Opérations sur les fonctions/Composition

Composée de deux fonctions

L'opération de composition revient ainsi à appliquer les deux fonctions d'affilée. $\begin{array}{ccccc}x& \mapsto f& f(x)& \mapsto g& g\left(f\left(x\right)\right)\end{array}$

qui peut se ramener à $\begin{array}{ccc}x& \mapsto g\circ f& g\left(f\left(x\right)\right)\end{array}$

En effet :

• pour tout $x$, $(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$
• pour tout $x$, $(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

donnent des résultats différents. Voyons cela sur quelques exemples.

Dans les exemples ci-dessus, toutes les fonctions étaient définies de $ℝ$ dans $ℝ$ mais en général, il peut même arriver que l'une des deux composées $g\circ f$ et $f\circ g$ soit définie et pas l'autre. Plus précisément, pour que la fonction $g\circ f$ soit bien définie, il faut que pour tout $x$, l'image de $x$ par $f$ soit dans le domaine de définition de $g$.

$\begin{array}{ccccc}{𝒟}_f& \to & {𝒟}_g& \to & \dots \\ x& \mapsto f& f(x)& \mapsto g& g\circ f(x)\end{array}$

$f({𝒟}_f)\subset {𝒟}_g$

Ceci nous conduit à préciser la définition :