Variables aléatoires continues/Loi exponentielle

Présentation

La loi exponentielle décrit la durée de vie d'un phénomène sans vieillissement (particule radioactive, temps d'attente, ...).

Définition

La loi exponentielle est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).

Densité

Densité de probabilité de diverses lois exponentielles.

La fonction de densité d'une loi exponentielle est une exponentielle décroissante, qui tend d'autant plus vite vers 0 que son paramètre $\lambda$ est grand. Modèle:Clr

Absence de mémoire

Le fait qu'une durée de vie sans vieillissement (la durée de vie au-delà d'un instant T ne dépend pas de T) peut se traduire par :

$\mathrm{\forall }(t_1,t_2)\in ({ℝ}_{+}^{*}{)}^2\mathbb{P}(X>t_1+t_2\mid X>t_1)=\mathbb{P}(X>t_2)$,

c'est-à-dire

$\frac{\mathbb{P}(X>t_1+t_2)}{\mathbb{P}(X>t_1)}=\mathbb{P}(X>t_2)$,

ou encore, en notant $F(t)=\mathbb{P}(X>t)$ :

$F(t_1+t_2)=F(t_1)F(t_2)$.

On reconnait alors la propriété algébrique des fonctions exponentielles. Ainsi, il existe $\alpha \in ℝ$ tel que $F(t)={\mathrm{e}}^{\alpha t}$, et puisque F est croissante, $\alpha >0$.

On reconnait ainsi la fonction de répartition d'une loi exponentielle. Réciproquement, on retrouve, à partir de la fonction de répartition d'une loi exponentielle, la propriété d'une durée de vie sans vieillissement.

On a ainsi prouvé :