Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde

Dispositif expérimental de l'observation d'ondes stationnaires par expérience de corde de Melde

Modèle:AlLa corde de Melde est une corde usuellement « horizontale »  tendue, longue de $1,50m$ à $2,00m$, dont une de ses extrémités est reliée à un vibreur électrique alimenté par un « générateur B.F. »  et dont l'autre extrémité est fixe ou, après passage dans la gorge d'une poulie, retient un objet en suspension dans l'air, le poids de l'objet « créant la tension de la corde et étant suffisant pour que l'on puisse considérer que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe »  ;

Modèle:Alcette expérience initiée par le physicien allemand « Franz Melde » dans le « courant du XIX^ème siècle » a mis en évidence l'existence d'ondes stationnaires produites sur une corde de Melde c.-à-d. tendue et reliée à un vibreur électrique.

Modèle:AlPour une longueur de corde ni « trop longue »  ni « trop courte » , on a superposition de l'onde incidente créée par le vibreur « se propageant de la gauche vers la droite » et d'une 1^ère onde « réfléchie sur la poulie quasi-fixe » « se propageant de la droite vers la gauche » .

Modèle:AlOn observe, en éclairage normal $($voir ci-dessous$)$ :

• des points de la corde ne vibrant pas $($appelés nœuds de vibration$)$ et
• entre ces points, des fuseaux de vibration correspondant à des points vibrant en phase avec une amplitude de vibration plus ou moins grande,
• les points ayant une amplitude de vibration maximale $($appelés ventres de vibration$)$ étant au milieu des fuseaux.

Observation d'ondes stationnaires en éclairage normal sur corde de Melde

Modèle:AlEn éclairage stroboscopique avec une fréquence égale à celle du vibreur $($voir ci-dessous$)$, on voit la corde « apparemment immobile » et quand on choisit une fréquence voisine de celle du vibreur, on perçoit alors la corde en mouvement apparent très lent ; on constate que :

• les points d'un même fuseau vibrent en phase alors que,
• les points situés de part et d'autre d'un nœud vibrent en opposition de phase ;

Observation d'ondes stationnaires en éclairage stroboscopique sur corde de Melde

Modèle:Alces dernières propriétés justifient le qualificatif « stationnaire » donné à l'onde car la phase s'écrit $\omega t+\phi$ où $\phi$ne dépend pas explicitement de$x$ contrairement à une onde « progressive » où la phase est $\omega t+\phi (x)$ avec $\phi (x)=\mp kx+\phi (0)$.

Caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres

Modèle:AlComme on l'a vu au paragraphe « observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde » plus haut dans ce chapitre
Modèle:AlModèle:Transparent« une onde sinusoïdale est stationnaire si la phase s'écrit $\omega t+\phi$ avec $\phi$ ne contenant pas le terme $\mp kx$ caractéristique d'une propagation ».

Détermination de la position des nœuds

Modèle:Al« Chaque nœud $N_m$ est caractérisé par $\cos (k{x}_{N_m}+\psi )=0$», c.-à-d. «$k{x}_{N_m}+\psi \equiv \frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}\pi )$ $\iff$ $k{x}_{N_m}+\psi =\frac{\pi }{2}+m\pi ,m\in \mathbb{Z}$» soit,
Modèle:AlModèle:Transparenten utilisant $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ et après quelques simplifications élémentaires, par «$x_{N_m}=-\frac{\psi \lambda }{2\pi }+\frac{\lambda }{4}+m\frac{\lambda }{2},m\in \mathbb{Z}$» ; on en déduit donc que : Modèle:Proposition

Détermination de la position des ventres

Modèle:Al« Chaque ventre $V_m$ est caractérisé par $\cos (k{x}_{V_m}+\psi )=\pm 1$», c.-à-d. «$k{x}_{V_m}+\psi \equiv 0(\mathrm{mod}\pi )$ $\iff$ $k{x}_{V_m}+\psi =m\pi ,m\in \mathbb{Z}$» soit,
Modèle:AlModèle:Transparenten utilisant $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ et après quelques simplifications élémentaires, par «$x_{V_m}=-\frac{\psi \lambda }{2\pi }+m\frac{\lambda }{2},m\in \mathbb{Z}$» ; on en déduit donc que : Modèle:Proposition

Établissement de la propriété de phase des points d'un même fuseau

Modèle:AlLes points situés entre les nœuds $N_m$ et $N_{(m+1)}$, $m\in \mathbb{Z}$ sont d'abscisses $x$ telles que $x_{N_m}<x<x_{N_{(m+1)}}$ ou, en explicitant les abscisses des nœuds,
Modèle:AlModèle:Transparent$-\frac{\psi \lambda }{2\pi }+\frac{\lambda }{4}+m\frac{\lambda }{2}<x<-\frac{\psi \lambda }{2\pi }+\frac{\lambda }{4}+(m+1)\frac{\lambda }{2}$ $\Rightarrow$ avec $kx+\psi =\frac{2\pi }{\lambda }x+\psi$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\frac{\pi }{2}+m\pi <kx+\psi <\frac{\pi }{2}+(m+1)\pi$ d'où le « signe de $\cos (kx+\psi )$ selon la parité de $|m|$» :

• « si $|m|$est impair », $\cos (kx+\psi )$ est $>0$, l'« amplitude de vibration du point s'écrit alors $A\cos (kx+\psi )$» et
  Modèle:Transparentla « phase initiale étant $($pour tous les points de cet intervalle$)$ $\phi$», les points de ce fuseau vibrent tous en phase ;
• « si $|m|$est pair ou nul », $\cos (kx+\psi )$ est $<0$, l'« amplitude de vibration du point s'écrit alors $-A\cos (kx+\psi )$» et
  Modèle:Transparentla « phase initiale étant $($pour tous les points de cet intervalle$)$ égale à $\phi +\pi$», les points de ce fuseau vibrent tous en phase.

Établissement de la propriété d'opposition de phase des points de part et d'autre d'un même nœud

Modèle:AlLes points situés de part et d'autre du nœud $N_m$, $m\in \mathbb{Z}$, sont d'abscisses $x$ telles que $\left\{\begin{array}{ccc}{x}_{N_m}& <x<& x_{N_{(m+1)}}\\ x_{N_{(m-1)}}& <x<& x_{N_m}\end{array}\right\}$ ou, en explicitant les abscisses des nœuds,
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccc}-\frac{\psi \lambda }{2\pi }+\frac{\lambda }{4}+m\frac{\lambda }{2}& <x<& -\frac{\psi \lambda }{2\pi }+\frac{\lambda }{4}+(m+1)\frac{\lambda }{2}\\ -\frac{\psi \lambda }{2\pi }+\frac{\lambda }{4}+(m-1)\frac{\lambda }{2}& <x<& -\frac{\psi \lambda }{2\pi }+\frac{\lambda }{4}+m\frac{\lambda }{2}\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ avec $kx+\psi =\frac{2\pi }{\lambda }x+\psi$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\pi }{2}+m\pi & <kx+\psi <& \frac{\pi }{2}+(m+1)\pi \\ \frac{\pi }{2}+(m-1)\pi & <kx+\psi <& \frac{\pi }{2}+m\pi \end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ « lors du passage du 1^er encadrement au 2^nd un changement de signe de $\cos (kx+\psi )$, le signe de ce derneir dépendant de la parité de $|m|$» :

