Intégration de Riemann/Intégrales généralisées

L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}$

ou encore avec au moins une borne où la fonction n’est pas définie et a une limite infinie comme :

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\tan x\mathrm{d}x$.

Définitions et premières propriétés

Définition

On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne $b$ (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :

Modèle:Définition Le symbole $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.

Premières propriétés

Il y a linéarité des intégrales généralisées convergentes.

Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.

Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l’on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer :

Calcul explicite

Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ impropre en $b$, d'expliciter la fonction $x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand $x$ tend vers $b$.

Exemple de Riemann

Le premier exemple de référence à connaître est :

Soit $\alpha \in ℝ$.

• L'intégrale impropre
  $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t^{\alpha }}\mathrm{d}t$
  converge si et seulement si $\alpha >1$.
• L'intégrale (impropre en $0$ si $\alpha >0$)
  $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{s^{\alpha }}\mathrm{d}s$
  converge si et seulement si $\alpha <1$.

Autres exemples

Montrer que $\underset{\mathrm{e}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t{\ln }^{\beta }t}\mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\beta >1$. Modèle:Solution Montrer que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\ln }^{k}x\mathrm{d}x=(-1{)}^{k}k!$. Modèle:Solution

Convergence absolue et théorème de comparaison

Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées

On considère dans tout ce paragraphe des fonctions à valeurs positives.

Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe :

Modèle:Exemple On rappelle que le « problème » est sur la borne d’en haut $b$ (c'est donc en $b$ que l’on effectue la comparaison de $f$ et $g$) :

Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison. Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Exemple Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue :

Convergence absolue

Modèle:Exemple

Un exemple classique d'intégrale semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais non absolument, est l'[[../Devoir/Intégrale de Dirichlet|intégrale de Dirichlet]] $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$.

Règle d'Abel

Modèle:Exemple