Théorie physique des distributions/Espaces fondamentaux

La théorie des distributions établie par Laurent Schwartz entre 1945 et 1950 généralise le concept de fonctions pour permettre notamment de résoudre une plus grande classe d'équations différentielles. La théorie complète considère la totalité des fonctions d'une variable réelle, ce qui nécessite l’introduction d’outils mathématiques plus élaborés comme la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Ce chapitre définit un sous-ensemble de l’ensemble des fonctions d'une variable réelle qui, tout en étant un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions, sera suffisant pour décrire la plupart des phénomènes physiques. Nous définirons ensuite quelques ensembles de fonctions qui nous seront utiles dans les chapitres suivants. Nous définirons ces ensembles dans un ordre tel que le suivant sera un sous-espace vectoriel du précédent. Tous ces ensembles de fonctions sont définis sur ℝ pour des raisons de simplification. Dans une théorie des distributions plus élaborée, on considère des espaces aux propriétés similaires décris sur un ensemble de définition différent.

Espace des fonctions physiques

Nous donnerons une première définition :

Par exemple, la fonction de Heaviside H définie par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝH(x)=\{\begin{array}{ccc}0& \mathrm{s}\mathrm{i}& x<0\\ 1& \mathrm{s}\mathrm{i}& x⩾0.\end{array}$

est continue à droite en 0. En effet :

$\underset{x\to 0,x>0}{\lim }H(x)=1=H(0)$.

Modèle:Définition

Modèle:Théorème

Modèle:Encart

Espace des fonctions indéfiniment dérivables sur ℝ

Modèle:Définition

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

L'espace vectoriel $ℰ$ nous permettra de définir, par dualité, l’espace des distributions à support compact.

Espace de Schwartz

Avant de définir l'espace de Schwartz, nous définirons un autre espace utile à cette définition :

Espace des fonctions à décroissance rapide

Modèle:Définition

Définition de l'espace de Schwartz

Modèle:Définition

Espace des fonctions sommables

Modèle:Définition

Toute fonction physique à décroissance rapide — en particulier toute fonction de Schwartz — est évidemment absolument sommable.

Espace des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact

Modèle:Définition Modèle:Définition

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Nous montrerons en exercice que cet espace vectoriel n'est pas réduit à la fonction nulle.