Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Explication de la résonance d'ondes stationnaires sur une corde de Melde en évaluant les réflexions sur la poulie et le vibreur sans ou avec cœfficients d'atténuation

Modèle:AlOn considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe $x^{\prime }x$ entre un vibreur $O$  engendrant un mouvement transversal $s_i(t)=a_0\cos (\omega t+{\phi }_0)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentune poulie $P$ sur laquelle la corde s'appuie pour retenir un objet de masse $m$ ,
Modèle:AlModèle:Transparentl'axe de la poulie étant situé à la distance $L$ du vibreur et la tension de la corde étant telle que son point de contact avec la poulie reste fixe ;

Modèle:Al$\succ$on se propose de prolonger l'étude du paragraphe « interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
Modèle:AlModèle:Transparentmontrant que l'onde réfléchie sur la poulie sans atténuation $(r)$ se superposant à l'onde incidente émise par le vibreur $(i)$ donne une onde résultante stationnaire $(1)$ $s_1(M,t)=$ $2a_0\sin (kx-kL)\sin (\omega t-kL+{\phi }_0)$
Modèle:AlModèle:Transparenten remarquant toutefois que cette onde ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $O$ , il est nécessaire d'envisager une réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $s_i(O,t)=a_0\cos (\omega t+{\phi }_0)$ ;

Modèle:Al$\succ$avec cette réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde $(r^{\prime })$ se propageant vers la poulie, onde $(r^{\prime })$ qui se réfléchit sur $P$ en une onde $(r^{″})$ revenant vers $O$ et la superposition des ondes $(r^{\prime })$ et $(r^{″})$ donne une nouvelle onde résultante stationnaire $(2)$ $s_2(M,t)$ qu'il conviendra d'évaluer mais
Modèle:AlModèle:Transparentla superposition des deux ondes stationnaires $s_1(M,t)+s_2(M,t)$ ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $O$, il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $s_i(O,t)=a_0\cos (\omega t+{\phi }_0)$ ;

Modèle:Al$\succ$avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde $(r^{‴})$ se propageant vers la poulie, onde $(r^{‴})$ qui se réfléchit sur $P$ en une onde $(r^{IV})$ revenant vers $O$ et la superposition des ondes $(r^{‴})$ et $(r^{IV})$ donne une nouvelle onde résultante stationnaire $(3)$ $s_3(M,t)$ qu'il conviendra d'évaluer mais
Modèle:AlModèle:Transparentla superposition des trois ondes stationnaires $s_1(M,t)+s_2(M,t)+s_3(M,t)$ ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $O$, il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $s_i(O,t)=a_0\cos (\omega t+{\phi }_0)$ ;

Modèle:Al$\succ$etc $\dots$

Modèle:AlLe but de cet exercice est de déterminer l'onde résultante, superposition des $n$ 1^ers couples de réflexions sur la poulie $P$ et le vibreur $O$ «$s_{\text{tot},n}=\sum _{q=1}^n{s}_q(M,t)$» où «$s_q(M,t)$ est l'onde stationnaire sinusoïdales superposant l'onde se propageant vers $P$ après $(q-1)$ réflexions sur $O$ et l'onde se propageant vers $O$ après $q$ réflexions sur $P$», puis
Modèle:AlModèle:Transparentde rechercher la condition de résonance d'une telle onde.

Modèle:AlNous ferons tout d'abord l'étude en considérant les réflexions parfaites $($c'est-à-dire sans atténuation de l'amplitude$)$ puis nous reprendrons l'étude
Modèle:AlModèle:Transparenten considérant que la réflexion sur $P$ se fait avec un cœfficient de réflexion $\rho$ et celle sur $O$ avec un cœfficient de réflexion ${\rho }^{\prime }$.

Étude du cas de réflexions parfaites sur la poulie et le vibreur

Rappel de la démarche

Modèle:AlRappeler la démarche permettant d'établir le « signal $s_{r^{\prime }}(M,t)$ au point $M$ et à l'instant $t$ de l'onde $(r^{\prime })$ réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur » à partir du
Modèle:AlModèle:Transparent« signal $s_r(M,t)$ au même point $M$ et au même instant $t$ de l'onde $(r)$ réfléchie sur la poulie ».

