Théorie des groupes/Exercices/Produit libre d'une famille de groupes

Problème 1

Démontrer le théorème suivant, énoncé dans le chapitre théorique :
Soient G un groupe et $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. Pour que G soit le produit libre interne de la famille $(G_i{)}_{i\in I}$, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites :

1° les $G_i$ se coupent trivialement deux à deux;

2° pour tout élément $g$ de G, il existe un et un seul multiplet $(g_1,\dots ,g_n)$ d'éléments de $\bigcup _{i\in I}{G}_i^{\mathrm{♯}}$ tel que

a) pour tout $j$ dans $\{1,\dots ,n-1\}$, $g_j$ et $g_{j+1}$ n'appartiennent pas à un même $G_i$;

b) $g=g_1\cdots g_n.$

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. La condition 1° de l'énoncé n'est pas forcément entraînée par la condition 2°. Par exemple, considérer un groupe non trivial G et un sous-groupe H non trivial de G (on ne suppose pas H distinct de G) et poser $I=\{1,2\},G_1=G$ et $G_2=H.$ La condition 2° de l'énoncé est satisfaite, car si $(g_1,\dots ,g_n)$ est un multiplet d'éléments de $\bigcup _{i\in I}{G}_i^{\mathrm{♯}}$ tel que la condition a) de l'énoncé soit satisfaite, $n$ doit être égal à 0 ou à 1. Les détails sont laissés au lecteur.

Problème 2

a) Soient $(G_i{)}_{i\in I}$ et $(H_j{)}_{j\in J}$ deux familles de groupes; on suppose qu'il existe une bijection $\sigma$ de I sur J telle que, pour tout $i$ dans $I$, $H_{\sigma (i)}=G_i.$ (On pourrait dire que les familles $(G_i{)}_{i\in I}$ et $(H_j{)}_{j\in J}$ sont « égales à l'indexation près ».) Prouver que les groupes $*i\in I{G}_i$ et $*j\in J{H}_j$ sont isomorphes.
(Indication : on peut utiliser la propriété universelle du produit libre.) Modèle:Clr Modèle:Solution b) Soient $G$ et $H$ deux groupes; prouver que $G*H$ et $H*G$ sont isomorphes. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3

Soient $(G_i{)}_{i\in I}$ et $(H_i{)}_{i\in I}$ deux familles de groupes telles que, pour tout $i$ dans $I$, $G_i$ et $H_i$ soient isomorphes. Prouver que $*i\in I{G}_i$ et $*i\in I{H}_i$ sont isomorphes.
(Indication : on peut appliquer la propriété universelle du produit libre.)

Problème 4

On a noté dans le chapitre théorique que si J est une partie d'un ensemble I, si $(G_i{)}_{i\in I}$ est une famille de groupes, alors $*j\in J{G}_j$ est un sous-groupe de $*i\in I{G}_i.$ Le prouver à l'aide de la propriété universelle du produit libre (ce qui permet d'éviter de raisonner sur les réductions qui interviennent dans la définition de la loi de groupe du produit libre).

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. L'énoncé de ce problème ne s'étend pas à toute catégorie où les coproduits existent, car la notion de sous-groupe ne s'étend pas de la catégorie des groupes à toute catégorie. D'ailleurs, dans le cadre général des catégories, le coproduit d'une famille d'objets n'est défini qu'à isomorphisme près.

Problème 5

Soient $G_1,G_2,G_3$ des groupes. Prouver que $G_1*G_2*G_3$ (c'est-à-dire $*i\in \{1,2,3\}{G}_i$) est isomorphe à $(G_1*G_2)*G_3$ (c'est-à-dire à $H_1*H_2=*k\in \{1,2\}{H}_k$, où $H_1=G_1*G_2=*j\in \{1,2\}{G}_j$ et où $H_2=G_3).$

Modèle:Clr Modèle:Solution b) Soient $G_1,G_2,G_3$ des groupes. Prouver que $G_1*G_2*G_3$, $(G_1*G_2)*G_3$ et $G_1*(G_2*G_3)$ sont isomorphes. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. On pourrait démontrer une formule plus générale d'« associativité », à savoir que si $(G_i{)}_{i\in I}$ est une famille de groupes, si $(I_j{)}_{j\in J}$ est une famille de parties deux à deux disjointes de $I$ dont la réunion est égale à $I$, alors $*i\in I{G}_i$ est isomorphe à $*j\in J{H}_j$, où $H_j$ désigne $*i\in I_j{G}_i.$ Cela s'étend de la catégorie des groupes à toute catégorie où les coproduits existent. Dans le cas particulier de la catégorie des groupes, on peut même prouver que $*i\in I{G}_i$ est le produit libre interne des $H_j$.

