Topologie générale/Exercices/Espaces métriques

Exercice 1 : espace ultramétrique

Soit $(E,d)$ un espace ultramétrique, c'est-à-dire un espace métrique tel que

$\mathrm{\forall }(x,y,z)\in E^{3}d(x,z)\le \max (d(x,y),d(y,z))$.

Montrer que :

1. si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun alors l'une contient l'autre ;
2. tout point d'une boule en est un centre ;
3. toute boule fermée est ouverte ;
4. toute boule ouverte est fermée ;
5. tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux ;
6. une suite $(x_n)$ est de Cauchy si (et seulement si) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(x_n,x_{n+1})=0$.

Exercice 2

Soient $X$ un espace topologique, $E$ un espace métrique, $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de $X\times E$ et $f:\mathrm{\Omega }\to E$ une fonction continue par rapport à sa première variable et localement lipschitzienne par rapport à la seconde. Montrer que $f$ est continue. Modèle:Solution

Exercice 3

Soient $(X,d_X)$ et $(Y,d_Y)$ deux espaces métriques, $f$ une application de $X$ dans $Y$ et $a$ un point de $X$.

Montrer que $f$ est continue au point $a$ si et seulement s'il existe une application $\omega :{ℝ}_{+}\to ℝ$ telle que

$d_Y(f(x),f(a))\le \omega (d_X(x,a))$ (pour tout $x\in X$) et $\underset{0}{\lim }\omega =0$.

Exercice 4

Soient $(E,d)$ un espace métrique et $A$ une partie non vide de $E$. Pour tout $x\in E$, on pose

$d(x,A)=\underset{a\in A}{\inf }d(x,a)$.

1. Dans $ℝ$ muni de la distance usuelle, quelle est la distance de $\sqrt{2}$ à $\mathbb{Q}$ ?
2. Dans ${ℝ}^n$ muni d'une distance associée à une norme, montrer que pour tout $x\in {ℝ}^n$, il existe $y\in \bar{A}$ tel que $d(x,A)=d(x,y)$.
3. On revient à un espace métrique quelconque. Montrer qu'on a encore : $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in \bar{A}$.
4. Montrer que l'application $E\to ℝ,x\mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne.
5. En déduire que si $A$ est un fermé de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta >0$ telle que $\mathrm{\forall }(a,b)\in A\times Bd(a,b)\ge \delta$.
6. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si l'on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux fermés disjoints.

Exercice 5

Modèle:Wikipédia Un espace métrique est dit polonais s'il est complet et [[../../Dénombrabilité|séparable]].

1. Soient $(X_1,d_1)$ et $(X_2,d_2)$ deux espaces polonais. Montrer que l'espace produit $X_1\times X_2$, muni de la distance $d=\sqrt{d_1^2+d_2^2}$, est polonais.
2. Montrer que tout fermé $F$ d'un espace polonais $(X,d)$ est polonais.
3. On rappelle (cf. [[../Espaces topologiques#Exercice 5|cet exercice]]) que le graphe d'une application continue est homéomorphe à l'espace de départ. En utilisant la fonction $f:{ℝ}^{*}\to {ℝ}^{+},x\mapsto \frac{1}{|x|}$, déduire des questions précédentes qu'il existe sur ${ℝ}^{*}$ une distance $\delta$ induisant la topologie usuelle, mais telle que $({ℝ}^{*},\delta )$ soit polonais.

Exercice 6

Soient $(E,d)$ un espace métrique, $F\subset E$ un sous-ensemble et $f:F\to ℝ$ une application $k$-lipschitzienne.

Montrer que $f$ s'étend en une application $k$-lipschitzienne $h:E\to ℝ$.

Indication : on pourra considérer la quantité $\underset{y\in F}{\inf }(f(y)+Ld(x,y))$ pour un $L$ convenable. Modèle:Solution