Expression de l'onde stationnaire, superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie (r’’) sur la poulie

Modèle:AlRemarquant que $s_{r^{\prime }}(M,t)$ se déduit de $s_i(M,t)$ par simple déphasage, déterminer $-$ sans calcul $-$ le signal de l'onde résultante, superposition de l'onde $(r^{\prime })$ et de sa réfléchie $(r^{″})$ sur la poulie, $s_2(M,t)=s_{r^{\prime }}(M,t)+s_{r^{″}}(M,t)$ à partir de l'expression de $s_1(M,t)$.

Itération du procédé

Modèle:AlItérer le procédé utilisé précédemment pour obtenir $s_q(M,t)$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $P$ après $(q-1)$ réflexions sur $O$ et l'onde se propageant vers $O$ après $q$ réflexions sur $P$ à partir de $s_1(M,t)$.

Expression de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

Modèle:AlExprimer le signal de l'onde résultante au point $M$ et à l'instant $t$, superposition des $n$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $n$ réflexions sur la poulie $P$ et $(n-1)$ sur le vibreur $O$ «$s_{\text{tot},n}(M,t)=\sum _{q=1}^n{s}_q(M,t)$» ;

Modèle:Alvérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$s_{\text{tot},n}(M,t)=2a_0\sin (kx-kL)\sum _{q=1}^n\sin (\omega t+{\phi }_q)$» ou
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_{\text{tot},n}(M,t)=S_n(t)\sin (kx-kL)$» en posant «$2a_0\sum _{q=1}^n\sin (\omega t+{\phi }_q)=S_n(t)$».

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

Modèle:AlDans le but d'évaluer $S_n(t)=2a_0\sum _{q=1}^n\sin (\omega t+{\phi }_q)$ nous introduisons la grandeur instantanée complexe $\underset{\_}{S_n}(t)=2a_0\sum _{q=1}^n\exp (i\omega t+{\phi }_q)$ dont $S_n(t)$ est la partie imaginaire, puis
Modèle:AlModèle:Transparentl'amplitude complexe $\underset{\_}{A_n}=2a_0\sum _{q=1}^n\exp (i{\phi }_q)$ telle que $\underset{\_}{S_n}(t)=\underset{\_}{A_n}\exp (i\omega t)$ ;

Modèle:Alvérifier que $\underset{\_}{A_n}$ est la « somme des $n$ 1^ers termes d'une suite géométrique » de 1^er terme $2a_0\exp (i{\phi }_1)$ et de raison $\exp [i({\phi }_2-{\phi }_1)]$ $\{$on explicitera le 1^er terme et la raison$\}$ ;

Modèle:AlModèle:Transparenten déduire une expression simplifiée de $\underset{\_}{A_n}$ puis

Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer son module $A_n$ et
Modèle:AlModèle:Transparentson argument ${\phi }_{\text{tot},n}$, dans le but de
Modèle:Alterminer l'évaluation de $S_n(t)=A_n\sin (\omega t+{\phi }_{\text{tot},n})$ et celle du signal $s_{\text{tot},n}$ de l'onde résultante $s_{\text{tot},n}(M,t)=S_n(t)\sin (kx-kL)$
Modèle:AlModèle:Transparent$=A_n\sin (kx-kL)\sin (\omega t+{\phi }_{\text{tot},n})$.

Étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

Modèle:AlVérifier que l'onde résultante de signal $s_{\text{tot},n}(M,t)$ obtenu dans la « solution de l'évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice,
Modèle:AlModèle:Transparentest effectivement stationnaire en déterminant la position des nœuds et des ventres puis
Modèle:AlModèle:Transparenten constatant que les points d'un même fuseau vibrent en phase,
Modèle:AlModèle:Transparentles points situés de part et d'autre d'un même nœud vibrant en opposition de phase ;

Modèle:AlModèle:Transparentexprimer l'amplitude aux ventres et
Modèle:AlModèle:Transparentvérifier que la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » correspond à l'annulation du dénominateur de l'amplitude aux ventres $\{$nous admettrons que ceci suffit à justifier le caractère « maximal »  de l'amplitude aux ventres$\}$.