Problème 6

Soit $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille de groupes. Le but de cet exercice est de déterminer les éléments d'ordre fini du produit libre $*i\in I{G}_i.$
a) Convenons de dire qu'un élément $((i_1,g_1),\dots (i_n,g_n))$ de $*i\in I{G}_i$ est de forme conjuguée si

$n>1,i_n=i_1$ et $g_n=g_1^{-1}$ dans $G_{i_1}=G_{i_n}.$

Puisque tout élément de $*i\in I{G}_i$ est réduit, on doit alors avoir $n\ge 3.$ Il est clair que si $((i_1,g_1),\dots (i_n,g_n))$ est de forme conjuguée, il est conjugué à $((i_2,g_2),\dots (i_{n-1},g_{n-1}))$ dans $*i\in I{G}_i$, d'où notre expression « de forme conjuguée ».
Prouver que tout élément de $*i\in I{G}_i$ est conjugué dans $*i\in I{G}_i$ à un élément qui n'est pas de forme conjuguée. Modèle:Clr Modèle:Solution b) Soit $v$ un élément d'ordre fini de $*i\in I{G}_i$, distinct du neutre $\mathrm{\varnothing }$ de $*i\in I{G}_i.$ Prouver que $v$ est conjugué dans $*i\in I{G}_i$ à un élément de longueur $1$. (Cela revient à dire qu'il existe un élément $j$ de $I$ tel que $v$ soit conjugué dans $*i\in I{G}_i$ à un élément de ${\phi }_j(G_j^{\mathrm{♯}})$, où ${\phi }_j$ désigne la $j$-ième inclusion canonique de $G_j$ dans $*i\in I{G}_i.$) Modèle:Clr Modèle:Solution c) On suppose que chaque $G_i$ est sans torsion. (Rappel : un groupe est dit sans torsion si son seul élément d'ordre fini est son élément neutre.) Prouver que $*i\in I{G}_i$ est sans torsion. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Le groupe additif $\mathbb{Z}$ est sans torsion. (En effet, si $n$ est un nombre naturel non nul et $x$ un élément non nul de $\mathbb{Z}$, $nx$ est un élément non nul de $\mathbb{Z}$.) Il résulte donc du point c) que le produit libre d'une famille de groupes isomorphes au groupe additif $\mathbb{Z}$ est sans torsion. Puisque (chapitre théorique) tout groupe libre est isomorphe à un tel produit libre, tout groupe libre est donc sans torsion. On retrouve ainsi un résultat démontré dans [[../Groupes libres, premiers éléments/|les exercices du chapitre Groupes libres, premiers éléments]].

Problème 7

Soit $(G_i{)}_{i\in I}$ une famille de groupes. Le but de cet exercice est de déterminer le centre de $*i\in I{G}_i.$ Pour tout élément $j$ de $I$, on désignera par ${\phi }_j$ la $j$-ième inclusion canonique de $G_j$ dans $*i\in I{G}_i.$

a) Soit $j$ un élément de $I$, soit $g$ un élément de $G_j^{\mathrm{♯}}.$ Prouver que le centralisateur de ${\phi }_j(g)$, autrement dit de $((j,g))$, dans $*i\in I{G}_i$ est ${\phi }_j(C_{G_j}(g))$, où $C_{G_j}(g)$ désigne le centralisateur de $g$ dans $G_j.$ Modèle:Clr Modèle:Solution b) On suppose qu'on peut trouver dans $I$ deux indices distincts $j$ et $k$ tels que $G_j$ et $G_k$ soient tous deux non triviaux. Prouver que le centre de $*i\in I{G}_i$ est trivial. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. Puisqu'un groupe libre de base $X$ est isomorphe au produit libre de la famille $(G_x{)}_{x\in X}$, où chaque $G_x$ est isomorphe à $\mathbb{Z},+$ et donc non trivial, il résulte du point b) que tout groupe libre de rang $\ge 2$ est de centre trivial. On retrouve ainsi un résultat démontré dans [[../Groupes libres, premiers éléments/|les exercices du chapitre Groupes libres, premiers éléments]].

Problème 8

Soient A et B deux groupes, X le sous-ensemble de $A*B$ constitué des commutateurs $[a,b]=a^{-1}{b}^{-1}ab$, pour $a\in A\setminus \{1_A\}$ et $b\in B\setminus \{1_B\}$, et R le sous-groupe de $A*B$ engendré par X.

(Remarque : si A et B sont abéliens, R n'est autre que le sous-groupe dérivé de $A*B$.)

1. Montrer que R est le noyau de l'épimorphisme canonique de $A*B$ sur le [[../../Produit direct et somme restreinte|produit direct]] $A\times B$.
2. Montrer que pour tout entier $n\ge 1$, tous $[a_1,b_1],\dots ,[a_n,b_n]\in X$ et tous ${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_n\in \{-1,1\}$ tels qu'on n'ait jamais simultanément $a_i=a_{i+1}$, $b_i=b_{i+1}$ et ${ϵ}_i=-{ϵ}_{i+1}$, l'élément $[a_1,b_1{]}^{{ϵ}_1}\dots [a_n,b_n{]}^{{ϵ}_n}\in A*B$ (une fois réduit) est de longueur $\ge n+3$ et qu'il se termine par $a_n{b}_n$ si ${ϵ}_n=1$, et par $b_n{a}_n$ si ${ϵ}_n=-1$.
3. En déduire X est une base de R.
   Remarque : cela précise et généralise le fait (vu dans la question g de [[../Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier#Problème 2|Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier#Problème 2]]) que le [[../Groupes libres, premiers éléments#Problème 5 (Dérivé du groupe F(X))|dérivé du groupe libre]] $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ est de rang infini.
4. En déduire que si A et B sont finis alors le groupe $A*B$ est virtuellement libre, c'est-à-dire qu'il possède un sous-groupe libre d'indice fini.