• « si $|m|$est impair », les « points situés à droite du nœud $N_m$ étant tels que $A\cos (kx+\psi )$ est $>0$, vibrent en phase entre eux avec une phase initiale $\phi$» et
  Modèle:Transparentles « points situés à gauche du nœud $N_m$ étant tels que $A\cos (kx+\psi )$ est $<0$, vibrent en phase entre eux avec une phase initiale $\phi +\pi$» soit
  Modèle:Transparenten opposition de phase avec les précédents ;
• « si $|m|$est pair ou nul », les « points situés à droite du nœud $N_m$ étant tels que $A\cos (kx+\psi )$ est $<0$, vibrent en phase entre eux avec une phase initiale $\phi +\pi$» et
  Modèle:Transparentles « points situés à gauche du nœud $N_m$ étant tels que $A\cos (kx+\psi )$ est $>0$, vibrent en phase entre eux avec une phase initiale $\phi$» soit
  Modèle:Transparenten opposition de phase avec les précédents.

Interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe

Schéma explicatif pour traiter la superposition, sur une corde de Melde, d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

Modèle:AlOn considère une onde incidente progressive sinusoïdale de fréquence $f$ et d'amplitude $a_0$ créée par le vibreur en $O$, correspondant à
Modèle:AlModèle:Transparentune « élongation transversale $s_i(0,t)=$ $a_0\cos (\omega t+{\phi }_0)$», se propageant dans le sens des $x\nearrow$ avec un « vecteur d'onde ${\overrightarrow{k}}_i=k{\overrightarrow{u}}_x$ où $k=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$ est la pulsation spatiale » $(c$ et $\lambda$ étant respectivement la célérité de propagation et la longueur d'onde de l'onde incidente$)$ d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'« expression de l'onde incidente au point $M$ d'abscisse $x$ et à l'instant $t$, $s_i(x,t)=s_i(0,t-\frac{x}{c})=a_0\cos [\omega (t-\frac{x}{c})+{\phi }_0]=a_0\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$» ;

Modèle:Alarrivant en $P$ d'abscisse $L$, l'« onde incidente $s_i(L,t)=a_0\cos (\omega t-kL+{\phi }_0)$ n'étant pas identiquement nulle se réfléchit » de façon à ce que l'onde résultante en $P$ le soit c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent« il se crée, en $P$, une perturbation réfléchie $s_r(L,t)=-s_i(L,t)=$ $-a_0\cos (\omega t-kL+{\phi }_0)$», perturbation qui se propage dans le sens des $x\searrow$ avec un « vecteur d'onde ${\overrightarrow{k}}_r=-k{\overrightarrow{u}}_x$ où $k$ est la même pulsation spatiale » ;
Modèle:AlModèle:Transparenton en déduit l'« expression de l'onde réfléchie au point $M$ à l'instant $t$, $s_r(x,t)=s_r(P,t-\frac{L-x}{c})$ soit encore
Modèle:AlModèle:Transparent$s_r(x,t)=-a_0\cos [\omega (t-\frac{L-x}{c})-kL+{\phi }_0]=-a_0\cos (\omega t+kx-2kL+{\phi }_0)$» ;

Modèle:All'« onde résultante en $M$ d'abscisse $x$ et à la date $t$ s'écrivant $s_{\text{tot}}(x,t)=s_i(x,t)+s_r(x,t)$», peut être obtenue par emploi des formules de trigonométrie,
Modèle:AlModèle:Transparentconstruction d'un diagramme de Fresnel à l'instant $0$ ou
Modèle:AlModèle:Transparentsomme d'amplitudes complexes des grandeurs instantanées complexes.

Détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie

Modèle:AlL'« onde résultante en

$M$

d'abscisse

$x$

et à la date

$t$

s'écrivant

$s_{\text{tot}}(x,t)=s_i(x,t)+s_r(x,t)=a_0[\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)-\cos (\omega t+kx-2kL+{\phi }_0)]$

» se transforme en utilisant la formule de trigonométrie transformant une différence de cosinus en un produit de sinus «

$\cos (p)-\cos (q)=-2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)$

» selon
Modèle:AlModèle:Transparent

$s_{\text{tot}}(x,t)=-2a_0\sin (\omega t-kL+{\phi }_0)\sin (-kx+kL)$

et
Modèle:Alfinalement l'expression de l'onde résultante en

$M$

d'abscisse

$x$

et à la date

$t$

peut être réécrite sous forme d'une onde stationnaire selon

«$s_{\text{tot}}(x,t)=2a_0\sin (\omega t-kL+{\phi }_0)\sin (kx-kL)$» ;

Modèle:Alon reconnaît une onde stationnaire sinusoïdale «

$s_{\text{tot}}(x,t)=A\cos (\omega t+\phi )\cos (kx+\psi )$

» et on peut préciser les trois constantes

$A$

,

$\phi$

et

$\psi$

en utilisant la « formule de trigonométrie

$\sin (\theta )=$ $\cos (\theta -\frac{\pi }{2})$

»

$\Rightarrow$

la réécriture du signal résultant selon «

$s_{\text{tot}}(x,t)=2a_0\cos (\omega t-kL+{\phi }_0-\frac{\pi }{2})\cos (kx-kL-\frac{\pi }{2})$

» s'identifiant effectivement à

«$s_{\text{tot}}(x,t)=A\cos (\omega t+\phi )\cos (kx+\psi )$»
avec «$A=2a_0$»,Modèle:Al
Modèle:Al«$\phi =-kL+{\phi }_0-\frac{\pi }{2}$» $($indépendant de $x)$ et
Modèle:Al«$\psi =-kL-\frac{\pi }{2}$» $($indépendant de $t)$.

Détermination de l'onde résultante par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes

Modèle:AlÀ l'« onde incidente progressive sinusoïdale $s_i(x,t)=a_0\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$» on associe la « grandeur instantanée complexe incidente $\underset{\_}{s_i}(x,t)=a_0\exp [i(-kx+{\phi }_0)]\exp \left(i\omega t\right)$
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{\_}{{𝒜}_i}(x)\exp \left(i\omega t\right)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparentl'« amplitude complexe incidente $\underset{\_}{{𝒜}_i}(x)$ égale à $\underset{\_}{{𝒜}_i}(x)=a_0\exp [i(-kx+{\phi }_0)]$» ; de même

Modèle:Alà l'« onde réfléchie $s_r(x,t)=-a_0\cos (\omega t+kx-2kL+{\phi }_0)$» on associe la « grandeur instantanée complexe réfléchie $\underset{\_}{s_r}(x,t)=-a_0\exp [i(kx-2kL+{\phi }_0)]\exp \left(i\omega t\right)$
Modèle:AlModèle:Transparent$=\underset{\_}{{𝒜}_r}(x)\exp \left(i\omega t\right)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparentl'« amplitude complexe réfléchie $\underset{\_}{{𝒜}_r}(x)$ égale à $\underset{\_}{{𝒜}_r}(x)=-a_0\exp [i(kx-2kL+{\phi }_0)]$» ;