Étude du cas où les réflexions sur la poulie et le vibreur se font respectivement avec un cœfficient de réflexion ρ et ρ'

Étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)

Modèle:AlÉtablir l'expression de l'onde réfléchie sur la poulie $(r)$ de signal $s_r(M,t)$ au point $M$ et à l'instant $t$ sachant que l'onde réfléchie $(r)$ en $P$ se déduit de l'onde incidente $(i)$ au même point $P$ par «$s_r(P,t)=-\rho s_i(P,t)$» puis

Modèle:Aldéterminer le signal $s_1(M,t)$ de l'onde résultante $(1)$, superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur $P$ et le mettre sous la forme
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_1(M,t)={𝒜}_1(x)\cos [\omega t+{\phi }_1(x)]$» en explicitant l'amplitude «${𝒜}_1(x)$» et la phase «${\phi }_1(x)$»  ;

Modèle:Alvérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, des ventres de vibration mais que
Modèle:AlModèle:Transparentles « nœuds sont remplacés par des positions de vibration d'amplitude minimale »  d'une part et que
Modèle:AlModèle:Transparentles points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase d'autre part.

Étude de l'onde réfléchie (r') sur le vibreur ainsi que de l'onde résultante (2), superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie sur la poulie (r")

Modèle:AlÉtablir l'expression de l'onde réfléchie sur le vibreur $(r^{\prime })$ de signal $s_{r^{\prime }}(M,t)$ au point $M$ et à l'instant $t$ sachant que l'onde réfléchie sur le vibreur $(r^{\prime })$ en $O$ se déduit de l'onde réfléchie sur la poulie $(r)$ au même point $O$ par «$s_{r^{\prime }}(O,t)=-{\rho }^{\prime }{s}_r(O,t)$» puis

Modèle:Alvérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur $(r^{\prime })$ se déduit de l'onde incidente $(i)$ en multipliant l'amplitude de vibration du vibreur $a_0$ par un facteur à préciser et
Modèle:AlModèle:Transparenten ajoutant à la phase initiale ${\phi }_0$ une valeur également à préciser ;

Modèle:Aldéterminer le signal $s_2(M,t)$ de l'onde résultante $(2)$, superposition de l'onde réfléchie sur le vibreur $(r^{\prime })$ de signal $s_{r^{\prime }}(M,t)$ et de sa réfléchie sur la poulie $(r^{″})$ de signal $s_{r^{″}}(M,t)$ c'est-à-dire
Modèle:AlModèle:Transparent$s_2(M,t)=s_{r^{\prime }}(M,t)+s_{r^{″}}(M,t)$ et le mettre sous la forme
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_2(M,t)={𝒜}_2(x)\cos [\omega t+{\phi }_2(x)]$» en explicitant l'amplitude «${𝒜}_2(x)$» et la phase «${\phi }_2(x)$»  ;

Modèle:Alvérifier que ${𝒜}_2(x)$ se déduit de ${𝒜}_1(x)$ par un facteur multiplicateur à préciser $\{$il existe donc, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des points de vibration d'amplitude minimale Modèle:Nobr substituant aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite$\left)\right\}$ et

Modèle:AlModèle:Transparentque ${\phi }_2(x)$ se déduit de ${\phi }_1(x)$ par un terme additif à préciser $\{$là encore les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase$\}$.

Itération du procédé

Modèle:AlItérer le procédé exposé précédemment pour obtenir $s_q(M,t)$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $P$ après $(q-1)$ réflexions sur $O$ et l'onde se propageant vers $O$ après $q$ réflexions sur $P$ à partir de $s_1(M,t)$.

Expression de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

Modèle:AlExprimer le signal de l'onde résultante au point $M$ et à l'instant $t$, superposition des $n$ 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires » successives après $n$ réflexions sur la poulie $P$ et $(n-1)$ sur le vibreur $O$ «$s_{\text{tot},n}(M,t)=\sum _{q=1}^n{s}_q(M,t)$» ;

Modèle:Alvérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$s_{\text{tot},n}(M,t)={𝒜}_1(x)\sum _{q=1}^n\{(\rho {\rho }^{\prime }{)}^{(q-1)}\cos [\omega t+{\phi }_1(x)-(q-1)2kL]\}$»
Modèle:AlModèle:Transparentdans laquelle ${𝒜}_1(x)$ et ${\phi }_1(x)$ sont respectivement l'amplitude et la phase initiale de l'onde « pseudo-stationnaire » $(1)$Modèle:,.

