Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses

Modèle:Chapitre

Modèle:AlLes fonctions hyperboliques ont été inventées par Vincenzo Riccati ^[1] vers $1760$ en cherchant à calculer l'« aire sous l'hyperbole d'équation $x^{2} - y^{2} = 1$ » ^[2], la méthode géométrique qu'il employa était semblable à celle qu'il utilisait pour calculer l'« aire sous le cercle d'équation $x^{2} + y^{2} = 1$ » méthode où il introduisait les fonctions trigonométriques qu'il appela « circulaires » ; par analogie il nomma les nouvelles fonctions créées « hyperboliques ».

Fonctions hyperboliques directes

Modèle:AlIl y a un lien de construction à partir de la fonction exponentielle entre les fonctions « trigonométriques » directes et « hyperboliques » directes, par exemple :
Modèle:Al Modèle:Transparent« le cosinus $($ trigonométrique $)$ est construit à partir de la fonction exponentielle définie sur $i ℝ$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentle cosinus hyperbolique Modèle:Transparent à partir de la fonction exponentielle définie sur $ℝ$ » ^[3].

Cosinus hyperbolique

Modèle:AlLe cosinus hyperbolique, noté $\cosh ()$ ^[4], est « défini sur $ℝ$ » selon « $\cosh (x) = \frac{\exp (x) + \exp (- x)}{2}$ »,

Modèle:Al Modèle:Transparent« son domaine de valeurs est $[1, + \infty [$ »,

Modèle:Al Modèle:Transparentc'est une fonction « paire » c.-à-d. « $\cosh (- x) = \cosh (x)$ » et

Modèle:Al Modèle:Transparent« dérivable sur $ℝ$ » avec « $\frac{d [\cosh (x)]}{d x} = \sinh (x)$ » ^[5] car
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d [\cosh (x)]}{d x} = \frac{\exp (x) - \exp (- x)}{2} = \sinh (x)$ ^[5] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentvariation de $\cosh ()$ : « $↘$ de $+ \infty$ à $1$ sur $] - \infty, 0]$ » puis
Modèle:Al Modèle:Transparent« $↗$ de $1$ à $+ \infty$ sur $[0, + \infty [$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentvoir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à $[- 4, + 4]$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparentce graphe est appelé « chaînette » ^[6],
Modèle:Al Modèle:Transparentil est symétrique relativement à l'axe des ordonnées $y^{'} y$ .

Sinus hyperbolique

Modèle:AlLe sinus hyperbolique, noté $\sinh ()$ ^[7], est « défini sur $ℝ$ » selon « $\sinh (x) = \frac{\exp (x) - \exp (- x)}{2}$ »,

Modèle:Al Modèle:Transparent« son domaine de valeurs est $] - \infty, + \infty [$ »,

Modèle:Al Modèle:Transparentc'est une fonction « impaire » c.-à-d. « $\sinh (- x) = - \sinh (x)$ » et

Modèle:Al Modèle:Transparent« dérivable sur $ℝ$ » avec « $\frac{d [\sinh (x)]}{d x} = \cosh (x)$ » ^[8] car
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d [\sinh (x)]}{d x} = \frac{\exp (x) + \exp (- x)}{2} = \cosh (x)$ ^[8] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentvariation de $\sinh ()$ : « $↗$ de $- \infty$ à $+ \infty$ sur $] - \infty, + \infty [$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentvoir graphe ci-contre sur l'intervalle de définition restreint à $[- 4, + 4]$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'intervalle de valeurs étant $[≃ - 27, 3; ≃ + 27, 3]$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparentce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $O$ .

Tangente hyperbolique

Modèle:AlLa tangente hyperbolique, notée $\tanh ()$ ^[9], est « définie sur $ℝ$ » selon « $\tanh (x) = \frac{\exp (x) - \exp (- x)}{\exp (x) + \exp (- x)}$ » ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\tanh (x) = \frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$ » ^[10],

Modèle:Al Modèle:Transparent« son domaine de valeurs est $] - 1, + 1 [$ »,

Modèle:Al Modèle:Transparentc'est une fonction « impaire » c.-à-d. « $\tanh (- x) = - \tanh (x)$ » et

Modèle:Al Modèle:Transparent« dérivable sur $ℝ$ » avec « $\frac{d [\tanh (x)]}{d x} = \frac{1}{\cosh^{2} (x)}$ » car
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d [\tanh (x)]}{d x} = \frac{d [\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}]}{d x} =$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x)}{\cosh^{2} (x)}$ ^[11]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \frac{1}{\cosh^{2} (x)}$ ^[12] C.Q.F.D. ^[13] ou bien

Modèle:Al Modèle:Transparentavec « $\frac{d [\tanh (x)]}{d x} = 1 - \tanh^{2} (x)$ » ^[14] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentvariation de $\tanh ()$ : « $↗$ de $- 1$ à $+ 1$ sur $] - \infty, + \infty [$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentvoir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à $[- 4, + 4]$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparentce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $O$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentadmet deux asymptotes horizontales ^[15] pour les ordonnées $\pm 1$ .

Cotangente hyperbolique

Modèle:AlLa cotangente hyperbolique, notée $\coth ()$ ^[16], est « définie sur $ℝ^{*}$ » selon « $\coth (x) = \frac{\exp (x) + \exp (- x)}{\exp (x) - \exp (- x)}$ » ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$ » ^[17] ou enfin,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\coth (x) = \frac{1}{\tanh (x)}$ » ^[18]Modèle:, ^[19],

Modèle:Al Modèle:Transparent« son domaine de valeurs est $] - \infty, - 1 [\cup] + 1, + \infty [$ »,

Modèle:Al Modèle:Transparentc'est une fonction « impaire » c.-à-d. « $\coth (- x) = - \coth (x)$ »,

Modèle:Al Modèle:Transparent« dérivable sur $ℝ^{*}$ », de dérivée « $\frac{d [\coth (x)]}{d x} = \frac{- 1}{\sinh^{2} (x)}$ » car
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d [\coth (x)]}{d x} = \frac{d [\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}]}{d x} =$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x)}{\sinh^{2} (x)}$ ^[20]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \frac{- 1}{\sinh^{2} (x)}$ ^[12] C.Q.F.D. ^[13], ou encore, « $\frac{d [\coth (x)]}{d x} = 1 - \coth^{2} (x)$ » ^[21] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentvariation de $\coth ()$ : « $↘$ de $- 1$ à $- \infty$ sur $] - \infty, 0 [$ » puis
Modèle:Al Modèle:Transparent« $↘$ de $+ \infty$ à $+ 1$ sur $] 0, + \infty [$ »
Modèle:Al Modèle:Transparentvoir graphe ci-dessus avec un intervalle de définition restreint à $[- 4, + 4]$ et un domaine de valeurs à $[- 5, - 1 [\cup] + 1, + 5]$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparentce graphe est symétrique relativement à l'origine du repérage $O$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentadmet deux asymptotes horizontales ^[15] pour les ordonnées $\pm 1$ ainsi qu'
Modèle:Al Modèle:Transparentune asymptote verticale ^[22] pour $x = 0$ .

Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati

Modèle:Al« Une demi-droite passant par l'origine coupe l’hyperbole d'équation $x^{2} - y^{2} = 1$ ^[2] en un point dont les coordonnées paramétrées par Vincenzo Riccati en fonction d'une grandeur $𝔞$ » lui permirent de créer de nouvelles fonctions baptisées « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, plus précisément « ${x = \cosh (𝔞); y = \sinh (𝔞)}$ », « le paramètre $𝔞$ s'avérant être le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des abscisses » $($ en rouge sur le schéma ci-contre $)$ .