Modèle:Alà l'« onde résultante $s_{\text{tot}}(x,t)=s_i(x,t)+s_r(x,t)$» on associe la « grandeur instantanée complexe $\underset{\_}{s_{\text{tot}}}(x,t)=\underset{\_}{s_i}(x,t)+\underset{\_}{s_r}(x,t)=\underset{\_}{{𝒜}_i}(x)\exp \left(i\omega t\right)+\underset{\_}{{𝒜}_r}(x)\exp \left(i\omega t\right)$
Modèle:AlModèle:Transparent$=[\underset{\_}{{𝒜}_i}(x)+\underset{\_}{{𝒜}_r}(x)]\exp \left(i\omega t\right)=\underset{\_}{{𝒜}_{\text{tot}}}(x)\exp \left(i\omega t\right)$» avec
Modèle:AlModèle:Transparentl'« amplitude complexe résultante $\underset{\_}{{𝒜}_{\text{tot}}}(x)=\underset{\_}{{𝒜}_i}(x)+\underset{\_}{{𝒜}_r}(x)=a_0\exp [i(-kx+{\phi }_0)]-a_0\exp [i(kx-2kL+{\phi }_0)]$»
Modèle:AlModèle:Transparent$=a_0\exp [i(-kL+{\phi }_0)]\{\exp [i(-kx+kL)]-\exp [i(kx-kL)]\}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$=a_0\exp [i(-kL+{\phi }_0)][2i\sin (-kx+kL)]$» en transformant la somme des termes entre crochets par utilisation de la « formule d'Euler relative au sinus »  d'où finalement
Modèle:AlModèle:Transparentl'« amplitude complexe résultante $\underset{\_}{{𝒜}_{\text{tot}}}(x)=2a_0\exp \left[i(-kL+{\phi }_0-\frac{\pi }{2})\right]\sin [k(x-L)]$» $\Rightarrow$ la réécriture de

Modèle:AlModèle:Transparentla « grandeur instantanée complexe résultante $\underset{\_}{s_{\text{tot}}}(x,t)=\underset{\_}{{𝒜}_{\text{tot}}}(x)\exp \left(i\omega t\right)$
Modèle:AlModèle:Transparent$=2a_0\sin [k(x-L)]\exp \left[i(\omega t-kL+{\phi }_0-\frac{\pi }{2})\right]$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparentl'« onde résultante $s_{\text{tot}}(x,t)=\mathrm{\Re }[\underset{\_}{s_{\text{tot}}}(x,t)]=2a_0\sin [k(x-L)]\cos (\omega t-kL+{\phi }_0-\frac{\pi }{2})$» qui peut être réécrite
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_{\text{tot}}(x,t)=2a_0\sin [k(x-L)]\sin (\omega t-kL+{\phi }_0)$».

Détermination de l'onde résultante par diagramme de Fresnel

Diagramme de Fresnel résolvant la superposition, sur une corde de Melde, d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

Modèle:AlOn représente le « vecteur de Fresnel associé à l'onde incidente au point $M$ et à l'instant $0$ $\overrightarrow{S_i}(0)$» de norme $a_0$ et faisant l'angle ${\phi }_i=-kx+{\phi }_0$ avec l'axe de référence $\overrightarrow{Ox}$ $($voir ci-contre$)$ et
Modèle:AlModèle:Transparentle « vecteur de Fresnel associé à l'onde réfléchie au point $M$ et à l'instant $0$ $\overrightarrow{S_r}(0)$» de norme $a_0$, faisant l'angle ${\phi }_r=kx-2kL+{\phi }_0+\pi$ avec le même axe de référence $\overrightarrow{Ox}$ $($voir ci-contre$)$ ;

Modèle:Alconstruisant la somme de ces deux vecteurs de Fresnel par « règle du parallélogramme » on obtient le « vecteur de Fresnel au point $M$ et à l'instant $0$ associé à l'onde résultante, $\overrightarrow{S_{\text{tot}}}(0)$» $[\ne \overrightarrow{0}$ si la détermination $($principale$)$ de $|{\phi }_r-{\phi }_i|\ne \pi$ $\iff$ la détermination $($principale$)$ de ${\alpha }_{\text{tot}}=\left|\frac{{\phi }_r-{\phi }_i}{2}\right|\ne \frac{\pi }{2}]$ :

• faisant l'angle «${\phi }_{\text{tot}}=\frac{{\phi }_i+{\phi }_r}{2}$ avec $\overrightarrow{Ox}$ si la détermination $($principale$)$ de ${\alpha }_{\text{tot}}=\left|\frac{{\phi }_r-{\phi }_i}{2}\right|$ est aigüe Modèle:Nobr ci-contre$)$ » et
  Modèle:Transparent«${\phi }_{\text{tot}}=\frac{{\phi }_i+{\phi }_r}{2}\pm \pi$ avec $\overrightarrow{Ox}$ si la détermination $($principale$)$ de ${\alpha }_{\text{tot}}=\left|\frac{{\phi }_r-{\phi }_i}{2}\right|$ est obtuse »,
• la norme se déterminant par $\Vert \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(0)\Vert =\left\{\begin{array}{c}2a_0\cos \left(\frac{{\phi }_r-{\phi }_i}{2}\right)\text{si}{\alpha }_{\text{tot}}\text{est aigu (cas de la figure)}\\ 2a_0\cos (\pi -\frac{{\phi }_r-{\phi }_i}{2})\text{si}{\alpha }_{\text{tot}}\text{est obtus (non représenté)}\end{array}\right\}$ soit finalement «$\Vert \overrightarrow{S_{\text{tot}}}(0)\Vert =2a_0|\cos \left(\frac{{\phi }_r-{\phi }_i}{2}\right)|$» ;

Modèle:Aldans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit «$s_{\text{tot}}(x,t)=2a_0\cos \left(\frac{{\phi }_r-{\phi }_i}{2}\right)\cos (\omega t+\frac{{\phi }_i+{\phi }_r}{2})$» ou, en remplaçant ${\phi }_i$ et ${\phi }_r$ par leurs expressions
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_{\text{tot}}(x,t)=2a_0\cos (kx-kL+\frac{\pi }{2})\cos (\omega t-kL+{\phi }_0+\frac{\pi }{2})$».

Conditions de résonance de l'onde stationnaire sinusoïdale, modes propres associés, lien entre fréquences propres, célérité et longueur de la corde

Observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée

Modèle:AlDans la mesure où le point de contact de la corde avec la poulie peut être considéré comme fixe, la « tension de la corde $T$ est égale au poids de l'objet de masse $m$ suspendu à la corde » ou encore Modèle:Nobr par exemple une masse $m=100g=0,100kg$ avec $g=9,81m\cdot s^{-2}$ correspond à une « tension $T=0,981N$» ;
Modèle:Alsi on utilise une corde de masse linéique $\mu$ $($par exemple une corde en nylon $\mu =1,0g\cdot m^{-1}=1,010^{-3}kg\cdot m^{-1})$, on démontre que la célérité de propagation des ondes sur cette corde ne dépend que de la masse linéique et de la tension de la corde selon «$c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$» et ainsi, pour une tension de corde fixée, la célérité l'est aussi :
Modèle:Alavec les valeurs précédentes on trouve «$c=\sqrt{\frac{0,981}{1,010^{-3}}}\simeq 31,3m\cdot s^{-1}$».