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

Modèle:AlPour évaluer $s_{\text{tot},n}(M,t)={𝒜}_1(x)\sum _{q=1}^n\{(\rho {\rho }^{\prime }{)}^{(q-1)}\cos [\omega t+{\phi }_1(x)-(q-1)2kL]\}$Modèle:, nous introduisons la grandeur instantanée complexe $\underset{\_}{s_{\text{tot},n}}(M,t)$ dont $s_{\text{tot},n}(M,t)$ est la partie réelle Modèle:Nobr telle que $s_{\text{tot},n}(M,t)=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{s_{\text{tot},n}}(M,t)]$, la grandeur instantanée complexe $\underset{\_}{s_{\text{tot},n}}(M,t)$ étant de forme suivante
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{\_}{s_{\text{tot},n}}(M,t)={𝒜}_1(x)\sum _{q=1}^n[(\rho {\rho }^{\prime }{)}^{(q-1)}\exp \left\{i[\omega t+{\phi }_1(x)-(q-1)2kL]\right\}]=\underset{\_}{A_n}(x)\exp (i\omega t)$Modèle:, dans laquelle $\underset{\_}{A_n}(x)$ est l'amplitude complexe associée de forme
Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{\_}{A_n}(x)={𝒜}_1(x)\exp [i{\phi }_1(x)]\sum _{q=1}^n\{(\rho {\rho }^{\prime }{)}^{(q-1)}\exp [-i(q-1)2kL]\}$Modèle:, ;

Modèle:AlModèle:Transparent$\underset{\_}{A_n}(x)$ étant $\propto$ à la « somme des $n$ 1^ers termes d'une suite géométrique » de 1^er terme et de raison à expliciter,
Modèle:AlModèle:Transparenten déduire une expression simplifiée de $\underset{\_}{A_n}(x)$ puis
Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer son module $A_n(x)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentson argument ${\phi }_{\text{tot},n}(x)$, dans le but de
Modèle:AlModèle:Transparentterminer l'évaluation de «$s_{\text{tot},n}(M,t)=A_n(x)\cos [\omega t+{\phi }_{\text{tot},n}(x)]$».

Modèle:AlVérifier que la position des points d'amplitude maximale $($c'est-à-dire la position des ventres$)$ $\{$préciser la valeur de l'amplitude aux ventres$\}$ ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentcelle des points d'amplitude minimale $($c'est-à-dire celle des « pseudo-nœuds »$)$ $\{$préciser la valeur de l'amplitude minimale$\}$
Modèle:AlModèle:Transparentsont les mêmes que celles obtenues dans le cas où les réflexions sont parfaites mais

Modèle:AlModèle:Transparentque l'onde résultante avec réflexions non parfaites ne peut être qualifiée de « stationnaire » car l'amplitude aux points d'amplitude minimale n'est pas nulle $($ce sont des « pseudo-nœuds »$)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentles points d'un « même fuseau » ne vibrent pas rigoureusement en phase d'où
Modèle:AlModèle:Transparentsa qualification de « pseudo-stationnaire ».

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites

Modèle:AlNous nous proposons de simplifier l'expression de $s_{\text{tot},n}=A_n(x)\cos [\omega t+{\phi }_{\text{tot},n}(x)]$ dans la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les $n$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions parfaites sur le vibreur et n sur la poulie » en admettant que cette condition traduit, dans le cas de réflexions non parfaites, une « hypothétique résonance » ;

Modèle:AlModèle:Transparentsimplifier l'expression de l'amplitude $A_n(x)$ de l'onde résultante superposant les $n$ 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après $(n-1)$ réflexions sur le vibreur et $n$ sur la poulie dans la « condition d'hypothétique résonance » et

Modèle:AlModèle:Transparentcelle de la phase ${\phi }_{\text{tot},n}(x)$ de cette onde résultante superposant les $n$ 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après $(n-1)$ réflexions sur le vibreur et $n$ sur la poulie dans cette même « condition d'hypothétique résonance » puis

Modèle:AlModèle:Transparentréécrire l'expression de $s_{\text{tot},n}$ dans cette même « condition d'hypothétique résonance ».

