Suites et séries de fonctions/Exercices/Suites de fonctions

Exercice 1-1

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie sur ${ℝ}_{+}$ par :

$f_n(x)=\frac{\sin nx}{n\sqrt{x}}$ si $x>0$ et $f_n(0)=0$.

Exercice 1-2

Construction de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler (version rectifiée et rédigée de celle du 15/01/2010 dans la leçon « Fonction exponentielle »).

Pour tout $x\in ℝ$ et tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, on pose

$u_n(x)={(1+\frac{x}{n})}^n$.

1. Démontrer que si $h>-1$ et $x>-n$, alors $u_{n+1}(x+h)\ge (1+h)u_n(x)$.
2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est simplement convergente.
3. Notons $\exp$ sa limite. Vérifier que $\exp (0)=1$.
4. Montrer que si $|h|<1$, alors
   $\mathrm{\forall }x\in ℝh\exp (x)\le \exp (x+h)-\exp (x)\le \frac{h}{1-h}\exp (x).$
5. En déduire que $\exp$ est dérivable et égale à sa dérivée.

Exercice 1-3

Soit $g:{ℝ}_{+}\to ℝ$ une fonction vérifiant les hypothèses suivantes :

• $g(0)=0$ ;
• $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }tg(t)=0$ ;
• l'intégrale impropre $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(t)\mathrm{d}t$ converge vers une valeur non nulle.

1. Montrer qu'il existe de telles fonctions.
2. Montrer que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie sur ${ℝ}_{+}$ par $u_n(x)=ng(nx)$ est simplement convergente.
3. Cette convergence est-elle uniforme au voisinage de $0$ ?

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