi pour pôle $O$
Modèle:AlModèle:Transparentdu repérage polaire,
Modèle:AlModèle:Transparent$($le foyer contourné par la branche étant noté $O^{\prime })$,
Modèle:AlModèle:Transparentl'axe focal $($orienté vers le sommet $P$ de la branche étudiée$)$ faisant l'angle $\phi$ avec l'axe polaire $\overrightarrow{Ox}$
Modèle:AlModèle:Transparent«$\phi =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OP})}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle point courant $M$ de la branche étant repéré par ses coordonnées polaires «$\{r=OM,\theta =\widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})}\}$».

Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole

Modèle:AlLa branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $O$ étant définie selon « l'ensemble des points $M$ du demi-plan situé à l'opposé
Modèle:AlModèle:Transparentde $O$ tel que $MO=eMH$ dans lequel
Modèle:AlModèle:Transparent$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$
Modèle:AlModèle:Transparentdirectrice associée au foyer $O$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$e$ l'excentricité de l'hyperbole » avec
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$MO=r$» coordonnée radiale du point $M$ dans son repérage polaire et
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$«$MH=OM\cos \left[\widehat{(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OM})}\right]-d\{O,(D)\}$
Modèle:AlModèle:Transparent$=r\cos (\theta -\phi )-\frac{p}{e}$» dans laquelle
Modèle:AlModèle:Transparent«$p$ et $e$» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\theta$ et $\phi$» respectivement « l'abscisse angulaire du point $M$ et l'angle que fait l'axe focal $($orienté vers le sommet $P$ de la branche étudiée$)$
Modèle:AlModèle:Transparentavec l'axe polaire $\overrightarrow{Ox}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentde «$MO=eMH$» on déduit «$r=e[r\cos (\theta -\phi )-\frac{p}{e}]=er\cos (\theta -\phi )-p$» soit «$r[e\cos (\theta -\phi )-1]=p$» et finalement,
Modèle:AlModèle:Transparent«$r=\frac{p}{e\cos (\theta -\phi )-1}$» pour «$e\cos (\theta -\phi )-1>0$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla condition «$e\cos (\theta -\phi )-1>0$» $\iff$ «$\cos (\theta -\phi )>\frac{1}{e}$» $($valeur limite $\in ]0,1[)$ $\Rightarrow$ le domaine de définition de l'angle $\theta -\phi$ :
Modèle:AlModèle:Transparent«$]-\arccos \left(\frac{1}{e}\right),\arccos \left(\frac{1}{e}\right)[$» $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent«$\theta \in ]\phi -\arccos \left(\frac{1}{e}\right),\phi +\arccos \left(\frac{1}{e}\right)[$» $($domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la branche
Modèle:AlModèle:Transparentd'hyperbole$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentles bornes du domaine de définition $[$à savoir ${\theta }_{a,-}=\phi -\arccos \left(\frac{1}{e}\right)$ et ${\theta }_{a,+}=\phi +\arccos \left(\frac{1}{e}\right)$$]$
Modèle:AlModèle:Transparentcorrespondant aux abscisses angulaires des directions asymptotiques de l'hyperbole
Modèle:AlModèle:Transparent$[$pour «${\theta }_{a,\pm }$», $e\cos ({\theta }_{a,\pm }-\phi )-1=0$ $\Rightarrow$ $r({\theta }_{a,\pm })$ doit être $\mathrm{\infty }$ »$]$, d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'équation polaire «$r=\frac{p}{e\cos (\theta -\phi )-1}$» avec «$e\cos (\theta -\phi )-1>0,\mathrm{\forall }\theta \in ]\phi -\arccos \left(\frac{1}{e}\right),\phi +\arccos \left(\frac{1}{e}\right)[$».

Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire

• La distance minimale d'approche $($distance séparant le sommet $P$ de la branche d'hyperbole étudiée du foyer $O$ non contourné par la branche$)$ «$r_P=\frac{p}{e-1}$» $($correspondant à «$\theta =\phi$»$)$,
• l'angle polaire des directions asymptotiques $($correspondant à une distance maximale d'éloignement $\mathrm{\infty })$ «${\theta }_{\text{asympt},\pm }=\phi \pm \arccos (-\frac{1}{e})$»
  $[$l'angle polaire des directions asymptotiques ${\theta }_{\text{asympt},\pm }$ s'écrit encore «${\theta }_{\text{asympt},\pm }=\phi \pm \alpha$» avec «$\alpha$ l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal »$]$,
• le demi-axe focal «$a$» étant la distance séparant le sommet $P$ de la branche d'hyperbole du centre de symétrie $C$ de l'hyperbole complète d'où
  Modèle:Transparent«$a=CP=OP-OC$» avec $OC=c$ $($distance entre le centre et l'un des foyers$)$ ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité $e=\frac{c}{a}$, «$OC=c=ea$» et
  Modèle:AlModèle:Transparent«$OP=r_P=\frac{p}{e-1}$» d'où
  Modèle:Transparent«$a=OP-OC$» se réécrit «$a=\frac{p}{e-1}-ea$ $\iff$ $a(e+1)=\frac{p}{e-1}$» soit finalement «$a=\frac{p}{e^2-1}$» et
• le demi-axe non focal «$b$» par «$p=\frac{b^2}{a}\Rightarrow b=\sqrt{pa}$» ou, en y reportant l'expression de «$a=\frac{p}{e^2-1}$», «$b=\frac{p}{\sqrt{e^2-1}}$».

Remarque utilisant l'association des deux branches

Modèle:AlNous avons vu que la distance minimale d'approche pour la branche d'hyperbole contournant le foyer $O$ est «$O{P}^{\prime }=r_{P^{\prime }}=\frac{p}{1+e}$» $($en notant $P^{\prime }$ le sommet de cette branche$)$, et
Modèle:AlModèle:Transparentvenons de voir qu'elle est, pour la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer $O$, «$OP=r_P=\frac{p}{e-1}$» ;

Modèle:Alor nous constatons que «$2a=P^{\prime }P=r_P-r_{P^{\prime }}$» soit encore «$2a=\frac{p}{e-1}-\frac{p}{1+e}=\frac{2p}{e^2-1}$» d'où «$a=\frac{p}{e^2-1}$».