Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre

Détermination du spectre d'un produit de deux fonctions sinusoïdales

Modèle:AlOn considère le signal formé du produit de deux fonctions sinusoïdales^[1] « $s (t) = A \cos (2 π f_{1} t) \cos (2 π f_{2} t + φ)$ » où « $A$ » et « $φ$ » sont des constantes réelles et

Modèle:Alon se propose d'en faire une analyse spectrale dans le cas où les fréquences peuvent être incommensurables^[2] puis dans le cas où elles sont égales.

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de fréquences, a priori, incommensurables

Modèle:AlVérifier que le produit de fonctions sinusoïdales^[1] « $s (t) = A \cos (2 π f_{1} t) \cos (2 π f_{2} t + φ)$ » avec $f_{1}$ et $f_{2}$ incommensurables^[2] n'est pas périodique et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentn'est pas éligible à l'application du théorème de Fourier^[3] ;

Modèle:Almalgré cela, comme « $s (t) = A \cos (2 π f_{1} t) \cos (2 π f_{2} t + φ)$ » peut être linéarisé en une somme de deux fonctions sinusoïdales^[1], il est possible d'en faire une analyse spectrale^[4] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentdéterminer les harmoniques contenus dans « $s (t) = A \cos (2 π f_{1} t) \cos (2 π f_{2} t + φ)$ » et

Modèle:Al Modèle:Transparentreprésenter son spectre d'amplitude ainsi que

Modèle:Al Modèle:Transparentson spectre de phase.

Modèle:Solution

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence

Modèle:AlReprendre les questions précédentes dans le cas où « $f_{1} = f_{2}$ ».

Modèle:Solution

Détermination de la représentation fréquentielle d'un signal périodique construit à partir de deux signaux périodiques dont les représentations fréquentielles sont connues

Diagramme temporel d'un signal $T$ -périodique, $↗$ linéairement de $0$ à $U_{m}$ sur $[0, \frac{T}{4} [$ , avec un saut de $- 2 U_{m}$ à $\frac{T}{4}$ , $↗$ linéairement de $- U_{m}$ à $0$ puis $↘$ linéairement de $0$ à $- U_{m}$ sur $] \frac{T}{4}, \frac{3 T}{4} [$ , avec un saut de $+ 2 U_{m}$ à $\frac{3 T}{4}$ et $↘$ linéairement de $U_{m}$ à $0$ sur $] \frac{3 T}{4}, T [$

Modèle:AlConnaissant la représentation fréquentielle^[5] d'un signal créneau symétrique^[6] pair^[7] d'amplitude $U_{m}$ et de fréquence $f$ : Modèle:Nobr et

Modèle:Transparentcelle d'un signal triangulaire symétrique^[6] pair^[8] d'amplitude $U_{m}$ et de fréquence $f$ : « ${C_{0, triang} = 0; \underline{C_{2 p + 1, max, triang}} = \frac{8 U_{m}}{π^{2}} \frac{- 1}{(2 p + 1)^{2}} p \in ℕ}$ »^[9]Modèle:,^[10],

Modèle:Alon se propose d'en déduire la représentation fréquentielle^[5] du signal $s (t)$ périodique, de fréquence $f$ , dont le diagramme temporel est donné ci-contre et pour cela

trouver le lien entre ce signal $s (t)$ et les signaux créneau symétrique^[6] pair^[7] et triangulaire symétrique^[6] pair^[8] ${$ pour justifier ce lien, on représentera sur un même diagramme temporel les trois signaux et on conclura $}$ puis,
en déduire le lien entre la représentation fréquentielle^[5] du signal $s (t)$ et celles des signaux créneau symétrique^[6] pair^[7] et triangulaire symétrique^[6] pair^[8] ensuite,
expliciter la représentation fréquentielle^[5] du signal $s (t)$ ,
préciser le spectre d'amplitude de ce signal $s (t)$ ${$ on pourra se contenter d'évaluer les hauteurs des 1^ères raies $}$ et
estimer le nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal $s (t)$ en comparant les vitesses de décroissance de hauteur des raies du spectre d'amplitude de ce signal à celles des raies des spectres d'amplitude des signaux créneau et triangulaire composants .