Vibrations d'une corde de Melde dans ses modes propres associés à ses fréquences propres

Modèle:AlRéglant une longueur de corde $L$ entre le vibreur et la poulie, par exemple $L=1,00m$, et faisant croître la fréquence de vibration, on observe successivement :

• à partir de $10Hz$ des ondes stationnaires sinusoïdales à un fuseau avec une « amplitude au ventre qui devient maximale »  pour «$f_1\simeq 15,5Hz$» puis qui $\searrow$ avec « estompage » du phénomène d'ondes stationnaires ;
• aux alentours de $25Hz$ un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à deux fuseaux s'installe avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «$f_2\simeq 31,0Hz$» puis qui $\searrow$ avec « évaporation » du phénomène d'ondes stationnaires ;
• aux alentours de $40Hz$ de nouveau un système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais à trois fuseaux apparaît avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «$f_3\simeq 46,5Hz$» puis qui $\searrow$ avec « assèchement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
• aux alentours de $55Hz$ un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à quatre fuseaux se révèle avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «$f_4\simeq 62,0Hz$» puis qui $\searrow$ avec « tarissement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
• etc $\dots$ on observe ainsi l'apparition d'un phénomène de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à un nombre de plus en plus grand de fuseaux pour des fréquences de plus en plus grandes par exemple une résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à $n$ fuseaux avec $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ pour une fréquence «$f_n\simeq n\times 15,5Hz$» ;

Modèle:Altoutes ces fréquences correspondent aux « fréquences propres »  de vibration de la corde, la forme correspondante de cette dernière pour une fréquence propre donnée définissant le « mode propre » de vibration associé à cette fréquence propre.

Interprétation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées pour des fréquences particulières

Modèle:Al$\succ$Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « incidente » $(i)$ se propageant dans le sens des $x\nearrow$, qui se réfléchit sur la poulie engendrant
Modèle:Al$\succ$Modèle:Transparentune onde progressive sinusoïdale « réfléchie » $(r)$ se propageant dans le sens des $x\searrow$, onde réfléchie considérée de même amplitude que l'onde incidente ;
Modèle:Al$\succ$la superposition de ces deux ondes $(i)$ et $(r)$ $[$à l'exclusion de toutes autres$]$ donne un système d'ondes stationnaires sinusoïdales $(a)$ dont l'amplitude de vibration aux ventres est$2a_0$ avec $a_0$ amplitude de vibration du vibreur  ;

Modèle:Al$\succ$s'il n'y avait que ces deux ondes il serait impossible d'expliquer le phénomène de résonance du système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais, en pratique, les réflexions se poursuivant à chaque Modèle:Nobr il y a théoriquement un nombre infini d'ondes se superposant $($chaque onde étant supposée de même amplitude $a_0$$)\dots$

Modèle:Al$\succ$Avec une 1^ère réflexion sur le vibreur et une 2^nde sur la poulie : l'onde « réfléchie » sur la poulie $(r)$ se réfléchit en arrivant sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » $(r^{\prime })$ se propageant dans le sens des $x\nearrow$, déphasée par rapport à l'onde « incidente » $(i)$ de la quantité «${\phi }_{(r^{\prime })}-{\phi }_{(i)}=-k2L+2\pi$»,
Modèle:Al$\succ$Modèle:Transparentcette dernière onde $(r^{\prime })$ se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde $(r^{″})$ se propageant dans le sens des $x\searrow$, déphasée par rapport à $(r)$ $[$la 1^ère onde réfléchie sur la poulie$]$ de «${\phi }_{(r^{″})}-{\phi }_{(r)}=-k2L+2\pi$» ;
Modèle:Al$\succ$Modèle:Transparentla superposition de ces deux ondes $(r^{\prime })$ et $(r^{″})$ donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales$(b)$dont l'amplitude de vibration aux ventres est$2a_0$ $($en absence d'amortissement$)$ avec $a_0$ amplitude de vibration du vibreur mais,

Modèle:Al$\succ$Modèle:Transparentle système d'ondes stationnaires sinusoïdales $(b)$ étant « déphasé relativement au précédent de ${\phi }_{(b)}-{\phi }_{(a)}=-k2L+2\pi$», la superposition de ces deux systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales$(a)$ et $(b)$, bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » , ne donne des interférences constructives que pour des valeurs particulières du déphasage${\phi }_{(b)}-{\phi }_{(a)}=-k2L+2\pi$ $($c.-à-d. pour des valeurs particulières de fréquence du vibreur$)$ puis

Modèle:Al$\succ$avec une 2^ème réflexion sur le vibreur et une 3^ème sur la poulie, la 2^nde onde « réfléchie » sur la poulie $(r^{″})$ se réfléchit en arrivant sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » $(r^{‴})$ se propageant dans le sens des $x\nearrow$, déphasée par rapport à l'onde « incidente » $(i)$ de la quantité «${\phi }_{(r^{‴})}-{\phi }_{(i)}=-k4L+4\pi$»,
Modèle:Al$\succ$Modèle:Transparentcette dernière onde $(r^{‴})$ se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde $(r^{IV})$ se propageant dans le sens des $x\searrow$, déphasée par rapport à $(r)$ $[$la 1^ère onde réfléchie sur la poulie$]$ de «${\phi }_{(r^{IV})}-{\phi }_{(r)}=-k4L+4\pi$» ;
Modèle:Al$\succ$Modèle:Transparentla superposition de ces deux ondes $(r^{‴})$ et $(r^{IV})$ donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales$(c)$dont l'amplitude de vibration aux ventres est$2a_0$ $($en absence d'amortissement$)$ avec $a_0$ amplitude de vibration du vibreur mais,

Modèle:Al$\succ$Modèle:Transparentle système d'ondes stationnaires sinusoïdales $(c)$ « déphasé par rapport aux précédents de $\left\{\begin{array}{c}{\phi }_{(c)}-{\phi }_{(a)}=-k4L+4\pi \\ \text{et}\\ {\phi }_{(c)}-{\phi }_{(b)}=-k2L+2\pi \end{array}\right\}$» $\Rightarrow$ la superposition de ces trois systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales$(a)$, $(b)$ et $(c)$, bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » , ne donne des interférences deux à deux constructives que pour des valeurs particulières des déphasages$\left\{\begin{array}{c}{\phi }_{(c)}-{\phi }_{(a)}=-k4L+4\pi \\ \text{et}\\ {\phi }_{(c)}-{\phi }_{(b)}=-k2L+2\pi \end{array}\right\}$ $($c.-à-d. pour des valeurs particulières de fréquence du vibreur$)$ et

Modèle:Al$\succ$ainsi de suite $\dots$ $\Rightarrow$ à l'exception de valeurs particulières de la fréquence du vibreur, on observe des ondes stationnaires sinusoïdales d'amplitude aux ventres modérée mais

Modèle:AlModèle:Transparentpour ces valeurs particulières de fréquence du vibreur telles que les interférences entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales sont deux à deux constructives, les amplitudes de vibration en un point donné s'ajoutent, donnant une amplitude de vibration aux ventres « très grande »  d'où un phénomène de résonance.