Modèle:Solution Références :

• Modèle:Ouvrage pour les questions 1 à 3
• Modèle:Article (Theorem 2) pour une généralisation à un produit libre de n groupes ;
• Modèle:Lien web pour la question 4.

Problème 9 : lemme du ping-pong

Modèle:Wikipédia Soient HModèle:Ind, HModèle:Ind, … , HModèle:Ind des sous-groupes non triviaux d'un groupe G, avec k ≥ 2 et HModèle:Ind d'ordre > 2.

On suppose que G agit sur un ensemble X contenant des sous-ensembles non vides disjoints XModèle:Ind, XModèle:Ind, … , XModèle:Ind tels que :

pour tous i ≠ j et tout h ∈ HModèle:Ind\{1}, h(XModèle:Ind) ⊂ XModèle:Ind.

Le but de l'exercice est d'en déduire que le sous-groupe engendré par les HModèle:Ind est leur produit libre interne.

Il s'agit donc de montrer que pour tout mot réduit $w=((i_1,w_1),\dots ,(i_m,w_m))\in {*}_{i=1}^k{H}_i$ de longueur $m\ge 2$, le produit $g:=w_1\dots w_m\in G$ est différent du neutre.

1. Par hypothèse, pour j de 1 à m, $w_j\in H_{i_j}\setminus \{1\}$. On suppose dans cette question que $i_1=i_m=1$. Montrer qu'alors, $g{X}_2\subset X_1$ et conclure.
2. Si $i_1$ ou $i_m$ est différent de 1, se ramener au cas précédent par conjugaison.

Problème 10

Démontrer que le sous-groupe de SO(3, ℝ) engendré par les deux matrices de rotation

$A:=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 0\\ -4& 3& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$ et $B:=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 3& 4\\ 0& -4& 3\end{array}\right)$

est isomorphe à $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$.

Indication : appliquer le lemme du ping-pong à

$X_1:=\{\frac{1}{5^k}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)|k\in \mathbb{N},a,b,c\in \mathbb{Z},c\equiv ̸0mod5,\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{c}0\\ \pm 2c\end{array}\right)mod5\}$ et

$X_2:=\{\frac{1}{5^k}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)|k\in \mathbb{N},a,b,c\in \mathbb{Z},a\equiv ̸0mod5,\left(\begin{array}{c}b\\ c\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{c}\pm 2a\\ 0\end{array}\right)mod5\}$.

Problème 11

Soit $F_2=⟨a,b⟩$ le groupe libre sur deux générateurs $a$ et $b$. On construit un graphe $\mathrm{\Gamma }=(F_2,E)$ (appelé Modèle:W) de la façon suivante. On décrète que deux sommets $x,y\in F_2$ sont reliés par une arête $\in E$ (un segment isométrique à l'intervalle $[0,1]$) si $x\in \{ya,yb,y{a}^{-1},y{b}^{-1}\}$.

1. Montrer que $\mathrm{\Gamma }$ est naturellement muni d'une distance $d$ telle que la distance entre deux sommets soit toujours un entier.
2. Montrer que $\mathrm{\Gamma }$ est un arbre (c'est-à-dire un graphe sans cycle).
3. Montrer qu'en posant $g\cdot x=gx$, on définit une action par isométries de $F_2$ sur $\mathrm{\Gamma }$.
4. Si $g\ne 1$, montrer que l'isométrie induite par $g$ sur $\mathrm{\Gamma }$ est sans point fixe, et identifier l'ensemble $A(g)\subset \mathrm{\Gamma }$ des points $y\in \mathrm{\Gamma }$ tels que $d(y,gy)$ soit minimale.
5. Si $g\ne 1$, construire un élément $h\in F_2$ non trivial tel que $A(g)\cap A(h)=\varnothing$.
6. Si $g,h\in F_2$ sont deux éléments non triviaux tels que $A(g)\cap A(h)=\varnothing$, montrer que $⟨g,h⟩$ est libre (indication : ping-pong).
7. Pour tout entier $n>0$, montrer que $F_2$ contient des groupes libres de rang $n$ (indication : s'inspirer de la question précédente).

Modèle:Solution Remarque sur la dernière question : une autre façon de plonger $F_n$ dans $F_2$ (pour $n\ge 2$) est de [[../Groupes libres, premiers éléments#Problème 6 (facile)|choisir dans $F_2$ un sous-groupe d'indice $n-1$]] et d'appliquer [[../Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier#Problème 2|la formule qui relie son indice à son rang]]. Modèle:Bas de page