Modèle:Solution

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 et ^1,2 En fait on devrait plutôt dire « produit de deux fonctions cosinusoïdales » mais l'usage veut qu'on parle de fonction sinusoïdale même quand elle est écrite sous forme d'un cosinus.
↑ ^2,0 et ^2,1 C.-à-d. dont le rapport n'est pas entier ou rationnel.
↑ Voir le paragraphe « énoncé du théorème de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le signal n'étant pas périodique, la méthode systématique de détermination des harmoniques nécessiterait d'introduire les notions de transformée de Fourier, ce qui est hors programme de physique de PCSI ${$ ceux qui souhaiteraient néanmoins quelques notions les trouveront dans le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique » $}$ ; nous n'avons donc pas de méthode générale à utiliser pour faire une analyse spectrale et ne pouvons le faire que dans des cas très particuliers comme celui proposé ici.
Modèle:AlJoseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\dots$
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 Voir le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique (représentation fréquentielle) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 et ^6,5 Un signal alterné $($ c'est-à-dire périodique avec une alternance positive et une négative $)$ est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.
↑ ^7,0 ^7,1 et ^7,2 Dans la mesure où le 1^er palier haut du signal créneau symétrique est un segment ayant l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, le signal créneau symétrique est pair car sa valeur sur $] - \frac{T}{4}, 0 [$ est égale à celle sur $] 0, \frac{T}{4} [$ et les paliers bas situés immédiatement de part et d'autre de ce 1^er palier haut ${$ c'est-à-dire sur $] - \frac{3 T}{4}, - \frac{T}{4} [$ et $] \frac{T}{4}, \frac{3 T}{4} [}$ sont également symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
↑ ^8,0 ^8,1 et ^8,2 Le signal triangulaire symétrique est pair si la pente $> 0$ sur $[0, \frac{T_{e}}{2} [$ est égale à l'opposé de la pente $< 0$ sur $[- \frac{T_{e}}{2}, 0]$ , les segments $↗$ et $↘$ étant symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
↑ Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées amplitude complexe
↑ Revoir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le triangulaire y était impair alors qu'ici il y est pair $\Rightarrow$ tous les harmoniques impairs sont nuls $B_{n} = 0 \forall n \in ℕ$ et les harmoniques pairs se calculent selon $A_{n} =$ $\frac{2}{T} {\int_{0}^{\frac{T}{2}} e (t) \cos (2 π n f t) d t + \int_{\frac{T}{2}}^{T} e (t) \cos (2 π n f t) d t}$ ${$ avant de poursuivre déterminons l'expression algébrique du signal « $e (t) = {\begin{matrix} \frac{4 U_{m}}{T} (t - \frac{T}{4}) & si t \in [0, \frac{T}{2}] \\ \frac{- 4 U_{m}}{T} (t - \frac{3 T}{4}) & si t \in [\frac{T}{2}, T] \end{matrix}}$ » Modèle:Nobr effet la valeur absolue de la pente est $\frac{2 U_{m}}{\frac{T}{2}} = \frac{4 U_{m}}{T}]}$ d'où $A_{n} = \frac{2}{T} {\int_{0}^{\frac{T}{2}} [\frac{4 U_{m}}{T} (t - \frac{T}{4})] \cos (2 π n f t) d t + \int_{\frac{T}{2}}^{T} [- \frac{4 U_{m}}{T} (t - \frac{3 T}{4})] \cos (2 π n f t) d t}$ ou, en faisant le « changement de variable $t^{'} = t - \frac{T}{2}$ dans la 2^ème intégrale » ${$ on obtient $d t^{'} = d t$ et $\cos (2 π n f t) = \cos (2 π n f t^{'} + 2 π n f \frac{T}{2}) = \cos (2 π n f t^{'} + n π) = (- 1)^{n} \cos (2 π n f t^{'})$ , les bornes inférieure et supérieure devenant $0$ et $\frac{T}{2}}$ $\Rightarrow$ la 2^ème intégrale est l'opposé de la 1^ère multipliée par $(- 1)^{n}$ soit « $A_{n} =$ $\frac{2}{T} \frac{4 U_{m}}{T} [1 - (- 1)^{n}] \int_{0}^{\frac{T}{2}} (t - \frac{T}{4}) \cos (2 π n f t) d t$ » ;
Modèle:Alcette dernière intégrale s'intègre « par parties » ${$ cette méthode est exposée succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : si on doit « calculer $\int_{a}^{b} u (x) v (x) d x$ en connaissant une primitive de $v (x)$ notée $V (x)$ », on peut écrire Modèle:Nobr ${[u (x) V (x)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) V (x) d x$ », en effet $\frac{d [u (x) V (x)]}{d x}$ $= u^{'} (x) V (x) + u (x) V^{'} (x)$ $= u^{'} (x) V (x) + u (x) v (x)$ $\Rightarrow$ $u (x) v (x) = \frac{d [u (x) V (x)]}{d x} - u^{'} (x) V (x)$ et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment $}$ , en posant ${\begin{matrix} u (t) = t - \frac{T}{4} \\ v (t) = \cos (2 π n f t) \end{matrix}}$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} u^{'} (t) = 1 \\ V (t) = \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f} \end{matrix}}$ et par conséquent $\int_{0}^{\frac{T}{2}} (t - \frac{T}{4}) \cos (2 π n f t) d t =$ ${[(t - \frac{T}{4}) \times \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f}]}_{0}^{\frac{T}{2}} - \int_{0}^{\frac{T}{2}} 1 \times \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f} d t =$ ${[(t - \frac{T}{4}) \times \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f}]}_{0}^{\frac{T}{2}} + {[\frac{\cos (2 π n f t)}{4 π^{2} n^{2} f^{2}}]}_{0}^{\frac{T}{2}}$ soit, avec $\cos (2 π n f \frac{T}{2}) = \cos (n π) = (- 1)^{n}$ ${$ en effet $f T =$ $1}$ , d'où « $\int_{0}^{\frac{T}{2}} (t - \frac{T}{4}) \cos (2 π n f t) d t = {[(t - \frac{T}{4}) \times \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f}]}_{0}^{\frac{T}{2}} + [\frac{(- 1)^{n} - 1}{4 π^{2} n^{2} f^{2}}]$ » ;
Modèle:Alpar report on en déduit « $A_{n} = - \frac{8 U_{m}}{T^{2}} \frac{{[1 - (- 1)^{n}]}^{2}}{4 π^{2} n^{2} f^{2}} = - \frac{2 U_{m}}{π^{2} n^{2}} {[1 - (- 1)^{n}]}^{2}$ » ; si $n$ est pair, le cœfficient $[1 - (- 1)^{n}] = 0$ et par suite $A_{n} = 0$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentsi $n$ est impair, le cœfficient $[1 - (- 1)^{n}] = 2$ et par suite $A_{n} = - \frac{8 U_{m}}{π^{2} n^{2}}$ soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent« $A_{n} = - \frac{8 U_{m}}{π^{2} n^{2}}$ pour $n = 2 p + 1, \forall p \in ℕ$ » et, comme $B_{n} = 0$ nous en déduisons « $C_{n} = | A_{n} | = {\begin{matrix} 0 & si n est pair \\ \frac{8 U_{m}}{π^{2} n^{2}} & si n est impair \end{matrix}}$ ».
Modèle:Alpour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques $\underline{C_{n}} = C_{n} \exp (i φ_{n})$ selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour $n = 2 p + 1, p \in ℕ$ , ${\begin{matrix} \cos (φ_{n}) = \frac{A_{n}}{C_{n}} = - 1 \\ \sin (φ_{n}) = - \frac{B_{n}}{C_{n}} = 0 \end{matrix}}$ d'où « $φ_{n} = π$ » et par suite Modèle:Nobr