Conditions de résonance (c.-à-d. conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales)

Modèle:AlUn point $M$ de la corde vibrant selon le 1^er système d'ondes stationnaires sinusoïdales $(a)$ avec «${\phi }_{(a)}={\phi }_0-kL$» comme phase initiale,
Modèle:AlModèle:Transparentselon le 2^nd système d'ondes stationnaires sinusoïdales $(b)$ avec «${\phi }_{(b)}={\phi }_0-3kL+2\pi$» comme phase initiale,
Modèle:AlModèle:Transparent$\dots$,
Modèle:AlModèle:Transparentselon le p^ème système d'ondes stationnaires sinusoïdales $(p)$ avec «${\phi }_{(p)}={\phi }_0-(2p+1)kL+2p\pi$» comme phase initiale,

Modèle:Alon observera des interférences deux à deux constructives entre ces divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales
Modèle:AlModèle:Transparentsi le déphasage « mathématique » entre eux est un multiple de $2\pi$ quel que soit le choix des systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales,
Modèle:AlModèle:Transparentet, en choisissant les deux 1^ers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales,
Modèle:AlModèle:Transparentsi «${\phi }_{(a)}-{\phi }_{(b)}=2kL-2\pi \equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )$» $\iff$ «$2kL\equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )$» ou encore, avec «$k=\frac{2\pi }{\lambda }$»,
Modèle:AlModèle:Transparentsi «$2L\equiv 0(\mathrm{mod}\lambda )$» $\iff$ «$2L=n\lambda ,n\in {\mathbb{N}}^{*}$» $($c.-à-d. si la différence de marche est un multiple de $\lambda )$ soit enfin,
Modèle:AlModèle:Transparent«$L=n\frac{\lambda }{2},n\in {\mathbb{N}}^{*}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentremarque : si on écrit la condition d'interférences constructives entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales $(a)$ et $(p)$ soit
Modèle:AlModèle:Transparent«${\phi }_{(a)}-{\phi }_{(p)}=2pkL-2p\pi \equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )$», on constate,
Modèle:AlModèle:Transparentavec «${\phi }_{(a)}-{\phi }_{(p)}=p\{{\phi }_{(a)}-{\phi }_{(b)}\}$», que
Modèle:AlModèle:Transparentla condition d'interférences constructives entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales $(a)$ et $(p)$ est réalisée si
Modèle:AlModèle:Transparentcelle entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales $(a)$ et $(b)$ l'est ;

Modèle:AlModèle:Transparentfinalement la condition d'interférences constructives entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales s'écrit
Modèle:AlModèle:Transparent«$L=n\frac{\lambda }{2},n\in {\mathbb{N}}^{*}$», ce que l'on interprète de la façon suivante : Modèle:Proposition Modèle:AlLes « longueurs d'onde pour lesquelles il y a résonance sont donc liées à la longueur de la corde selon ${\lambda }_n=\frac{2L}{n},n\in {\mathbb{N}}^{*}$» $($ce qui définit les longueurs d'onde de résonance$)$ et celles-ci étant liées à la fréquence selon «$\lambda =\frac{c}{f}$ $\iff$ $f=\frac{c}{\lambda }$», on en déduit
Modèle:Alles « fréquences de vibration pour lesquelles il y a résonance $f_n=\frac{c}{{\lambda }_n}=\frac{c}{\frac{2L}{n}},n\in {\mathbb{N}}^{*}$» soit des « fréquences de résonance égales à $f_n=n\frac{c}{2L},n\in {\mathbb{N}}^{*}$» correspondant encore aux « fréquences propres de vibration de la corde  » ;

Modèle:Alces « fréquences de résonance sont donc un multiple de la fréquence de résonance “ fondamentale ” $f_1=\frac{c}{2L}$» $($correspondant encore à la fréquence propre « fondamentale » $)$ $\{$dans l'expérience du paragraphe « observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée » plus haut dans ce chapitre, $f_1=$ $\frac{c}{2L}\simeq \frac{31,3}{2\times 1,00}=15,65Hz\simeq 15,7Hz\}$ à laquelle est associé le mode propre « fondamental » de la corde $($mode à un fuseau$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla « fréquence de résonance $f_n=n{f}_1$» $($correspondant aussi à une fréquence propre $)$ étant associé au « mode propre de la corde à $n$ fuseaux » $\{$dans l'expérience du paragraphe « observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée » plus haut dans ce chapitre, on trouve $f_n\simeq n15,65Hz$, soit $f_2\simeq 31,3Hz$, $f_3\simeq 47,0Hz$, $f_4\simeq 62,6Hz$ $\dots \}$.

Caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence

Modèle:AlDans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on impose une excitation de fréquence variable et
Modèle:AlModèle:Transparenton regarde la réponse de la corde de Melde, de tension et de longueur fixées, à cette excitation,
Modèle:AlModèle:Transparentréponse sous forme d'ondes stationnaires sinusoïdales de même fréquence que l'excitation ;
Modèle:AlModèle:Transparentla réponse de la corde « entre en résonance » pour des fréquences excitatrices « quantifiées », les fréquences de résonance$f_r$multiples d'une fréquence$f_1$,
Modèle:AlModèle:Transparent$f_1$caractéristique de la corde est appelée fréquence propre « fondamentale » et égale à $f_1=\frac{c}{2L}$,
Modèle:AlModèle:Transparentcette dernière dépendant uniquement de la célérité de propagation le long de la corde et de sa longueur ;
Modèle:AlModèle:Transparentles fréquences de résonance sont donc égales à $f_{r,n}=n{f}_1,n\in {\mathbb{N}}^{*}$, la n^ème valeur définissant la fréquence propre « de rang$n$» . Modèle:Proposition

Décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aux deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes

Modèle:AlNous considérons maintenant une corde tendue entre ses deux extrémités maintenues « fixes »  et
Modèle:AlModèle:Transparentcréons une « perturbation de courte durée »  $($par exemple au milieu de la corde$)$ ;

Modèle:Alnous admettrons que cette perturbation quelconque initie des ondes progressives sinusoïdales de « fréquence quelconque » ,
Modèle:AlModèle:Transparentchaque onde progressive initiée à une fréquence quelconque se propage vers une des extrémités fixes de la corde, s'y réfléchit pour donner une 1^ère onde réfléchie se propageant dans l'autre sens, laquelle se réfléchit à son tour sur l'autre extrémité fixe pour donner une onde réfléchie se propageant dans le sens initial etc $\dots$
Modèle:AlModèle:Transparentla superposition de ces ondes progressives synchrones de fréquence quelconque, de même amplitude, se propageant dans les deux sens, façonne des ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque » ;
Modèle:AlModèle:Transparentparmi toutes ces ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque », seules celles respectant les C.A.L. de nœuds d'élongation aux extrémités vont subsister $\dots$

