Théorie des groupes/Commutateurs, groupe dérivé

Commutateurs d'éléments et de sous-groupes

Remarque. Cette définition est celle qu'adopte Bourbaki. D'autres auteurs désignent comme le commutateur de x et y l'élément $xy{x}^{-1}{y}^{-1}$. Il est clair que le commutateur de x et de y selon une de ces définitions est le commutateur de xModèle:Exp et yModèle:Exp selon l'autre définition, ce qui permet de traduire facilement un énoncé relatif à une définition en un énoncé relatif à l'autre définition.

Il est clair que [y, x] = [x, y]Modèle:Exp. D'autre part, [x, y] = (yx)Modèle:Expxy, donc [x, y] = 1 si et seulement si x et y commutent.

Remarques

• Nous avons vu que, si x et y sont deux éléments de G, la relation [x, y] = 1 a lieu si et seulement si x et y commutent. Il en résulte que [A, B] = 1 si et seulement tout élément de A commute avec tout élément de B.
• Il est clair que si A₁ et B₁ sont des sous-groupes de G contenus dans A et dans B respectivement, [A₁, B₁] est contenu dans [A, B] (puisqu’il y a une partie génératrice de [A₁, B₁] qui est contenue dans [A, B]).
• Soit X l’ensemble des commutateurs $[a,b]=a^{-1}{b}^{-1}ab$ avec $a\in A$ et $b\in B$, soit Y l’ensemble des commutateurs $[b,a]=b^{-1}{a}^{-1}ba$ avec $a\in A$ et $b\in B$. Par définition, [A, B] est le sous-groupe de G engendré par X et [B, A] est le sous-groupe de G engendré par Y. Il est clair que $Y=X^{-1}$, donc X et Y engendrent le même sous-groupe, donc [A, B] = [B, A].

On en déduit facilement le corollaire suivant :

(Pour ce qui est des sous-groupes normaux, on se rappellera qu'un sous-groupe de G est normal dans G si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de G.)

Groupe dérivé

Remarques

• Le groupe dérivé de G n’est pas forcément réduit à l’ensemble des commutateurs d'éléments de G.
• Le groupe dérivé de G est parfois appelé groupe des commutateurs de G, ce qui est un abus de langage, vu la remarque précédente.
• Nous avons vu que, si A et B sont deux sous-groupes de G, [A, B] = 1 si et seulement tout élément de A commute avec tout élément de B. En faisant A = B = G, nous trouvons que D(G) = 1 si et seulement G est commutatif.
• Si nous désignons par C l'ensemble des commutateurs de G, alors $C=C^{-1}$ (puisque [b,a] est l'inverse de [a,b]), donc D(G), qui est le sous-groupe de G engendré par C, est aussi le sous-monoïde de G engendré par C, autrement dit D(G) est l'ensemble des produits de commutateurs d'éléments de G.

Remarque. On trouvera une autre démonstration dans les exercices.

Le sous-groupe dérivé d'un groupe G est donc le plus petit sous-groupe normal H de G tel que G/H soit abélien.

Remarque. Dans le théorème précédent, X ne contient pas nécessairement l'inverse de chacun de ses éléments ; on peut donc légitimement se demander si le théorème n'est valable qu'avec la définition des commutateurs adoptée dans ce cours, c'est-à-dire Modèle:Nobr (et non Modèle:Nobr) pour tous x et y dans G. En examinant la démonstration ci-dessus, on peut constater qu'elle ne repose que sur des résultats indépendants de la définition choisie pour le commutateur de deux éléments d'un groupe. Le théorème est donc valable tel quel indépendamment de la définition choisie.

Une autre façon de voir cela consiste à montrer que le sous-groupe normal de G engendré par Com₁(X) est égal au sous-groupe normal de G engendré par Com₂(X), où Com₁(X) (resp. Com₂(X)) est l'ensemble des éléments de la forme Modèle:Nobr (resp. Modèle:Nobr) avec x et y dans X. Pour ce faire, remarquons tout d'abord que tout élément de Com₁(X) est conjugué d'un élément de Com₂(X) : en effet, si a et b sont deux éléments d'un groupe, ab est toujours conjugué de ba, puisque ab = a(ba)a^-1 ; on obtient donc l'argument en posant Modèle:Nobr et Modèle:Nobr. De même, tout élément de Com₂(X) est conjugué d'un élément de Com₁(X). Il en résulte que les conjugués des éléments de Com₁(X) sont exactement les conjugués des éléments de Com₂(X), car la relation d'équivalence sur G « être conjugué à » est transitive. Or nous avons vu dans un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur que dans un groupe quelconque G₀, le sous-groupe normal engendré par une partie Y de G₀ est le sous-groupe de G₀ engendré par les conjugués des éléments de Y. Le sous-groupe normal de G engendré par Com₁(X) (resp. Com₂(X)) est donc le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de Com₁(X) (resp. Com₂(X)). On en déduit que le sous-groupe normal de G engendré par Com₁(X) est égal au sous-groupe normal de G engendré par Com₂(X), comme annoncé.

Remarques

• Pour prouver que (a b c) est un commutateur, on aurait aussi pu noter que (a b c) = (a b) (a c) (a b)Modèle:Exp (a c)Modèle:Exp.
• Comme déjà dit, le groupe dérivé d'un groupe G n’est pas forcément réduit aux commutateurs d'éléments de G. On verra cependant dans les exercices que tout élément de A_n est un commutateur d'éléments de S_n.

Compléments

On va donner dans cette section quelques résultats qui ne figurent pas dans tous les livres d’introduction à la théorie des groupes.