Modèle:AlIdentification des fonctions hyperboliques créées par Vincenzo Ricati avec celles définies par exponentielles ^[24] : on établit

d'abord que « le point $M$ d'abscisse $x = \cosh (𝔞)$ et d'ordonnée $y = \sinh (𝔞)$ vérifie l'équation de l'hyperbole $x^{2} - y^{2} = 1$ » ^[2] par utilisation de la relation fondamentale liant $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ ^[12] soit « $\cosh^{2} (𝔞) - \sinh^{2} (𝔞) = 1$ »,
ensuite, du fait que le vecteur position de $M$ s'écrivant « $\vec{O M} = \cosh (𝔞) {\vec{u}}_{x} + \sinh (𝔞) {\vec{u}}_{y}$ » on peut en déduire
Modèle:Transparent $≻$ l'expression du « vecteur déplacement élémentaire $\vec{d M} = \sinh (𝔞) d 𝔞 {\vec{u}}_{x} + \cosh (𝔞) d 𝔞 {\vec{u}}_{y}$ » puis
Modèle:Transparent $≻$ Modèle:Alcelle du « vecteur surface élémentaire $\vec{d S}$ balayée par $\vec{O M}$ quand $M$ se déplace de $\vec{d M}$ sur l'hyperbole »
Modèle:Transparentà l'aide de sa définition « $\vec{d S} = \frac{\vec{O M} \land \vec{d M}}{2}$ » ^[25], ce qui permet de déterminer, dans le cas présent, l'expression
Modèle:Transparent« $\vec{d S} = \frac{[\cosh (𝔞) {\vec{u}}_{x} + \sinh (𝔞) {\vec{u}}_{y}] \land [\sinh (𝔞) d 𝔞 {\vec{u}}_{x} + \cosh (𝔞) d 𝔞 {\vec{u}}_{y}]}{2} = \frac{[\cosh^{2} (𝔞) - \sinh^{2} (𝔞)] d 𝔞}{2} {\vec{u}}_{z}$ » et,
Modèle:Transparenten utilisant la relation fondamentale liant $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ ^[12] c.-à-d. « $\cosh^{2} (𝔞) - \sinh^{2} (𝔞) = 1$ », l'expression finale
Modèle:Transparent« $\vec{d S} = \frac{d 𝔞}{2} {\vec{u}}_{z}$ » d'où
« l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\vec{O M}$ quand le point $M$ se déplace de $\vec{d M}$ sur l'hyperbole », valant « $\frac{d 𝔞}{2}$ » $\Rightarrow$
« l'aire balayée par le rayon vecteur $\vec{O M}$ quand le point $M$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $𝔞$ » est « $\frac{𝔞}{2}$ » C.Q.F.V. ^[26].

Modèle:AlRemarque : Il y a également un lien entre « l'angle $θ = \hat{(\vec{O x}, \vec{O M})}$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparent« l'aire $𝔞$ de la surface balayée par $\vec{O M}$ quand $M$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $θ$ » mais
Modèle:Al Modèle:Transparentcontrairement au cas du cercle ^[23], « $𝔞 \neq \frac{θ}{2}$ » en effet :
Modèle:Al Modèle:Transparent« dans le cas de la branche d'hyperbole, les coordonnées polaires de $M {ρ, θ}$ sont telles que ${\begin{matrix} x = ρ \cos (θ) \\ y = ρ \sin (θ) \end{matrix}}$ » $\Rightarrow$ $ρ^{2} \cos^{2} (θ) - ρ^{2} \sin^{2} (θ) = 1$ ^[27] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent« $ρ^{2} = \frac{1}{\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)} = \frac{1}{\cos (2 θ)}$ équation polaire de la branche d'hyperbole »
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à $ρ \to + \infty$ soit $θ \to \pm \frac{π}{4}]$ dont on peut déduire
Modèle:Al Modèle:Transparent« le vecteur surface élémentaire balayée par $\vec{O M}$ quand $M$ se déplace de $\vec{d M}$ sur la branche d'hyperbole »
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\vec{d S} = \frac{\vec{O M} \land \vec{d M}}{2}$ ^[25] se réécrivant en polaire $\vec{d S} = \frac{ρ {\vec{u}}_{ρ} \land (d ρ {\vec{u}}_{ρ} + ρ d θ {\vec{u}}_{θ})}{2} = \frac{ρ^{2} d θ}{2} {\vec{u}}_{z}$ » dont on tire
Modèle:Al Modèle:Transparent« l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur $d 𝔞 = \frac{ρ^{2} d θ}{2} = \frac{d θ}{2 \cos (2 θ)}$ effectivement $\neq \frac{d θ}{2}$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton obtient alors « $𝔞$ en intégrant la relation précédente entre $0$ et $θ$ soit $𝔞 = \int_{0}^{θ} \frac{d θ^{'}}{2 \cos (2 θ^{'})}$ » qui s'intègre
Modèle:Al Modèle:Transparenten posant « $t^{'} = \tan (θ^{'})$ $\Rightarrow$ $d t^{'} = [1 + \tan^{2} (θ^{'})] d θ^{'}$ soit $d θ^{'} = \frac{d t^{'}}{1 + {t^{'}}^{2}}$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos (2 θ^{'}) = \cos^{2} (θ^{'}) - \sin^{2} (θ^{'}) = \cos^{2} (θ^{'}) [1 - \tan^{2} (θ^{'})] = \frac{1 - \tan^{2} (θ^{'})}{1 + \tan^{2} (θ^{'})}$ ^[28]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \frac{1 - {t^{'}}^{2}}{1 + {t^{'}}^{2}}$ soit « $\frac{1}{\cos (2 θ^{'})} = \frac{1 + {t^{'}}^{2}}{1 - {t^{'}}^{2}}$ » d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent« $𝔞 = \int_{0}^{θ} \frac{d θ^{'}}{2 \cos (2 θ^{'})} = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{d t^{'}}{1 - {t^{'}}^{2}}$ » ou, avec « $\frac{1}{1 - {t^{'}}^{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - t^{'}} + \frac{\frac{1}{2}}{1 + t^{'}}$ » ^[29] donnant
Modèle:Al Modèle:Transparent« $𝔞 = \frac{1}{4} [\int_{0}^{t} \frac{d t^{'}}{1 - t^{'}} + \int_{0}^{t} \frac{d t^{'}}{1 + t^{'}}] = \frac{1}{4} [\int_{t^{'} = 0}^{t^{'} = t} \frac{d (1 + t^{'})}{1 + t^{'}} - \int_{t^{'} = 0}^{t^{'} = t} \frac{d (1 - t^{'})}{1 - t^{'}}]$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \frac{1}{4} {[\ln (\frac{1 + t^{'}}{1 - t^{'}})]}_{0}^{t} = \frac{1}{4} \ln (\frac{1 + t}{1 - t})$ » soit finalement « $𝔞 = \frac{1}{4} \ln [\frac{1 + \tan (θ)}{1 - \tan (θ)}]$ » ^[30].

Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

Modèle:AlRelation fondamentale ^[31] : Si on calcule $\cosh^{2} (x) = {[\frac{\exp (x) + \exp (- x)}{2}]}^{2} = \frac{\exp^{(} 2 x) + \exp (- 2 x) + 2}{4}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sinh^{2} (x) = {[\frac{\exp (x) - \exp (- x)}{2}]}^{2} = \frac{\exp^{(} 2 x) + \exp (- 2 x) - 2}{4}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenton vérifie aisément, en ajoutant les deux relations ci-dessus et après simplification évidente, la relation fondamentale ^[31] « $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ ».

Modèle:AlAutres relations : Il existe deux autres liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique faisant intervenir l'une ou l'autre exponentielle de la variable ou de son opposée et
Modèle:Al Modèle:Transparentse démontrant par simple utilisation de la définition des fonctions hyperboliques, ce sont
Modèle:Al Modèle:Transparent« ${\begin{matrix} \cosh (x) + \sinh (x) = \exp (x) \\ \cosh (x) - \sinh (x) = \exp (- x) \end{matrix}}$ » ^[32].