Recherche des ondes stationnaires libres, notion de fréquences propres et de modes propres

Modèle:AlSeules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, c.-à-d. « seules les longueurs d'onde ${\lambda }_n$ telles que $L=n\frac{{\lambda }_n}{2},n\in {\mathbb{N}}^{*}$ persisteront » ou
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_n=\frac{2L}{n},n\in {\mathbb{N}}^{*}$»
Modèle:AlModèle:Transparentce qui correspond aux « fréquences $f_n$ liées aux longueurs d'onde par ${\lambda }_n=\frac{c}{f_n}$» soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_n=n\frac{c}{2L},n\in {\mathbb{N}}^{*}$» définissant les « fréquences propres de la corde fixée à ses deux extrémités », «$f_1=\frac{c}{2L}$ étant la fréquence propre fondamentale », «$f_n=n{f}_1,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ la fréquence propre de rang$n$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentle « mode de vibration »  de la corde pour une fréquence propre fixée est appelé « mode propre » et le mode propre associé à la fréquence propre de rang$n$ correspond à la présence de «$n$fuseaux».

Modèle:AlRemarque : Nous avons obtenu la condition de quantification sur les fréquences propres en écrivant que la longueur de la corde est un multiple de $\frac{\lambda }{2}$, cette dernière étant la longueur d'un fuseau, nous nous proposons de retrouver cette condition à partir de la définition d'une onde stationnaire sinusoïdale en écrivant que les deux extrémités doivent être fixes :

Modèle:AlModèle:TransparentAppelant $B$ l'extrémité de gauche $($d'abscisse $0)$ et $C$ l'extrémité de droite $($d'abscisse $L)$, la corde étant orientée de $B$ vers $C$,

Modèle:AlModèle:Transparentun « point $M$ quelconque de la corde d'abscisse $x$ subit l'oscillation stationnaire sinusoïdale $s(x,t)=A\cos (\omega t+\phi )\cos (kx+\psi )$» ;

Modèle:AlModèle:Transparent$B$ fixe se traduit par «$s(0,t)=0\mathrm{\forall }t$», soit «$\cos (\psi )=0$» ou «$\psi =\pm \frac{\pi }{2}$» et

Modèle:AlModèle:Transparent$C$ fixe correspond à «$s(L,t)=0\mathrm{\forall }t$», soit «$\cos (kL+\psi )=0$» ou, en choisissant $\psi =-\frac{\pi }{2}$,

Modèle:AlModèle:Transparent«$\cos (kL-\frac{\pi }{2})=0$» soit «$\sin (kL)=0$»
Modèle:AlModèle:Transparentce qui est réalisé pour les pulsations spatiales $k_n$ telles que
Modèle:AlModèle:Transparent«$\left\{\begin{array}{c}{k}_{n}L\equiv 0(\mathrm{mod}\pi )\\ \text{et}{k}_n\ne 0\end{array}\right\}$» ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent«$k_{n}L=n\pi ,n\in {\mathbb{N}}^{*}$» soit,

Modèle:AlModèle:Transparentcompte-tenu du lien entre pulsation spatiale et longueur d'onde $k=\frac{2\pi }{\lambda }$,
Modèle:AlModèle:Transparentla condition de quantification de la longueur d'onde «${\lambda }_n=\frac{2L}{n},n\in {\mathbb{N}}^{*}$» ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentcelle de la fréquence $($temporelle$)$ déduite de $\lambda =\frac{c}{f}$, «$f_n=n\frac{c}{2L},n\in {\mathbb{N}}^{*}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenton en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point $M$ pour la « fréquence propre de rang $n$ à savoir $f_n$» à laquelle on associe
Modèle:AlModèle:Transparentla « pulsation $($temporelle$)$ propre ${\omega }_n=2\pi f_n$» ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentla « pulsation spatiale propre $k_n=\frac{{\omega }_n}{c}$» :
Modèle:AlModèle:Transparent«$s_n(x,t)=A\cos ({\omega }_{n}t+\phi )\cos (k_{n}x-\frac{\pi }{2})=A\sin (k_{n}x)\cos ({\omega }_{n}t+\phi )$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\phi$ dépendant du choix de l'origine du temps et $A$ de l'énergie communiquée initialement.

Observation expérimentale

Modèle:AlSans imposer d'autres conditions que celles des extrémités fixes, « on observe préférentiellement le mode propre à un fuseau pour la fréquence propre $f_1$» ;
Modèle:Alpour « observer le mode propre à deux fuseaux $($pour la fréquence propre $f_2=2f_1)$» il faut l'« initier avec un pincement de la corde en son milieu », le resserrement initiant un nœud d'élongation,
Modèle:Alpour « observer le mode propre à trois fuseaux $($pour la fréquence propre $f_3=3f_1)$» on l'« initie avec un pincement de la corde à son tiers », la compression initiant un nœud d'élongation,
Modèle:Alpour « observer le mode propre à$n$fuseaux avec $n>3$ $($pour la fréquence propre $f_n=n{f}_1)$», on l'« initie avec un pincement de la corde à la distance$\frac{L}{n}$d'une de ses extrémités », le point de pincement initiant un nœud d'élongation $\dots$

Modèle:AlRemarque : le fait de créer un pincement en un point fixé de la corde fait que ce point devient, sans autre perturbation parasite, un nœud d'élongation mais il existe plusieurs modes d'ondes stationnaires sinusoïdales correspondant à cette condition par exemple
Modèle:AlModèle:Transparentsi on pratique un pincement de la corde à la distance $\frac{L}{n}$ d'une de ses extrémités, les modes respectant le fait que le point de pincement soit un nœud d'élongation sont les modes propres à $pn$ fuseaux avec $p\in {\mathbb{N}}^{*}$ mais c'est le mode propre à $n$ fuseaux qui est principalement observé.

Exemple numérique

Modèle:AlConsidérons une corde de guitare de masse volumique $\rho =7,8710^{3}kg\cdot m^{-3}$, de diamètre $d=0,300mm$, de « longueur $L=64,0cm$» et de « tension $T=100N$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la « masse linéique de la corde $\mu =\rho \frac{\pi d^2}{4}$ $=7,8710^3\times \frac{\pi \times (0,30010^{-3}{)}^2}{4}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$\mu \simeq 5,5610^{-4}kg\cdot m^{-1}$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparentla célérité de propagation des ondes le long de la corde selon «$c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}\simeq \sqrt{\frac{100}{5,5610^{-4}}}\simeq 424m\cdot s^{-1}$» ;
Modèle:AlModèle:Transparenton en déduit la « longueur d'onde du mode propre fondamental ${\lambda }_1=2L\simeq 1,28m$» ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentla « fréquence propre fondamentale $f_1=\frac{c}{{\lambda }_1}\simeq$ $\frac{424}{1,28}\simeq 331Hz$»,
Modèle:AlModèle:Transparentles « autres fréquences propres étant des multiples de $f_1$ soit $662Hz$, $993Hz$, $1324Hz$, $1655Hz$ et ainsi de suite ».