Soient x, y, z des éléments d'un groupe G. On écrit x^y pour y^-1xy, notation qu’il ne faut évidemment pas confondre avec la notation xⁿ, où n est un entier relatif. On a toujours x^yz = (x^y)^z (composition des automorphismes intérieurs).

Démonstration. La relation 1° a déjà été notée. La relation 4° s'obtient en appliquant l'égalité f([x, y]) = [f(x), f(y)] , vraie pour tout homomorphisme de groupes f, au cas où f est l'automorphisme intérieur $x\mapsto z^{-1}xz$. La relation 2° s'obtient par un calcul immédiat. Il en est de même de 3°, qu'on peut aussi tirer de 2° en passant aux inverses et en remplaçant x par x^-1. La relation 5° se vérifie par calcul. On peut obtenir 6° à partir de 5° en remplaçant dans 5° [x, y]^z par une valeur tirée de 3°. On peut tirer 7° de 5° en passant aux inverses et en faisant un changement de variables. On peut tirer 8° de 7° à l'aide de 2° comme on a tiré 6° de 5° à l'aide de 3° ; on peut aussi tirer 8° de 6° en passant aux inverses et en faisant un changement de variables. On obtient 9° en faisant z = y^-1 dans 5°. On obtient 10° en faisant y = z^-1 dans 6° et en opérant un changement de variable. Pour prouver 11° (l'identité de Hall-Wittt), on peut abréger les calculs en notant que le premier facteur de l'identité peut s'écrire

$[[x,y^{-1}],z{]}^y=T(x,z,y{)}^{-1}T(y,x,z),$

où on pose:

$T(a,b,c)=ab{a}^{-1}ca.$

Des expressions analogues des deux autres facteurs de l'identité de Hall-Witt s'obtiennent à partir de celle-ci par une permuation circulaire des variables et quand on multiplie les trois résultats membre à membre, chaque facteur T() est détruit par le facteur T()^-1 qui suit.

Démonstration. Soient a et a' deux éléments de A, soit b un élément de B. D'après la septième des identités énumérées plus haut,

$[a{a}^{\prime },b]=[a,b{]}^{a^{\prime }}[a^{\prime },b].$

Ceci donne

$[a,b{]}^{a^{\prime }}=[a{a}^{\prime },b][a^{\prime },b{]}^{-1}.$

Les deux facteurs du second membre appartiennent à [A, B], donc

$[a,b{]}^{a^{\prime }}$

appartient à [A, B]. Puisque les [a, b], avec a dans A et b dans B, engendrent [A, B], il en résulte que A normalise [A, B]. De même, B normalise [B, A] = [A, B].

Démonstration. Il suffit de prouver que

$(1)$ si [ [K, L], H] et [ [L, H], K] sont contenus dans N, [ [H, K], L] l'est aussi.

(Les autres cas s'en déduisent par une permutation circulaire des variables.)

Commençons par le prouver dans le cas particulier où N = 1.

Dans ce cas, [ [K, L], H] = [ [L, H], K] = 1 et il s'agit de prouver que [ [H, K], L] = 1.

Cette thèse revient à dire que tout élément de L commute avec tout élément de [H, K] ; puique [H, K] est engendré par les éléments [h, k] avec h dans H et k dans K, la thèse revient à dire que pour tout h dans H, pour tout k dans K et pour tout l dans L, [ [h, k], l] = 1.

D'après l'identité de Hall-Witt,

$(2)[[h,k],l{]}^{k^{-1}}[[k^{-1},l^{-1}],h{]}^l[[l,h^{-1}],k^{-1}{]}^h=1.$

D'après les hypothèses [ [K, L], H] = [ [L, H], K] = 1, nous avons $[[k^{-1},l^{-1}],h]=[[l,h^{-1}],k^{-1}]=1,$ d'où $[[k^{-1},l^{-1}],h{]}^l=[[l,h^{-1}],k^{-1}{]}^h=1,$ donc (2) donne $[[h,k],l{]}^{k^{-1}}=1,$ donc [ [h, k], l] = 1. Comme nous l'avons vu, cela prouve la thèse (1) dans le cas particulier où N = 1.

Passons au cas général. Désignons par p l'homomorphisme canonique de G sur G/N. Alors

[ [p(K), p(L)], p(H)] = p([ [K, L], H]).

Puisque [ [K, L], H] est supposé contenu dans N, le second membre est égal à {N}, autrement dit au sous-groupe de G/N réduit à l'élément neutre. Donc [ [p(K), p(L)], p(H)] est le sous-groupe de G/N réduit à l'élément neutre. De même, [ [p(L), p(H)], p(K)] est le sous-groupe de G/N réduit à l'élément neutre. D'après la première partie de la démonstration, [ [p(H), p(K)], p(L)] est le sous-groupe de G/N réduit à l'élément neutre. Autrement dit, [ [p(H), p(K)], p(L)] = {N}, ce qui revient à dire que [ [H, K], L] est contenu dans N. Le théorème est donc démontré.

Modèle:Théorème Démonstration. Puisque H, K et L sont supposés normaux dans G, [ [K, L], H] et [ [L, H], K] le sont aussi, donc [ [K, L], H] [ [L, H], K] est un sous-groupe normal de G. Comme il contient [ [K, L], H] et [ [L, H], K], il résulte du théorème des trois sous-groupes qu’il contient [ [H, K], L].

Ce corollaire du théorème des trois sous-groupes permet de démontrer certaines propriétés de la [[../Groupes nilpotents|suite centrale descendante]] d'un groupe.

Remarque. Si H, K et L sont des sous-groupes d'un groupe G, [ [H, K], L] n’est pas forcément égal au sous-groupe de G engendré par les éléments [ [h, k], l] avec h dans H, k dans K et l dans L. (Voir les exercices.)