Relations d'addition et de duplication

Modèle:AlRelations d'addition : celles-ci se vérifient sans difficulté en utilisant la définition de la fonction hyperbolique utilisée,
Modèle:Al Modèle:Transparentles propriétés des exponentielles et
Modèle:Al Modèle:Transparenten faisant réapparaître les fonctions hyperboliques souhaitées : $≻$ « $\cosh (a + b) = \cosh (a) \cosh (b) + \sinh (a) \sinh (b)$ » ^[33] et
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\cosh (a - b) = \cosh (a) \cosh (b) - \sinh (a) \sinh (b)$ » ^[34],

Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « $\sinh (a + b) = \sinh (a) \cosh (b) + \sinh (b) \cosh (a)$ » ^[35] et
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\sinh (a - b) = \sinh (a) \cosh (b) - \sinh (b) \cosh (a)$ » ^[36].

Modèle:AlRelations de duplication : celles-ci se vérifient à partir des relations d'addition précédentes et éventuelle utilisation de la relation fondamentale ^[31] liant le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique ^[37] :

Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « $\cosh (2 a) = \cosh^{2} (a) + \sinh^{2} (a) = 2 \cosh^{2} (a) - 1 = 1 + 2 \sinh^{2} (a)$ » ^[38]
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ on en déduit les relations de linéarisation suivantes « $\cosh^{2} (a) = \frac{1 + \cosh (2 a)}{2}$ » ^[39] et « $\sinh^{2} (a) = \frac{\cosh (2 a) - 1}{2}$ » ^[40] $]$ ,

Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « $\sinh (2 a) = 2 \sinh (a) \cosh (a)$ » ^[41].

Fonctions hyperboliques inverses

Seule la fonction « cosinus hyperbolique » n'est pas bijective ^[8] et nécessite une « restriction de définition » pour devenir inversable

\dots

Fonction argument sinus hyperbolique

Modèle:Al« La fonction $\sinh ()$ est inversable sur son domaine de définition $ℝ$ » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $a r g s i n h ()$ » ^[42] définit la fonction « argument sinus hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $a r g s i n h (x)$ sur l'intervalle de définition restreint à $[- 27; + 27]$ , avec pour intervalle de valeurs $[≃ - 3, 99; ≃ + 3, 99]$

Modèle:Al« La fonction $y = a r g s i n h (x)$ est la fonction inverse de $x = \sinh (y)$ »,
Modèle:Al« pour $x = \sinh (y)$ le domaine de définition étant $ℝ$ et le domaine des valeurs $ℝ$ », $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« le domaine de définition de la fonction $a r g s i n h ()$ est $ℝ$ » et « son domaine de valeurs $ℝ$ » ;

Modèle:Altracé du graphe de la fonction $y = a r g s i n h (x)$ : $[$ le graphe de $y = a r g s i n h (x)$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale
Modèle:Al Modèle:Transparentde celui de $x = \sinh (y)]$ voir ci-contre ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton observe que la fonction est « $↗$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« impaire » $[a r g s i n h (- x) = - a r g s i n h (x)]$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« continue et dérivable sur $R$ », sa dérivée valant
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{d [a r g s i n h (x)]}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton déduit de cette expression de dérivée de la fonction $a r g s i n h ()$ la propriété :
Modèle:Al Modèle:Transparent« une primitive de $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ est $a r g s i n h (x) + c s t e$ ».

Modèle:AlJustification de l'expression de la dérivée de $y = a r g s i n h (x)$ : on inverse la fonction $y = a r g s i n h (x)$ selon $x = \sinh (y)$ , puis
Modèle:Al Modèle:Transparenton différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $d x = \cosh (y) d y$ ^[5] dont on tire
Modèle:Al Modèle:Transparent $d y = \frac{d x}{\cosh (y)}$ sans restriction
Modèle:Al Modèle:Transparentcar $\cosh (y) \neq 0 \forall y$ ^[8],
Modèle:Al Modèle:Transparenton termine en éliminant $y$ au profit de $x$ avec $\cosh (y) = \sqrt{1 + \sinh^{2} (y)}$ ^[43] $= \sqrt{1 + x^{2}}$ soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $d y = \frac{d x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ dont on déduit $\frac{d y}{d x} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

Modèle:AlForme logarithmique de la fonction argument sinus hyperbolique : « $a r g s i n h (x) = \ln [x + \sqrt{x^{2} + 1}] \forall x$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenten effet « $y = a r g s i n h (x)$ » $\Leftrightarrow$ « $x = \sinh (y) = \frac{\exp (y) - \exp (- y)}{2}$ » c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparent« $y$ est la solution de même signe que $x$ de l'équation $\exp (y) - \exp (- y) = 2 x$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparenten multipliant les deux membres par $\exp (y)$ et en ordonnant en puissance $↘$ de $\exp (y)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\exp (y)$ est solution ^[44] de l'équation $\exp (2 y) - 2 x \exp (y) - 1 = 0$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentéquation du 2^nd degré en $\exp (y)$ de discriminant réduit $Δ^{'} = x^{2} + 1 > 0$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\exp (y) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ » ^[45] soit finalement, en inversant, « $y = \ln [x + \sqrt{x^{2} + 1}]$ ».

Fonction argument cosinus hyperbolique

Modèle:Al« Pour que la fonction $\cosh ()$ soit inversable » il faut « restreindre son domaine de définition $ℝ$ » pour qu'elle y soit « bijective »,
Modèle:Al Modèle:Transparenton le « restreint à $ℝ_{+}$ » ^[46] ; « son inverse notée $a r g c o s h ()$ » ^[47] définit alors la fonction « argument cosinus hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $a r g c o s h (x)$ sur l'intervalle de définition restreint à $[1; + 25]$ , avec pour intervalle de valeurs $[0; ≃ 3, 9]$

Modèle:Al« La fonction $y = a r g c o s h (x)$ est la fonction inverse de $x = \cosh (y)$ »,
Modèle:Al« pour $x = \cosh (y)$ le domaine de définition étant restreint à $ℝ_{+}$ » ^[46] et « le domaine des valeurs étant $[1, + \infty [$ », $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« le domaine de définition de la fonction $a r g c o s h ()$ est $[1, + \infty [$ » et « son domaine de valeurs $ℝ_{+}$ » ^[46] ;

Modèle:Altracé du graphe de la fonction $y = a r g c o s h (x)$ : $[$ le graphe de $y = a r g c o s h (x)$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale
Modèle:Al Modèle:Transparentde celui de $x = \cosh (y)$ restreint à $ℝ_{+}$ ^[46] $]$ voir ci-contre ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton observe que la fonction est « $↗$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« continue $[1, + \infty [$ et dérivable sur $] 1, + \infty [$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentsa dérivée valant « $\frac{d [a r g c o s h (x)]}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton déduit de cette expression de dérivée de la fonction $a r g c o s h ()$ la propriété :
Modèle:Al Modèle:Transparent« une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ est $a r g c o s h (x) + c s t e$ ».

Modèle:AlJustification de l'expression de la dérivée de $y = a r g c o s h (x)$ : on inverse la fonction $y = a r g c o s h (x)$ selon ${\begin{matrix} x = \cosh (y) \\ y \in ℝ_{+} \end{matrix}}$ ^[46] et
Modèle:Al Modèle:Transparenton différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $d x = \sinh (y) d y$ ^[8] dont on tire
Modèle:Al Modèle:Transparent $d y = \frac{d x}{\sinh (y)}$ $[$ nécessitant $y \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$ $\Rightarrow$ $y = a r g c o s h (x)$ non dérivable pour $x = 1]$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenton termine en éliminant $y$ au profit de $x$ avec $\sinh (y) = \sqrt{\cosh^{2} (y) - 1}$ ^[48] $= \sqrt{x^{2} - 1}$ soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $d y = \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ dont on déduit $\frac{d y}{d x} (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ .

Modèle:AlForme logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique : « $a r g c o s h (x) = \ln [x + \sqrt{x^{2} - 1}] \forall x$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenten effet « $y = a r g c o s h (x)$ » $\Leftrightarrow$ « ${\begin{matrix} x = \cosh (y) = \frac{\exp (y) + \exp (- y)}{2} \\ y \in ℝ_{+} \end{matrix}}$ » ^[46] c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparent« $y ⩾ 0$ est solution de l'équation $\exp (y) - \exp (- y) = 2 x$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparenten multipliant les deux membres par $\exp (y)$ et en ordonnant en puissance $↘$ de $\exp (y)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\exp (y) ⩾ 1$ est solution ^[49] de l'équation $\exp (2 y) - 2 x \exp (y) - 1 = 0$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentéquation du 2^nd degré en $\exp (y)$ de discriminant réduit $Δ^{'} = x^{2} + 1 > 0$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\exp (y) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ » ^[50] soit finalement, en inversant, « $y = \ln [x + \sqrt{x^{2} + 1}]$ ».

Fonction argument tangente hyperbolique

Modèle:Al« La fonction $\tanh ()$ est inversable sur son domaine de définition $ℝ$ » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $a r g t a n h ()$ » ^[51] définit la fonction « argument tangente hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $a r g t a n h (x)$ sur l'intervalle de définition $] - 1; + 1 [$ , avec pour intervalle de valeurs restreint à $[≃ - 4; ≃ + 4]$

Modèle:Al« La fonction $y = a r g r a n h (x)$ est la fonction inverse de $x = \tanh (y)$ »,
Modèle:Al« pour $x = \tanh (y)$ le domaine de définition étant $ℝ$ et le domaine des valeurs $] - 1, + 1 [$ », $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« le domaine de définition de la fonction $a r g t a n h ()$ est $] - 1, + 1 [$ » et « son domaine de valeurs $ℝ$ » ;

Modèle:Altracé du graphe de la fonction $y = a r g t a n h (x)$ : $[$ le graphe de $y = a r g t a n h (x)$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale
Modèle:Al Modèle:Transparentde celui de $x = \tanh (y)]$ voir ci-contre ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton observe que la fonction est « $↗$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« impaire » $[a r g t a n h (- x) = - a r g t a n h (x)]$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« continue et dérivable sur $] - 1, + 1 [$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentsa dérivée valant « $\frac{d [a r g t a n h (x)]}{d x} = \frac{1}{1 - x^{2}}$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton déduit de cette expression de dérivée de la fonction $a r g t a n n h ()$ la propriété :
Modèle:Al Modèle:Transparent« une primitive de $\frac{1}{1 - x^{2}}$ est $a r g t a n h (x) + c s t e$ » ^[52]Modèle:, ^[53].

Modèle:AlJustification de l'expression de la dérivée de $y = a r g t a n h (x)$ : on inverse la fonction $y = a r g t a n h (x)$ selon $x = \tanh (y)$ , puis
Modèle:Al Modèle:Transparenton différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $d x = [1 - \tanh^{2} (y)] d y$ ^[54] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $d y = \frac{d x}{1 - \tanh^{2} (y)}$ sans restriction car $\tanh (y) \neq \pm 1 \forall y$ ^[54],
Modèle:Al Modèle:Transparenton termine en éliminant $y$ au profit de $x$ avec $\tanh (y) = x$ soit $d y = \frac{d x}{1 - x^{2}}$ dont on déduit $\frac{d y}{d x} (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$ .

Modèle:AlForme logarithmique de la fonction argument tangente hyperbolique : « $a r g t a n h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) \forall x$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenten effet « $y = a r g t a n h (x)$ » $\Leftrightarrow$ « $x = \tanh (y) = \frac{\exp (y) - \exp (- y)}{\exp (y) + \exp (- y)}$ » c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparent« $y$ est la solution de même signe que $x$ de l'équation $\exp (y) - \exp (- y) = x \exp (y) + x \exp (- y)$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparenten regroupant les termes en $\exp (y)$ et en $\exp (- y)$ dans des membres distincts « $(1 - x) \exp (y) = (1 + x) \exp (- y)$ » puis
Modèle:Al Modèle:Transparenten multipliant chaque membre par $\exp (y)$ $\Rightarrow$ « $(1 - x) \exp (2 y) = (1 + x)$ » ou, $x$ étant $\neq 1$ , « $\exp (2 y) = \frac{1 + x}{1 - x}$ » $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\exp (y) = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ » soit
Modèle:Al Modèle:Transparenten inversant cette dernière relation, « $y = \ln \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$ ».

Fonction argument cotangente hyperbolique

Modèle:Al« La fonction $\coth ()$ est inversable sur son domaine de définition $ℝ^{*}$ » car elle y est « bijective » ; « son inverse notée $a r g c o t h ()$ » ^[55] définit la fonction « argument cotangente hyperbolique » ;

Tracé du graphe de $a r g c o t h (x)$ sur l'intervalle de définition restreint à $[≃ - 5; - 1 [\cup] + 1; ≃ + 5]$ , avec un intervalle de valeurs restreint à $[≃ - 2, 7; ≃ + 2, 7]$

Modèle:Al« La fonction $y = a r g c o t h (x)$ est la fonction inverse de $x = \coth (y)$ »,
Modèle:Al« pour $x = \coth (y)$ le domaine de définition étant $ℝ^{*}$ et le domaine des valeurs $] - \infty, - 1 [\cup] + 1, + \infty [$ », $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« le domaine de définition de la fonction $a r g c o t h ()$ est $] - \infty, - 1 [\cup] + 1, + \infty [$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparent« son domaine de valeurs $ℝ^{*}$ » ;

Modèle:Altracé du graphe de la fonction $y = a r g c o t h (x)$ : $[$ le graphe de $y = a r g c o t h (x)$ est le symétrique par rapport à la 1^ère diagonale
Modèle:Al Modèle:Transparentde celui de $x = \coth (y)]$ voir ci-contre ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton observe que la fonction est « $↘$ sur $] - \infty, - 1 [$ ainsi que sur $] + 1, + \infty [$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent« impaire » $[a r g c o t h (- x) = - a r g c o t h (x)]$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« continue et dérivable sur $] - \infty, - 1 [$ ainsi que
Modèle:Al Modèle:Transparentsur $] + 1, + \infty [$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparentsa dérivée valant « $\frac{d [a r g t a n h (x)]}{d x} = \frac{- 1}{x^{2} - 1}$ » ^[56] ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton déduit de cette expression de dérivée de la fonction $a r g c o t h ()$ la propriété :
Modèle:Al Modèle:Transparent« une primitive de $\frac{- 1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{1 - x^{2}}$ est $a r g c o t h (x) + c s t e$ » ^[52]Modèle:, ^[57].

Modèle:AlJustification de l'expression de la dérivée de $y = a r g c o t h (x)$ : on inverse la fonction $y = a r g c o t h (x)$ selon $x = \coth (y)$ , puis
Modèle:Al Modèle:Transparenton différencie la fonction inversée $\Rightarrow$ $d x = [1 - \coth^{2} (y)] d y$ ^[58] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $d y = \frac{d x}{1 - \coth^{2} (y)}$ sans restriction car $\coth (y) \neq \pm 1 \forall y$ ^[58],
Modèle:Al Modèle:Transparenton termine en éliminant $y$ au profit de $x$ avec $\coth (y) = x$ soit $d y = \frac{d x}{1 - x^{2}} = \frac{- d x}{x^{2} - 1}$ dont on déduit $\frac{d y}{d x} (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 1}$ .