Mouvement général de la corde

Modèle:AlLa corde étant fixée à ses deux extrémités, elle oscillera en « ondes stationnaires correspondant à une superposition linéaire de ses modes propres d'oscillations »,
Modèle:AlModèle:Transparentl'onde stationnaire résultante étant « doublement périodique mais non sinusoïdale »  d'élongation transversale au point $M$ d'abscisse $x$ et à l'instant $t$
Modèle:AlModèle:Transparent«$s(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin (k_{n}x)\cos ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$» avec «$k_n=\frac{2\pi }{{\lambda }_n}=\frac{{\omega }_n}{c}$» $\Rightarrow$ «${\omega }_n=k_{n}c=\frac{2\pi c}{{\lambda }_n}=\frac{2\pi }{{𝒯}_n}$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparenten fonction des « longueurs d'onde des modes propres ${\lambda }_n,n\in {\mathbb{N}}^{*}$» et des « fréquences propres associées $f_n=\frac{1}{{𝒯}_n}=\frac{c}{{\lambda }_n},n\in {\mathbb{N}}^{*}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$s(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin \left(2\pi \frac{x}{{\lambda }_n}\right)\cos (2\pi f_{n}t+{\phi }_n)$» ou encore,
Modèle:AlModèle:Transparenten fonction des « longueur d'onde et fréquence fondamentales et du rang $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ de chaque mode propre $\left\{\begin{array}{cc}{\lambda }_n=\frac{2L}{n}=\frac{{\lambda }_1}{n},& ({\lambda }_1=2L)\\ f_n=\frac{c}{{\lambda }_n}=n\frac{c}{{\lambda }_1}=n{f}_1,& (f_1=\frac{c}{2L})\end{array}\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$s(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin \left(2\pi n\frac{x}{{\lambda }_1}\right)\cos (2\pi n{f}_{1}t+{\phi }_n)$»
Modèle:AlModèle:Transparentexplicitant le caractère « doublement périodique » du signal, « temporel » de fréquence $f_1$ et « spatial » de période ${\lambda }_1$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentsi $L\nearrow$, $f_1=\frac{c}{2L}\searrow$, le son devient alors plus grave et

Modèle:AlModèle:Transparentsi $T\nearrow$, $c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}\nearrow$ et $f_1\frac{c}{2L}\nearrow$, le son devient plus aigu.

Distinction entre oscillations libres et oscillations forcées (ou entretenues)

Modèle:AlEn laissant osciller librement la corde tendue entre ses deux extrémités fixes après initiation par une perturbation de courte durée, on obtient des oscillations libres à une fréquence propre de la corde ;

Modèle:Alen excitant de façon permanente la corde à une fréquence fixée, on obtient des oscillations forcées à la même fréquence que l'excitateur $($quelle que soit la fréquence$)$ avec
Modèle:AlModèle:Transparentun phénomène de résonance quand la fréquence de l'excitateur est égale à une fréquence propre de la corde.

Généralisation aux autres instruments de musique

Modèle:AlParmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments à cordes dont le principe est basé sur les oscillations libres d'une corde traitées dans le paragraphe « décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aus deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes » plus haut dans ce chapitre,

Modèle:AlModèle:Transparentdes instruments de percussion dont le principe est fondé sur les vibrations obtenues quand un corps en frappe un autre, instruments que nous ne faisons qu'évoquer sans les traiter ci-après,

Modèle:AlModèle:Transparentdes instruments à vent modélisés à l'aide d'un tuyau sonore dans lequel l'air vibre $($la grandeur vibrante à laquelle l'oreille humaine ou un microphone est sensible étant la surpression acoustique$)$ dont on se propose de rechercher, ci-après, les modes propres d'oscillations de l'air dans le tuyau sonore suivant que ses deux extrémités sont ouvertes ou qu'une seule de ses extrémités est ouverte.

Propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée

Modèle:AlUne extrémité ouverte correspond à un nœud de surpression acoustique, on admettra qu'à un nœud de surpression acoustique correspond un ventre de déplacement des tranches d'air $($c.-à-d. qu'une extrémité ouverte correspond à un maximum de déplacement des tranches d'air dans le tuyau$)$ ;

Modèle:Alune extrémité fermée correspond à un ventre de surpression acoustique, on admettra qu'à un ventre de surpression acoustique correspond un nœud de déplacement des tranches d'air $($c.-à-d. qu'une extrémité fermée correspond à une impossibilité de déplacement des tranches d'air dans le tuyau$)$. Modèle:Proposition

Les deux extrémités étant ouvertes (exemple des orgues)

Modèle:AlLes deux extrémités ouvertes correspondant chacune à un nœud de surpression acoustique $($problème équivalent à celui d'une corde tendue entre deux extrémités fixes$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentles ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. sont telles que « la longueur $L$ du tuyau doit être un multiple de $\frac{\lambda }{2}$», d'où
Modèle:AlModèle:Transparent« la longueur d'onde du mode propre de rang $n$» vaut «${\lambda }_n=\frac{2L}{n},n\in {\mathbb{N}}^{*}$» et
Modèle:AlModèle:Transparent« les fréquences propres associées » sont «$f_n=\frac{c}{{\lambda }_n}=n\frac{c}{2L},n\in {\mathbb{N}}^{*}$».

Une extrémité ouverte et l'autre fermée (exemple des clarinettes)

Modèle:AlUne seule extrémité fermée correspondant à un ventre de surpression acoustique et l'autre extrémité ouverte à un nœud de surpression acoustique,
Modèle:AlModèle:Transparentles ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. sont telles que « la longueur $L$ du tuyau doit être un multiple impair de $\frac{\lambda }{4}$» d'où
Modèle:AlModèle:Transparent« la longueur d'onde maximale ${\lambda }_0$» étant telle que $L=\frac{{\lambda }_0}{4}$ c.-à-d. «${\lambda }_0=4L$» de mode propre fondamental à « un demi-fuseau »
Modèle:AlModèle:Transparentcorrespondant à la « fréquence propre fondamentale $f_0=\frac{c}{4L}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« les autres longueurs d'onde ${\lambda }_n$ des modes propres à $(n+\frac{1}{2})$ fuseaux » étant telles que $L=\frac{{\lambda }_n}{4}+n\frac{{\lambda }_n}{2},n\in {\mathbb{N}}^{*}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent$L=(2n+1)\frac{{\lambda }_n}{4},n\in {\mathbb{N}}^{*}$ c.-à-d. «${\lambda }_n=\frac{4L}{2n+1},n\in {\mathbb{N}}^{*}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent« les fréquences propres correspondantes » étant «$f_n=(2n+1)\frac{c}{4L},n\in {\mathbb{N}}^{*}$».

