Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi binomiale

Combinaisons

Notation des combinaisons

En France, on utilisait la notation ${\mathrm{C}}_n^k$ pour $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$. Nous utiliserons dans cette leçon la notation $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$, qui est internationalement reconnue.

Loi binomiale

On répète n épreuves de Bernoulli (cf. chapitre 4), indépendantes et de même paramètre p,

c'est-à-dire n expériences aléatoires à deux issues possibles,

la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = 1 – p.

On note $X_n$ le nombre de succès obtenus.

Calcul des $p_k$

Calculons $p(k)=P(X_n=k)$. La probabilité d'une éventualité avec k succès et n – k échecs a pour valeur p^kq^n–k.

De plus, il y a autant de telles éventualités que de manières de choisir k nombres parmi n, c'est-à-dire $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

Finalement, la variable aléatoire $X_n$ suit la loi suivante : Modèle:Définition

Variance et écart-type

Modèle:Exemple