Étude de l'onde résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites

Modèle:AlAyant vérifié, dans la solution de la question « évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice,
Modèle:AlModèle:Transparentl'existence, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des « pseudo-nœuds » remplaçant les nœuds de l'onde résultante dans le cas de réflexions parfaites d'une part, et
Modèle:AlModèle:Transparentque les points d'un même « fuseau » $($limité par deux « pseudo-nœuds » consécutifs$)$ ne vibrent pas rigoureusement en phase d'autre part,

Modèle:Alpréciser l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds » dans la « condition d'hypothétique résonance » $[$c'est-à-dire la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les $n$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $(n-1)$ réflexions parfaites sur le vibreur et $n$ sur la poulie »$]$ et

Modèle:AlModèle:Transparentleur limite respective quand le nombre $n$ de réflexions sur la poulie est très grand $($théoriquement infini$)$.

Évaluation des cœfficients de réflexion sur la poulie et sur le vibreur

Modèle:AlExpérimentalement la mesure de l'« amplitude aux ventres » donnant la valeur de «$10a_0$» et
Modèle:AlModèle:Transparentcelle de l'« amplitude aux “ pseudo-nœuds ” » la valeur de «$\frac{a_0}{2}$»,

Modèle:AlModèle:Transparenten déduire les valeurs des cœfficients de réflexion $\rho$ sur la poulie et ${\rho }^{\prime }$ sur le vibreur ;

Modèle:Alcommenter en précisant la puissance renvoyée par la réflexion sur la poulie ou sur le vibreur sachant que la puissance transportée par une onde progressive est $\propto$ au signal de cette onde.

Étude des modes propres d'une corde de Melde

Étude théorique

Modèle:AlDans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur, relié à l'extrémité $O$ de la corde, effectue des oscillations verticales sinusoïdales d'amplitude $a$, «$\xi (\text{vibreur},t)=a\cos (\omega t)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentla corde, dans sa position de repos, est horizontale, de longueur $L$, de masse linéique $\mu$, fixée à l'autre extrémité et de tension $T_0$, son point générique étant d'abscisse $x$ repérée à partir de $O$ choisi comme origine de l'axe confondu avec la position de repos de la corde et orienté vers l'extrémité fixe de celle-ci.

Déplacement instantané en tout point de la corde

Modèle:AlDéterminer le déplacement $\xi (x,t)$ de tout point $M$ d'abscisse $x$ de la corde à l'instant $t$.

Valeurs de fréquences de résonance

Modèle:AlDéterminer les valeurs des fréquences de résonance ;

Modèle:Alinterpréter et commenter ce phénomène de résonance ;

Modèle:Alquels seraient les fréquences propres ainsi que les modes propres associés à une corde identique $($c'est-à-dire de même longueur, même masse linéique et même tension$)$ fixée aux deux extrémités ?

Étude expérimentale

Modèle:AlDans une expérience de Melde, on suspend un solide de masse $m$ à l'extrémité initialement attachée et qui passe maintenant dans la gorge d'une poulie, on trouve alors les résultats suivants :
Modèle:AlModèle:Transparentpour une même longueur $L$ de la corde et une même masse $m$ de solide accroché à celle-ci, on a une fréquence de résonance de $38Hz$ pour deux fuseaux et
Modèle:AlModèle:Transparentde $57Hz$ pour trois fuseaux.

Autres valeurs de fréquences de résonance

Modèle:AlLes valeurs numériques des fréquences de résonance observées sont-elles compatibles entre elles ?

Modèle:AlDans le cas d'une réponse positive, préciser les valeurs de fréquences de résonance suivantes.

Détermination de la célérité de propagation des ondes sur cette corde

Modèle:AlLa longueur de la corde étant $L=116cm$, en déduire la célérité $c$ de propagation d'une perturbation sur cette corde.

Détermination de la masse linéique de cette corde

Modèle:AlLa masse du solide accroché à la corde étant $m=100g$, préciser la tension de la corde puis

Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer un ordre de grandeur de la masse linéique de cette corde.

Modèle:AlRappel : on démontre que la célérité de propagation des ondes sur une corde $c$ ne dépend que de la masse linéique $\mu$ et de la tension $T$ de cette corde selon «$c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$».

Anharmonicité d'une corde de piano

Modèle:AlNous nous intéressons aux modes propres d'une corde de piano de longueur $L$, fixée en ses deux extrémités et
Modèle:AlModèle:Transparentsupposons que les pulsations spatiale $k$ et temporelle $\omega$ d'une onde se propageant le long de cette corde sont liées par «$\omega =ck\sqrt{1+\alpha k^2}$» où «$c$ et $\alpha$ dépendent de la matière composant la corde, de la section de cette dernière et de sa tension mais pas de sa longueur $L$» $($le « cœfficient $\alpha$ étant dû à la raideur de la corde »$)$.

