Topologie générale/Exercices/Espaces complets

Exercice 1

Soient $E$ un espace métrique complet non vide et $f:E\to E$ une application (non nécessairement continue) dont une itérée $f^q$ est contractante. En utilisant le théorème du point fixe de Picard-Banach, montrer que :

• $f$ possède un unique point fixe $x^{*}$ ;
• toute suite $\left(x_n\right)$ dans $E$ vérifiant $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{x}_{n+1}=f\left(x_n\right)$ converge vers $x^{*}$, à une vitesse au moins géométrique.

Exercice 2

Soient $(E,d)$ et $(E^{\prime },d^{\prime })$ deux espaces métriques et $(E^{″},d^{″})$ [[../../Espace métrique#Produit d'espaces métriques|leur produit]], avec (par exemple) $d^{″}((x,x^{\prime }),(y,y^{\prime }))=\max (d(x,y),d^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime }))$. Montrer qu'une suite $(x_n,x{\text{'}}_n)$ dans $E^{″}$ est de Cauchy si et seulement si les deux suites $(x_n)$ (dans $E$) et $(x{\text{'}}_n)$ (dans $E^{\prime }$) sont de Cauchy. Modèle:Solution