Modèle:AlForme logarithmique de la fonction argument cotangente hyperbolique : « $a r g c o t h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{x + 1}{x - 1}) \forall x$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparenten effet « $y = a r g c o t h (x)$ » $\Leftrightarrow$ « $x = \coth (y) = \frac{\exp (y) + \exp (- y)}{\exp (y) - \exp (- y)}$ » c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparent« $y$ est la solution de même signe que $x$ de l'équation $\exp (y) + \exp (- y) = x \exp (y) - x \exp (- y)$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparenten regroupant les termes en $\exp (y)$ et en $\exp (- y)$ dans des membres distincts « $(1 + x) \exp (- y) = (x - 1) \exp (y)$ » puis
Modèle:Al Modèle:Transparenten multipliant chaque membre par $\exp (y)$ $\Rightarrow$ « $(x - 1) \exp (2 y) = (1 + x)$ » ou, $x$ étant $\neq 1$ , « $\exp (2 y) = \frac{1 + x}{x - 1}$ » $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\exp (y) = \sqrt{\frac{1 + x}{x - 1}}$ » soit
Modèle:Al Modèle:Transparenten inversant cette dernière relation, « $y = \ln \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = \frac{1}{2} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$ ».

Notes et références

↑ ^1,0 et ^1,1 Vincenzo Riccati (1707 - 1775) mathématicien de la province de Vénétie $($ serait aujourd'hui italien $)$ surtout connu pour son travail sur les équations différentielles comme celle connue sous le nom d'équation de Riccati et pour la méthode de résolution par tractoire qu'il utilisa.
↑ ^2,0 ^2,1 et ^2,2 Voir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ce n'est toutefois pas de cette façon que Vincenzo Riccati introduisit les cosinus et sinus hyperboliques $($ voir le paragraphe « commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati » plus loin dans le chapitre $)$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $ch ()$ .
↑ ^5,0 ^5,1 et ^5,2 Voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre.
↑ Le graphe du cosinus hyperbolique est appelé « chaînette » car c'est la courbe que suit une chaînette $($ ou tout objet filiforme homogène $)$ tenue par ses deux extrémités dans un champ de pesanteur uniforme $($ pour que la courbe suivie par la chaînette soit symétrique il faut que les deux extrémités soient au même niveau horizontal $)$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $sh ()$ .
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 et ^8,4 Voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
↑ On trouve encore la notation initiale $th ()$ .
↑ En effet $\tanh (x) = \frac{\exp (x) - \exp (- x)}{\exp (x) + \exp (- x)} = \frac{\frac{\exp (x) - \exp (- x)}{2}}{\frac{\exp (x) + \exp (- x)}{2}} = \frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$ en utilisant les deux autres fonctions hyperboliques définies aux paragraphes « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
↑ En utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions $\frac{d (\frac{u}{v})}{d x} = \frac{v (x) u^{'} (x) - u (x) v^{'} (x)}{v^{2} (x)}$ avec ${\begin{matrix} u (x) = \sinh (x) \\ u^{'} (x) = \cosh (x) \end{matrix}}$ voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre et ${\begin{matrix} v (x) = \cosh (x) \\ v^{'} (x) = \sinh (x) \end{matrix}}$ voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre d'où $\frac{d [\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}]}{d x} = \frac{\cosh (x) \cosh (x) - \sinh (x) \sinh (x)}{\cosh^{2} (x)} \dots$
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 et ^12,3 On utilise la relation fondamentale liant $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ établie au paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre soit $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ .
↑ ^13,0 et ^13,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ Pour cela il suffit de transformer $\frac{d [\tanh (x)]}{d x} \overset{\dots}{=} \frac{\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x)}{\cosh^{2} (x)} = 1 - {[\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}]}^{2} = 1 - \tanh^{2} (x)$ .
↑ ^15,0 et ^15,1 Bien sûr le qualificatif « horizontal » est un abus pour traduire de façon succincte « $∥$ à l'axe des abscisses ».
↑ On trouve encore la notation initiale $ctgh ()$ .
↑ En effet $\coth (x) = \frac{\exp (x) + \exp (- x)}{\exp (x) - \exp (- x)} = \frac{\frac{\exp (x) + \exp (- x)}{2}}{\frac{\exp (x) - \exp (- x)}{2}} = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$ en utilisant les deux autres fonctions hyperboliques définies aux paragraphes « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet $\coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)} = \frac{1}{\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}} = \frac{1}{\tanh (x)}$ en utilisant la tangente hyperbolique définie au paragraphe « tangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
↑ Ce dernier lien étant la raison pour laquelle la cotangente hyperbolique est très peu utilisée ${$ tout comme la cotangente $($ trigonométrique $)$ par rapport à la tangente $($ trigonométrique $)}$ .
↑ En utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions $\frac{d (\frac{u}{v})}{d x} = \frac{v (x) u^{'} (x) - u (x) v^{'} (x)}{v^{2} (x)}$ avec ${\begin{matrix} u (x) = \cosh (x) \\ u^{'} (x) = \sinh (x) \end{matrix}}$ voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre et ${\begin{matrix} v (x) = \sinh (x) \\ v^{'} (x) = \cosh (x) \end{matrix}}$ voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre d'où $\frac{d [\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}]}{d x} = \frac{\sinh (x) \sinh (x) - \cosh (x) \cosh (x)}{\sinh^{2} (x)} \dots$
↑ Pour cela il suffit de transformer $\frac{d [\coth (x)]}{d x} \overset{\dots}{=} \frac{\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x)}{\sinh^{2} (x)} = 1 - {[\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}]}^{2} = 1 - \coth^{2} (x)$ .
↑ Bien sûr le qualificatif « vertical » est un abus pour traduire de façon succincte « $∥$ à l'axe des ordonnées ».
↑ ^23,0 et ^23,1
Méthode d'introduction des fonctions trigonométriques ayant inspiré Vincenzo Riccati pour introduire les fonctions hyperboliques
La méthode suivie par Vincenzo Riccati est calquée sur celle qu'il utilisait lorsque le cercle trigonométrique d'équation $x^{2} + y^{2} = 1$ était à la place de l'hyperbole d'équation $x^{2} - y^{2} = 1$ , voir ci-contre le diagramme explicatif de la méthode avec le cercle trigonométrique ;
Modèle:AlUne demi-droite passant par l'origine coupe le cercle trigonométrique en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction de l'angle polaire $θ$ s'expriment respectivement en fonction du « cosinus » pour l'abscisse et « sinus » pour l'ordonnée, plus précisément ${x = \cos (θ); y = \sin (θ)}$ , le paramètre $θ$ s'avérant être aussi « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, le cercle et l'axe des abscisses » $($ en rouge sur le schéma ci-contre $)$ ;
Modèle:Alen effet nous avons indiqué dans le corps du « paragraphe sur lequel se greffe cette note de bas de page » que le vecteur surface élémentaire $\vec{d S}$ balayée par le rayon vecteur $\vec{O M}$ quand le point $M$ se déplace de $\vec{d M}$ sur une courbe donnée, est défini par $\vec{d S} = \frac{\vec{O M} \land \vec{d M}}{2}$ , pour le cercle trigonométrique le meilleur repérage étant le repérage polaire de base locale ${{\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ}}$ le rayon vecteur s'écrivant $\vec{O M} = {\vec{u}}_{ρ}$ et le vecteur déplacement élémentaire $\vec{d M} = d θ {\vec{u}}_{θ}$ $($ le cercle étant de rayon unité $)$ , on en déduit $\vec{d S} = \frac{{\vec{u}}_{ρ} \land d θ {\vec{u}}_{θ}}{2} = \frac{d θ}{2} {\vec{u}}_{z}$ d'où l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\vec{O M}$ quand le point $M$ se déplace sur le cercle de $\vec{d M}$ valant $d S = \frac{d θ}{2}$ , celle quand le point $M$ se déplace sur le cercle du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $θ$ est bien $\frac{θ}{2}$ $($ pour un cercle de rayon $R$ l'aire serait $\frac{θ}{2} R^{2}$ correspondant à une aire de $π R^{2}$ pour un tour complet $)$ .