Détermination des unités de c et α par considérations dimensionnelles

Modèle:AlDéterminer, par considérations dimensionnelles, les unités de $c$ et $\alpha$ de la relation «$\omega =ck\sqrt{1+\alpha k^2}$» dans laquelle $k$ et $\omega$ sont respectivement les pulsations spatiale et temporelle d'une onde transversale se propageant le long de la corde considérée puis,

Modèle:Alcommenter les résultats obtenus.

Détermination des valeurs possibles de pulsation spatiale et de fréquence (temporelle) lors de l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde envisagée

Modèle:AlSupposant une onde stationnaire établie le long de la corde considérée, déterminer les « valeurs possibles de pulsation spatiale $k$» et

Modèle:AlModèle:Transparentpréciser les « fréquences $($temporelles$)$ correspondantes $f$ en fonction, entre autres, de $c$, $\alpha$ et $L$».

Anharmonicité des cordes de piano quand celles-ci ont de la raideur et méthode pour diminuer leur anharmonicité

Modèle:AlD'après les valeurs possibles de fréquence $($temporelle$)$ d'une corde de piano ayant de la raideur, nous constatons que la fréquence d'un harmonique de rang non unitaire n'est pas multiple de la fréquence fondamentale, on parle alors d'« anharmonicité », cette dernière altérant la qualité du son ;

Modèle:Alexpliquer pourquoi, allonger les cordes d'un piano, permet d'améliorer la qualité du son qu'elle engendre.

Fréquences propres d'un tuyau sonore

Modèle:AlLa colonne d'air contenue dans un instrument à vent $($flûte, clarinette $\dots )$ ou dans un tuyau d'orgue vibre selon des « modes propres correspondant à des C.A.L. données » ; dans une modélisation très simple on envisage deux types de conditions suivant que l'extrémité est ouverte ou fermée.

C.A.L. sur la surpression acoustique de la colonne d'air suivant la nature « ouverte ou fermée » de l'extrémité considérée

Modèle:AlRappelez la C.A.L. sur la surpression acoustique de la colonne d'air suivant la nature « ouverte ou fermée » de l'extrémité considérée.

Modes propres de vibration d'une colonne d'air de longueur fixée et de célérité de propagation des vibrations connue

Modèle:AlNous étudions les modes propres de vibration dans un tuyau de longueur «$L$» fixée dans lequel la célérité de propagation des ondes est «$c$» connue.

Détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsque ses deux extrémités sont ouvertes

Modèle:AlDéterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsque ses deux extrémités sont ouvertes puis

Modèle:Alreprésenter schématiquement la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang $3$».

Détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte

Modèle:AlDéterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte puis

Modèle:Alreprésenter schématiquement la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang $5$» $($justifier cette dernière assertion$)$.

Étude de grandes orgues

Modèle:AlSachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur d'onde d'un son de fréquence «$32,7Hz$», correspondant au « Do⁰ »,
Modèle:AlModèle:Transparenten prenant la valeur de la célérité du son à $0\text{°C}$ dans l'air égale à «$c=331m\cdot s^{-1}$» ainsi que

Modèle:AlModèle:Transparentla longueur minimale du tuyau produisant cette note.

Modélisation d'une clarinette

Modèle:AlNous supposons qu'une clarinette peut être modélisée très grossièrement par un tube fermé au niveau de l'embouchure et ouvert à son autre extrémité de l'instrument.

Recherche des harmoniques sonores produits par une clarinette

Modèle:AlExpliquer pourquoi le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques de rang impair.

Influence d'une « clé de douzième » sur les fréquences propres sonores émises par une clarinette

Modèle:AlToute clarinette est munie d'une « clé de douzième » ouvrant un trou situé à «$\frac{L}{3}$» de l'embouchure.

Modèle:AlQuelles sont dans ce cas, les longueurs d'ondes des modes propres du tuyau modélisant la clarinette entre embouchure et « clé de douzième » ?

Modèle:AlQuel est l'effet de l'ouverture du trou sur la fréquence du son émis par l'instrument $($faire une application numérique en considérant une « clarinette en si bémol » de longueur «$L=71cm$» de façon à comparer concrètement la fréquence émise lorsque le trou est ouvert à celle émise lorsqu'il est bouché$)$ ?