Modèle:Bas de page

[cosinusoïdale-1] 1,0 ^1,1 et ^1,2 En fait on devrait plutôt dire « produit de deux fonctions cosinusoïdales » mais l'usage veut qu'on parle de fonction sinusoïdale même quand elle est écrite sous forme d'un cosinus.

[incommensurable-2] 2,0 et ^2,1 C.-à-d. dont le rapport n'est pas entier ou rationnel.

[théorème_de_Fourier-3] Voir le paragraphe « énoncé du théorème de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[nécessite_la_transformation_de_Fourier-4] Le signal n'étant pas périodique, la méthode systématique de détermination des harmoniques nécessiterait d'introduire les notions de transformée de Fourier, ce qui est hors programme de physique de PCSI ${$ ceux qui souhaiteraient néanmoins quelques notions les trouveront dans le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique » $}$ ; nous n'avons donc pas de méthode générale à utiliser pour faire une analyse spectrale et ne pouvons le faire que dans des cas très particuliers comme celui proposé ici.
Modèle:AlJoseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\dots$

[représentation_fréquentielle-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 Voir le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique (représentation fréquentielle) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[signal_symétrique-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 et ^6,5 Un signal alterné $($ c'est-à-dire périodique avec une alternance positive et une négative $)$ est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.

[signal_pair-7] 7,0 ^7,1 et ^7,2 Dans la mesure où le 1^er palier haut du signal créneau symétrique est un segment ayant l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, le signal créneau symétrique est pair car sa valeur sur $] - \frac{T}{4}, 0 [$ est égale à celle sur $] 0, \frac{T}{4} [$ et les paliers bas situés immédiatement de part et d'autre de ce 1^er palier haut ${$ c'est-à-dire sur $] - \frac{3 T}{4}, - \frac{T}{4} [$ et $] \frac{T}{4}, \frac{3 T}{4} [}$ sont également symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

[signal_pair_-_bis-8] 8,0 ^8,1 et ^8,2 Le signal triangulaire symétrique est pair si la pente $> 0$ sur $[0, \frac{T_{e}}{2} [$ est égale à l'opposé de la pente $< 0$ sur $[- \frac{T_{e}}{2}, 0]$ , les segments $↗$ et $↘$ étant symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

[amplitude_complexe-9] Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées amplitude complexe