↑ Voir les paragraphes « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^25,0 et ^25,1 D'une part Le vecteur surface $\vec{d S}$ devant être « $⊥$ à $\vec{O M}$ et $\vec{d M}$ » est bien colinéaire à « $\vec{O M} \land \vec{d M}$ » et
Modèle:Ald'autre part sa norme $‖ \vec{d S} ‖$ devant être identifiée à l'« aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs $\vec{O M} = r {\vec{u}}_{r}$ et $\vec{d M} = d r {\vec{u}}_{r} + r d θ {\vec{u}}_{θ}$ » c.-à-d. « $‖ \vec{d S} ‖ =$ $\frac{r \times r d θ}{2}$ » $($ aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base $r$ par la hauteur associée $r d θ)$ soit finalement « $‖ \vec{d S} ‖ = \frac{‖ \vec{O M} \land \vec{d M} ‖}{2}$ ».
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ Par report dans l'équation cartésienne $x^{2} - y^{2} = 1$ de cette branche d'hyperbole.
↑ En utilisant la formule de trigonométrie « $1 + \tan^{2} (ξ) = \frac{1}{\cos^{2} (ξ)}$ ».
↑ Voir méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ce lien « $𝔞 = \frac{1}{4} \ln [\frac{1 + \tan (θ)}{1 - \tan (θ)}]$ » entre l'angle $θ = \hat{(\vec{O x}, \vec{O M})}$ et l'aire $𝔞$ de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point $M$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $θ$ est nettement plus complexe que « $𝔞 = \frac{θ}{2}$ » obtenu dans le cas du cercle d'équation cartésienne $x^{2} + y^{2} = 1$ , sa complexité impliquant sa inutilisation.
↑ ^31,0 ^31,1 et ^31,2 Appellation personnelle.
↑ Nettement moins utilisées que la précédente.
↑ Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie « $\cos (a + b) = \cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)$ ».
↑ Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie « $\cos (a - b) = \cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)$ ».
↑ Relation d'addition analogue en trigonométrie « $\sin (a + b) = \sin (a) \cos (b) + \sin (b) \cos (a)$ ».
↑ Relation d'addition analogue en trigonométrie « $\sin (a - b) = \sin (a) \cos (b) - \sin (b) \cos (b)$ ».
↑ Voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique (relation fondamentale) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Noter la différence avec la relation de duplication analogue en trigonométrie « $\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a) = 2 \cos^{2} (a) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (a)$ ».
↑ Relation de linéarisation analogue en trigonométrie « $\cos^{2} (a) = \frac{1 + \cos (2 a)}{2}$ ».
↑ Noter la différence avec la relation de linéarisation analogue en trigonométrie « $\sin^{2} (a) = \frac{1 - \cos (2 a)}{2}$ ».
↑ Relation de duplication analogue en trigonométrie « $\sin (2 a) = 2 \sin (a) \cos (a)$ ».
↑ On trouve encore la notation initiale $a r g s h ()$ .
↑ En effet la relation fondamentale entre $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ étant $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ $[$ voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre $]$ $\Rightarrow$ $\cosh^{2} (x) = 1 + \sinh^{2} (x)$ soit, avec $\cosh (x) > 0 \forall x$ , la relation « $\cosh (y) = \sqrt{1 + \sinh^{2} (y)}$ ».
↑ Si $x$ est $> 0$ , nous conserverons la solution telle que $y$ soit $> 0$ c.-à-d. telle que $\exp (y)$ soit $> 1$ ,
Modèle:Alsi $x$ est $< 0$ , nous conserverons la solution telle que $y$ soit $< 0$ c.-à-d. telle que $\exp (y)$ soit $< 1$ .
↑ Le produit des racines valant $- 1$ , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ;
Modèle:Alla recherche de la racine $> 0$ nous conduit à $x + \sqrt{x^{2} + 1}$ , l'autre $x - \sqrt{x^{2} + 1}$ étant $< 0$ car $\sqrt{x^{2} + 1}$ est toujours $> | x |$ .
↑ ^46,0 ^46,1 ^46,2 ^46,3 ^46,4 et ^46,5 L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté $ℝ^{+}$ mais les mathématiciens utilisent $ℝ_{+}$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $a r g c h ()$ .
↑ En effet la relation fondamentale entre $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ étant $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ $[$ voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre $]$ $\Rightarrow$ $\sinh^{2} (x) = \cosh^{2} (x) - 1$ soit, $y$ étant $> 0$ , il en est de même de $\sinh (y)$ d'où la relation « $\sinh (y) = \sqrt{\cosh^{2} (y) - 1}$ ».
↑ $y$ étant $> 0$ , $\exp (y)$ est $> 1$ .
↑ Le produit des racines valant $- 1$ , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ;
Modèle:Alla recherche de la racine $> 0$ nous conduit à $x + \sqrt{x^{2} + 1}$ , l'autre $x - \sqrt{x^{2} + 1}$ étant $< 0$ car $\sqrt{x^{2} + 1}$ est toujours $> | x |$ .
↑ On trouve encore la notation initiale $a r g t h ()$ .
↑ ^52,0 et ^52,1 Toutefois on préférera toujours utiliser la décomposition de la fonction rationnelle $\frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{(1 - x) (1 + x)}$ en éléments simples comme cela est exposé dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\Rightarrow$ $\frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2} [\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}]$ qui s'intègre en $\int^{x} \frac{d ξ}{1 - ξ^{2}} = \frac{1}{2} [\int^{x} \frac{d ξ}{1 - ξ} + \int^{x} \frac{d ξ}{1 + ξ}] = \frac{1}{2} [\int^{x} - \frac{d (1 - ξ)}{1 - ξ} + \int^{x} \frac{d (1 + ξ)}{1 + ξ}]$ $= \frac{1}{2} [- \ln | 1 - x | + \ln | 1 + x |] + c s t e$ soit finalement $\int^{x} \frac{d ξ}{1 - ξ^{2}} = \frac{1}{2} \ln | \frac{1 + x}{1 - x} | + c s t e$ .
↑ Dans la mesure où $x \in] - 1, + 1 [$ , la primitive se réécrit donc $\int^{x} \frac{d ξ}{1 - ξ^{2}} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + c s t e$ $[$ le 1^er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de $a r g t a n h (x)$ établie ci-après $]$ .
↑ ^54,0 et ^54,1 Voir le paragraphe « tangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.
↑ On trouve encore la notation initiale $a r g c t g h ()$ .
↑ Que l'on peut écrire encore $\frac{d [a r g c o t h (x)]}{d x} = \frac{1}{1 - x^{2}}$ c.-à-d. la même expression que $\frac{d [a r g t a n h (x)]}{d x}$ mais sur des domaines de définition différents, plus exactement complémentaires.
↑ Dans la mesure où $x \in] - \infty, - 1 [\cup] + 1, + \infty [$ , la primitive $\int^{x} \frac{d ξ}{ξ^{2} - 1} = - \frac{1}{2} \ln | \frac{1 + x}{1 - x} | + c s t e$ se réécrit finalement selon $\int^{x} \frac{d ξ}{ξ^{2} - 1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{x - 1}) + c s t e$ $[$ le 1^er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de $a r g c o t h (x)$ établie ci-après $]$ .
↑ ^58,0 et ^58,1 Voir le paragraphe « cotangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.

Modèle:Bas de page

[Riccati-1] 1,0 et ^1,1 Vincenzo Riccati (1707 - 1775) mathématicien de la province de Vénétie $($ serait aujourd'hui italien $)$ surtout connu pour son travail sur les équations différentielles comme celle connue sous le nom d'équation de Riccati et pour la méthode de résolution par tractoire qu'il utilisa.

[hyperbole-2] 2,0 ^2,1 et ^2,2 Voir le paragraphe « hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[3] Ce n'est toutefois pas de cette façon que Vincenzo Riccati introduisit les cosinus et sinus hyperboliques $($ voir le paragraphe « commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati » plus loin dans le chapitre $)$ .