Modèle:AlLe cas précédemment traité modélise le principe de fonctionnement d'une clarinette, l'embouchure étant équivalente à une extrémité fermée, l'autre extrémité étant bien évidemment ouverte.

Présence d'un trou intermédiaire dans le tuyau sonore à une extrémité ouverte, l'autre étant fermée (exemple de la clef de douzième d'une clarinette, le trou intermédiaire étant située au tiers de la longueur à partir de l'embouchure)

Modèle:AlDans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure laquelle, considérée comme une extrémité fermée, y impose un ventre de surpression acoustique et
Modèle:AlModèle:Transparentle trou, extrémité ouverte tant qu'il n'est pas bouché, Modèle:Alun nœud de surpression acoustique, d'où
Modèle:AlModèle:Transparent« la longueur d'onde maximale ${\lambda }_{\text{max}}={\lambda }_{0,\text{trou}}$» telle que $\frac{L}{3}=\frac{{\lambda }_{\text{max}}}{4}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_{\text{max}}={\lambda }_{0,\text{trou}}=\frac{4L}{3}=\frac{{\lambda }_0}{3}$» c.-à-d.
Modèle:AlModèle:Transparent$3\times$ plus faible que la longueur d'onde du mode propre fondamental du tuyau non troué correspondant à
Modèle:AlModèle:Transparent« une fréquence minimale $3\times$ plus grande que la fréquence propre fondamentale du tuyau non troué »
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{0,\text{trou}}=3\frac{c}{4L}=3f_0$»
Modèle:AlModèle:Transparentde mode propre associé à « un fuseau et demi $($du tuyau entier$)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentles « autres longueurs d'onde observables ${\lambda }_{p,\text{trou}}$» telles que $\frac{L}{3}=(2p+1)\frac{{\lambda }_{p,\text{trou}}}{4},p\in {\mathbb{N}}^{*}$ ou
Modèle:AlModèle:Transparent«${\lambda }_{p,\text{trou}}=\frac{4L}{3(2p+1)}$ ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent$=\left\{\begin{array}{c}\frac{{\lambda }_{0,\text{trou}}}{2p+1},p\in {\mathbb{N}}^{*}\\ \text{ou}\\ \frac{{\lambda }_p}{3},{\lambda }_p\text{de tuyau non troué}\end{array}\right\}$» correspondant à
Modèle:AlModèle:Transparent« une fréquence propre $3\times$ plus grande que la fréquence propre de même rang du tuyau non troué »
Modèle:AlModèle:Transparent«$f_{p,\text{trou}}=3\frac{(2p+1)c}{4L}=\left\{\begin{array}{c}(2p+1)f_{0,\text{trou}},p\in {\mathbb{N}}^{*}\\ \text{ou}\\ 3f_p,f_p\text{de tuyau non troué}\end{array}\right\}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle mode propre associé étant à «$(2p+1)\frac{3}{2}$ fuseaux $($du tuyau entier$)$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentau final la présence du trou à $\frac{L}{3}$ de l'embouchure a sélectionné une fréquence propre fondamentale trois fois plus grande que celle sans la présence du trou,
Modèle:AlModèle:Transparentles autres fréquences propres se déduisant de cette fréquence propre fondamentale en multipliant par un impair.

Dispositif expérimental permettant d'analyser le spectre d'un signal acoustique produit par une corde vibrante

Modèle:AlIl s'agit d'enregistrer le son émis par une « corde de guitare »  à l'aide d'un microphone, le signal reçu par ce dernier étant enregistré par un oscilloscope numérique possédant une fonction de « transformée de Fourier discrète » qui permet d'afficher le « spectre du signal » .

Modèle:AlCi-dessous un 1^er enregistrement en pinçant la corde en son milieu, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-période $𝒯\simeq \frac{100}{17}\simeq 5,9ms$ $($on observe en effet $17$ pseudo-oscillations entre $50ms$ et $150ms)$ ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

Modèle:AlModèle:Transparentle calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne «$f=\frac{1}{𝒯}\simeq \frac{1}{5,910^{-3}}\simeq 170Hz$» correspondant à la « fréquence de l'harmonique observé principalement » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée en son milieu $($voir ci-dessous$)$ :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

Modèle:AlCi-dessous un 2^ème enregistrement en pinçant la corde au quart de sa longueur, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-période $𝒯\simeq \frac{100}{16,5}\simeq 6,05ms$ $($on observe en effet $16,5$ pseudo-oscillations entre $50ms$ et $150ms)$ ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare au quart de sa longueur

Modèle:AlModèle:Transparentle calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne $f=\frac{1}{𝒯}\simeq \frac{1}{6,0510^{-3}}\simeq 165Hz$, ce qui correspond encore à la « fréquence de l'harmonique principalement observé » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée au quart de sa longueur $($voir ci-dessous$)$, toutefois on observe d'autres harmoniques qui n'étaient pas présents dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde pincée en son milieu :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare au quart de sa longueur

Modèle:AlModèle:Transparent1^ère conclusion partielle : il semble donc que l'endroit du pincement de la corde de guitare a une influence sur le spectre d'amplitude du signal émis, l'harmonique fondamental restant le même mais pincer au quart de la longueur de la corde au lieu de pincer en son milieu crée des harmoniques de rang supérieur.

Modèle:AlCi-dessous un 3^ème enregistrement en pinçant la corde près de son attache, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-période $𝒯\simeq \frac{100}{16,5}\simeq 6,05ms$ $($on observe en effet $16,5$ pseudo-oscillations entre $50ms$ et $150ms)$ ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare près de son attache

Modèle:AlModèle:Transparentle calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne $f=\frac{1}{𝒯}\simeq \frac{1}{6,0510^{-3}}\simeq 165Hz$, correspondant à la « fréquence d'un des harmoniques observés » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée près de son attache $($voir ci-dessous$)$, toutefois on observe nettement plus d'harmoniques non présents dans le spectre d'amplitude des signaux émis par la corde pincée en son milieu ou au quart de sa longueur :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare près de son attache

Modèle:AlModèle:Transparent2^ème conclusion partielle : pincer la corde près de l'attache a eu pour conséquence un enrichissement en harmoniques du spectre d'amplitude du signal émis par la corde.

Modèle:AlConclusion définitive : L'ensemble des harmoniques est le même dans chacun des spectres, les notes émises sont de même hauteur $($mêmes harmoniques$)$ mais
Modèle:AlModèle:Transparentn'ont pas le même timbre $($répartition différente des mêmes harmoniques$)$ ;

Modèle:AlModèle:Transparentle timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale mais aussi de son évolution dans le temps,
Modèle:AlModèle:Transparentdeux mêmes répartitions spectrales à $t_1$ donné et qui sont différentes à $t_2$ correspondent à des timbres différents,
Modèle:AlModèle:Transparentla caractérisation du timbre nécessite donc de faire une succession d'analyses spectrales étalées dans le temps ;
Modèle:AlModèle:Transparentces informations sont réunies dans un « sonogramme » avec le temps en abscisse, la fréquence en ordonnée,
Modèle:AlModèle:Transparentl'amplitude étant codée par couleur.