[représentation_fréquentielle_d'un_triangulaire-10] Revoir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le triangulaire y était impair alors qu'ici il y est pair $\Rightarrow$ tous les harmoniques impairs sont nuls $B_{n} = 0 \forall n \in ℕ$ et les harmoniques pairs se calculent selon $A_{n} =$ $\frac{2}{T} {\int_{0}^{\frac{T}{2}} e (t) \cos (2 π n f t) d t + \int_{\frac{T}{2}}^{T} e (t) \cos (2 π n f t) d t}$ ${$ avant de poursuivre déterminons l'expression algébrique du signal « $e (t) = {\begin{matrix} \frac{4 U_{m}}{T} (t - \frac{T}{4}) & si t \in [0, \frac{T}{2}] \\ \frac{- 4 U_{m}}{T} (t - \frac{3 T}{4}) & si t \in [\frac{T}{2}, T] \end{matrix}}$ » Modèle:Nobr effet la valeur absolue de la pente est $\frac{2 U_{m}}{\frac{T}{2}} = \frac{4 U_{m}}{T}]}$ d'où $A_{n} = \frac{2}{T} {\int_{0}^{\frac{T}{2}} [\frac{4 U_{m}}{T} (t - \frac{T}{4})] \cos (2 π n f t) d t + \int_{\frac{T}{2}}^{T} [- \frac{4 U_{m}}{T} (t - \frac{3 T}{4})] \cos (2 π n f t) d t}$ ou, en faisant le « changement de variable $t^{'} = t - \frac{T}{2}$ dans la 2^ème intégrale » ${$ on obtient $d t^{'} = d t$ et $\cos (2 π n f t) = \cos (2 π n f t^{'} + 2 π n f \frac{T}{2}) = \cos (2 π n f t^{'} + n π) = (- 1)^{n} \cos (2 π n f t^{'})$ , les bornes inférieure et supérieure devenant $0$ et $\frac{T}{2}}$ $\Rightarrow$ la 2^ème intégrale est l'opposé de la 1^ère multipliée par $(- 1)^{n}$ soit « $A_{n} =$ $\frac{2}{T} \frac{4 U_{m}}{T} [1 - (- 1)^{n}] \int_{0}^{\frac{T}{2}} (t - \frac{T}{4}) \cos (2 π n f t) d t$ » ;
Modèle:Alcette dernière intégrale s'intègre « par parties » ${$ cette méthode est exposée succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : si on doit « calculer $\int_{a}^{b} u (x) v (x) d x$ en connaissant une primitive de $v (x)$ notée $V (x)$ », on peut écrire Modèle:Nobr ${[u (x) V (x)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) V (x) d x$ », en effet $\frac{d [u (x) V (x)]}{d x}$ $= u^{'} (x) V (x) + u (x) V^{'} (x)$ $= u^{'} (x) V (x) + u (x) v (x)$ $\Rightarrow$ $u (x) v (x) = \frac{d [u (x) V (x)]}{d x} - u^{'} (x) V (x)$ et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment $}$ , en posant ${\begin{matrix} u (t) = t - \frac{T}{4} \\ v (t) = \cos (2 π n f t) \end{matrix}}$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} u^{'} (t) = 1 \\ V (t) = \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f} \end{matrix}}$ et par conséquent $\int_{0}^{\frac{T}{2}} (t - \frac{T}{4}) \cos (2 π n f t) d t =$ ${[(t - \frac{T}{4}) \times \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f}]}_{0}^{\frac{T}{2}} - \int_{0}^{\frac{T}{2}} 1 \times \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f} d t =$ ${[(t - \frac{T}{4}) \times \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f}]}_{0}^{\frac{T}{2}} + {[\frac{\cos (2 π n f t)}{4 π^{2} n^{2} f^{2}}]}_{0}^{\frac{T}{2}}$ soit, avec $\cos (2 π n f \frac{T}{2}) = \cos (n π) = (- 1)^{n}$ ${$ en effet $f T =$ $1}$ , d'où « $\int_{0}^{\frac{T}{2}} (t - \frac{T}{4}) \cos (2 π n f t) d t = {[(t - \frac{T}{4}) \times \frac{\sin (2 π n f t)}{2 π n f}]}_{0}^{\frac{T}{2}} + [\frac{(- 1)^{n} - 1}{4 π^{2} n^{2} f^{2}}]$ » ;
Modèle:Alpar report on en déduit « $A_{n} = - \frac{8 U_{m}}{T^{2}} \frac{{[1 - (- 1)^{n}]}^{2}}{4 π^{2} n^{2} f^{2}} = - \frac{2 U_{m}}{π^{2} n^{2}} {[1 - (- 1)^{n}]}^{2}$ » ; si $n$ est pair, le cœfficient $[1 - (- 1)^{n}] = 0$ et par suite $A_{n} = 0$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparentsi $n$ est impair, le cœfficient $[1 - (- 1)^{n}] = 2$ et par suite $A_{n} = - \frac{8 U_{m}}{π^{2} n^{2}}$ soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent« $A_{n} = - \frac{8 U_{m}}{π^{2} n^{2}}$ pour $n = 2 p + 1, \forall p \in ℕ$ » et, comme $B_{n} = 0$ nous en déduisons « $C_{n} = | A_{n} | = {\begin{matrix} 0 & si n est pair \\ \frac{8 U_{m}}{π^{2} n^{2}} & si n est impair \end{matrix}}$ ».
Modèle:Alpour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques $\underline{C_{n}} = C_{n} \exp (i φ_{n})$ selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour $n = 2 p + 1, p \in ℕ$ , ${\begin{matrix} \cos (φ_{n}) = \frac{A_{n}}{C_{n}} = - 1 \\ \sin (φ_{n}) = - \frac{B_{n}}{C_{n}} = 0 \end{matrix}}$ d'où « $φ_{n} = π$ » et par suite Modèle:Nobr

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre

Sommaire

Détermination du spectre d'un produit de deux fonctions sinusoïdales

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de fréquences, a priori, incommensurables

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence

Détermination de la représentation fréquentielle d'un signal périodique construit à partir de deux signaux périodiques dont les représentations fréquentielles sont connues

Notes et références

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre

Détermination du spectre d'un produit de deux fonctions sinusoïdales

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de fréquences, a priori, incommensurables

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence

Détermination de la représentation fréquentielle d'un signal périodique construit à partir de deux signaux périodiques dont les représentations fréquentielles sont connues

Notes et références

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