[4] On trouve encore la notation initiale $ch ()$ .

[sinh(x)-5] 5,0 ^5,1 et ^5,2 Voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre.

[6] Le graphe du cosinus hyperbolique est appelé « chaînette » car c'est la courbe que suit une chaînette $($ ou tout objet filiforme homogène $)$ tenue par ses deux extrémités dans un champ de pesanteur uniforme $($ pour que la courbe suivie par la chaînette soit symétrique il faut que les deux extrémités soient au même niveau horizontal $)$ .

[7] On trouve encore la notation initiale $sh ()$ .

[cosh(x)-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 et ^8,4 Voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.

[9] On trouve encore la notation initiale $th ()$ .

[10] En effet $\tanh (x) = \frac{\exp (x) - \exp (- x)}{\exp (x) + \exp (- x)} = \frac{\frac{\exp (x) - \exp (- x)}{2}}{\frac{\exp (x) + \exp (- x)}{2}} = \frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$ en utilisant les deux autres fonctions hyperboliques définies aux paragraphes « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.

[11] En utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions $\frac{d (\frac{u}{v})}{d x} = \frac{v (x) u^{'} (x) - u (x) v^{'} (x)}{v^{2} (x)}$ avec ${\begin{matrix} u (x) = \sinh (x) \\ u^{'} (x) = \cosh (x) \end{matrix}}$ voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre et ${\begin{matrix} v (x) = \cosh (x) \\ v^{'} (x) = \sinh (x) \end{matrix}}$ voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre d'où $\frac{d [\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}]}{d x} = \frac{\cosh (x) \cosh (x) - \sinh (x) \sinh (x)}{\cosh^{2} (x)} \dots$

[relation_fondamentale_entre_ch(x)_et_sh(x)-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 et ^12,3 On utilise la relation fondamentale liant $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ établie au paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus loin dans ce chapitre soit $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ .

[C.Q.F.D.-13] 13,0 et ^13,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[14] Pour cela il suffit de transformer $\frac{d [\tanh (x)]}{d x} \overset{\dots}{=} \frac{\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x)}{\cosh^{2} (x)} = 1 - {[\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}]}^{2} = 1 - \tanh^{2} (x)$ .

[abus_pour_horizontal-15] 15,0 et ^15,1 Bien sûr le qualificatif « horizontal » est un abus pour traduire de façon succincte « $∥$ à l'axe des abscisses ».

[16] On trouve encore la notation initiale $ctgh ()$ .

[17] En effet $\coth (x) = \frac{\exp (x) + \exp (- x)}{\exp (x) - \exp (- x)} = \frac{\frac{\exp (x) + \exp (- x)}{2}}{\frac{\exp (x) - \exp (- x)}{2}} = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$ en utilisant les deux autres fonctions hyperboliques définies aux paragraphes « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.

[18] En effet $\coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)} = \frac{1}{\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}} = \frac{1}{\tanh (x)}$ en utilisant la tangente hyperbolique définie au paragraphe « tangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.

[19] Ce dernier lien étant la raison pour laquelle la cotangente hyperbolique est très peu utilisée ${$ tout comme la cotangente $($ trigonométrique $)$ par rapport à la tangente $($ trigonométrique $)}$ .

[20] En utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions $\frac{d (\frac{u}{v})}{d x} = \frac{v (x) u^{'} (x) - u (x) v^{'} (x)}{v^{2} (x)}$ avec ${\begin{matrix} u (x) = \cosh (x) \\ u^{'} (x) = \sinh (x) \end{matrix}}$ voir le paragraphe « cosinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre et ${\begin{matrix} v (x) = \sinh (x) \\ v^{'} (x) = \cosh (x) \end{matrix}}$ voir le paragraphe « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre d'où $\frac{d [\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}]}{d x} = \frac{\sinh (x) \sinh (x) - \cosh (x) \cosh (x)}{\sinh^{2} (x)} \dots$

[21] Pour cela il suffit de transformer $\frac{d [\coth (x)]}{d x} \overset{\dots}{=} \frac{\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x)}{\sinh^{2} (x)} = 1 - {[\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}]}^{2} = 1 - \coth^{2} (x)$ .

[abus_pour_vertical-22] Bien sûr le qualificatif « vertical » est un abus pour traduire de façon succincte « $∥$ à l'axe des ordonnées ».

[cas_où_l'hyperbole_est_remplacée_par_un_cercle-23] 23,0 et ^23,1
Méthode d'introduction des fonctions trigonométriques ayant inspiré Vincenzo Riccati pour introduire les fonctions hyperboliques
La méthode suivie par Vincenzo Riccati est calquée sur celle qu'il utilisait lorsque le cercle trigonométrique d'équation $x^{2} + y^{2} = 1$ était à la place de l'hyperbole d'équation $x^{2} - y^{2} = 1$ , voir ci-contre le diagramme explicatif de la méthode avec le cercle trigonométrique ;
Modèle:AlUne demi-droite passant par l'origine coupe le cercle trigonométrique en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction de l'angle polaire $θ$ s'expriment respectivement en fonction du « cosinus » pour l'abscisse et « sinus » pour l'ordonnée, plus précisément ${x = \cos (θ); y = \sin (θ)}$ , le paramètre $θ$ s'avérant être aussi « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, le cercle et l'axe des abscisses » $($ en rouge sur le schéma ci-contre $)$ ;
Modèle:Alen effet nous avons indiqué dans le corps du « paragraphe sur lequel se greffe cette note de bas de page » que le vecteur surface élémentaire $\vec{d S}$ balayée par le rayon vecteur $\vec{O M}$ quand le point $M$ se déplace de $\vec{d M}$ sur une courbe donnée, est défini par $\vec{d S} = \frac{\vec{O M} \land \vec{d M}}{2}$ , pour le cercle trigonométrique le meilleur repérage étant le repérage polaire de base locale ${{\vec{u}}_{ρ}, {\vec{u}}_{θ}}$ le rayon vecteur s'écrivant $\vec{O M} = {\vec{u}}_{ρ}$ et le vecteur déplacement élémentaire $\vec{d M} = d θ {\vec{u}}_{θ}$ $($ le cercle étant de rayon unité $)$ , on en déduit $\vec{d S} = \frac{{\vec{u}}_{ρ} \land d θ {\vec{u}}_{θ}}{2} = \frac{d θ}{2} {\vec{u}}_{z}$ d'où l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur $\vec{O M}$ quand le point $M$ se déplace sur le cercle de $\vec{d M}$ valant $d S = \frac{d θ}{2}$ , celle quand le point $M$ se déplace sur le cercle du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre $θ$ est bien $\frac{θ}{2}$ $($ pour un cercle de rayon $R$ l'aire serait $\frac{θ}{2} R^{2}$ correspondant à une aire de $π R^{2}$ pour un tour complet $)$ .

[cosh(x)_et_sinh(x)-24] Voir les paragraphes « cosinus hyperbolique » et « sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.

[expression_de_vect_dS_en_polaire-25] 25,0 et ^25,1 D'une part Le vecteur surface $\vec{d S}$ devant être « $⊥$ à $\vec{O M}$ et $\vec{d M}$ » est bien colinéaire à « $\vec{O M} \land \vec{d M}$ » et
Modèle:Ald'autre part sa norme $‖ \vec{d S} ‖$ devant être identifiée à l'« aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs $\vec{O M} = r {\vec{u}}_{r}$ et $\vec{d M} = d r {\vec{u}}_{r} + r d θ {\vec{u}}_{θ}$ » c.-à-d. « $‖ \vec{d S} ‖ =$ $\frac{r \times r d θ}{2}$ » $($ aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base $r$ par la hauteur associée $r d θ)$ soit finalement « $‖ \vec{d S} ‖ = \frac{‖ \vec{O M} \land \vec{d M} ‖}{2}$ ».

[C.Q.F.V.-26] Ce Qu'il Fallait Vérifier.

[27] Par report dans l'équation cartésienne $x^{2} - y^{2} = 1$ de cette branche d'hyperbole.

[28] En utilisant la formule de trigonométrie « $1 + \tan^{2} (ξ) = \frac{1}{\cos^{2} (ξ)}$ ».

[29] Voir méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[30] Ce lien « $𝔞 = \frac{1}{4} \ln [\frac{1 + \tan (θ)}{1 - \tan (θ)}]$ » entre l'angle $θ = \hat{(\vec{O x}, \vec{O M})}$ et l'aire $𝔞$ de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point $M$ se déplace sur l'hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par $θ$ est nettement plus complexe que « $𝔞 = \frac{θ}{2}$ » obtenu dans le cas du cercle d'équation cartésienne $x^{2} + y^{2} = 1$ , sa complexité impliquant sa inutilisation.

[appellation_personnelle-31] 31,0 ^31,1 et ^31,2 Appellation personnelle.

[32] Nettement moins utilisées que la précédente.

[33] Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie « $\cos (a + b) = \cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)$ ».

[34] Noter la différence avec la relation d'addition analogue en trigonométrie « $\cos (a - b) = \cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)$ ».

[35] Relation d'addition analogue en trigonométrie « $\sin (a + b) = \sin (a) \cos (b) + \sin (b) \cos (a)$ ».

[36] Relation d'addition analogue en trigonométrie « $\sin (a - b) = \sin (a) \cos (b) - \sin (b) \cos (b)$ ».

[relation_fondamentale-37] Voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique (relation fondamentale) » plus haut dans ce chapitre.

[38] Noter la différence avec la relation de duplication analogue en trigonométrie « $\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a) = 2 \cos^{2} (a) - 1 = 1 - 2 \sin^{2} (a)$ ».

[39] Relation de linéarisation analogue en trigonométrie « $\cos^{2} (a) = \frac{1 + \cos (2 a)}{2}$ ».

[40] Noter la différence avec la relation de linéarisation analogue en trigonométrie « $\sin^{2} (a) = \frac{1 - \cos (2 a)}{2}$ ».

[41] Relation de duplication analogue en trigonométrie « $\sin (2 a) = 2 \sin (a) \cos (a)$ ».

[42] On trouve encore la notation initiale $a r g s h ()$ .

[43] En effet la relation fondamentale entre $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ étant $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ $[$ voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre $]$ $\Rightarrow$ $\cosh^{2} (x) = 1 + \sinh^{2} (x)$ soit, avec $\cosh (x) > 0 \forall x$ , la relation « $\cosh (y) = \sqrt{1 + \sinh^{2} (y)}$ ».

[44] Si $x$ est $> 0$ , nous conserverons la solution telle que $y$ soit $> 0$ c.-à-d. telle que $\exp (y)$ soit $> 1$ ,
Modèle:Alsi $x$ est $< 0$ , nous conserverons la solution telle que $y$ soit $< 0$ c.-à-d. telle que $\exp (y)$ soit $< 1$ .

[45] Le produit des racines valant $- 1$ , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ;
Modèle:Alla recherche de la racine $> 0$ nous conduit à $x + \sqrt{x^{2} + 1}$ , l'autre $x - \sqrt{x^{2} + 1}$ étant $< 0$ car $\sqrt{x^{2} + 1}$ est toujours $> | x |$ .

[réel_positif_ou_nul-46] 46,0 ^46,1 ^46,2 ^46,3 ^46,4 et ^46,5 L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté $ℝ^{+}$ mais les mathématiciens utilisent $ℝ_{+}$ .

[47] On trouve encore la notation initiale $a r g c h ()$ .

[48] En effet la relation fondamentale entre $\cosh (x)$ et $\sinh (x)$ étant $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ $[$ voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » plus haut dans ce chapitre $]$ $\Rightarrow$ $\sinh^{2} (x) = \cosh^{2} (x) - 1$ soit, $y$ étant $> 0$ , il en est de même de $\sinh (y)$ d'où la relation « $\sinh (y) = \sqrt{\cosh^{2} (y) - 1}$ ».

[49] $y$ étant $> 0$ , $\exp (y)$ est $> 1$ .

[50] Le produit des racines valant $- 1$ , les deux racines sont de signes contraires mais, seule la positive peut être une exponentielle et convenir ;
Modèle:Alla recherche de la racine $> 0$ nous conduit à $x + \sqrt{x^{2} + 1}$ , l'autre $x - \sqrt{x^{2} + 1}$ étant $< 0$ car $\sqrt{x^{2} + 1}$ est toujours $> | x |$ .

[51] On trouve encore la notation initiale $a r g t h ()$ .

[préférence-52] 52,0 et ^52,1 Toutefois on préférera toujours utiliser la décomposition de la fonction rationnelle $\frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{(1 - x) (1 + x)}$ en éléments simples comme cela est exposé dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\Rightarrow$ $\frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2} [\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}]$ qui s'intègre en $\int^{x} \frac{d ξ}{1 - ξ^{2}} = \frac{1}{2} [\int^{x} \frac{d ξ}{1 - ξ} + \int^{x} \frac{d ξ}{1 + ξ}] = \frac{1}{2} [\int^{x} - \frac{d (1 - ξ)}{1 - ξ} + \int^{x} \frac{d (1 + ξ)}{1 + ξ}]$ $= \frac{1}{2} [- \ln | 1 - x | + \ln | 1 + x |] + c s t e$ soit finalement $\int^{x} \frac{d ξ}{1 - ξ^{2}} = \frac{1}{2} \ln | \frac{1 + x}{1 - x} | + c s t e$ .

[53] Dans la mesure où $x \in] - 1, + 1 [$ , la primitive se réécrit donc $\int^{x} \frac{d ξ}{1 - ξ^{2}} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + c s t e$ $[$ le 1^er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de $a r g t a n h (x)$ établie ci-après $]$ .

[tanh(x)-54] 54,0 et ^54,1 Voir le paragraphe « tangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.

[55] On trouve encore la notation initiale $a r g c t g h ()$ .

[56] Que l'on peut écrire encore $\frac{d [a r g c o t h (x)]}{d x} = \frac{1}{1 - x^{2}}$ c.-à-d. la même expression que $\frac{d [a r g t a n h (x)]}{d x}$ mais sur des domaines de définition différents, plus exactement complémentaires.

[57] Dans la mesure où $x \in] - \infty, - 1 [\cup] + 1, + \infty [$ , la primitive $\int^{x} \frac{d ξ}{ξ^{2} - 1} = - \frac{1}{2} \ln | \frac{1 + x}{1 - x} | + c s t e$ se réécrit finalement selon $\int^{x} \frac{d ξ}{ξ^{2} - 1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{x - 1}) + c s t e$ $[$ le 1^er terme n'est rien d'autre que la forme logarithmique de $a r g c o t h (x)$ établie ci-après $]$ .

[coth(x)-58] 58,0 et ^58,1 Voir le paragraphe « cotangente hyperbolique » plus haut dans ce chapitre.

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions hyperboliques directes et inverses

Sommaire

Fonctions hyperboliques directes

Cosinus hyperbolique

Sinus hyperbolique

Tangente hyperbolique

Cotangente hyperbolique

Commentaires : explication du nom donné aux nouvelles fonctions créées par Vincenzo Riccati

Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

Relations d'addition et de duplication

Fonctions hyperboliques inverses

Fonction argument sinus hyperbolique

Fonction argument cosinus hyperbolique

Fonction argument tangente hyperbolique

Fonction argument cotangente hyperbolique

Notes et références

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Cosinus hyperbolique

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Tangente hyperbolique

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Liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

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Fonctions hyperboliques inverses

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