Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Battements

Accord d'un piano

Établissement de la formule de variation de la célérité de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur par considérations dimensionnelles

Modèle:AlRappelant que la « célérité $c$ de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur » est déterminée par les paramètres physiques de cette dernière,
Modèle:AlModèle:Transparentla masse volumique $\rho$ du matériau la composant,
Modèle:AlModèle:Transparentson diamètre $d$ ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentla tension $T$ à laquelle elle est soumise, et
Modèle:Alfaisant l'hypothèse d'une formule du type «$c=K{\rho }^{\alpha }{d}^{\beta }{T}^{\gamma }$» où $K$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont des constantes sans dimension, déterminer «$\alpha$, $\beta$ et $\gamma$» par des considérations dimensionnelles.

Accord du piano par réglage des trois cordes donnant les notes les plus aiguës

Modèle:AlBien qu'une corde de piano ne soit pas sans raideur nous admettrons que la dépendance de la « célérité $c$ de propagation des ondes transversales le long d'une corde avec raideur » relativement à la « tension $T$ à laquelle elle est soumise » est bien celle déterminée dans la solution de la question « établissement de la formule de variation de la célérité de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur par considérations dimensionnelles » plus haut dans cet exercice.

Modèle:AlLes notes les plus aiguës d'un piano étant produites par trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence, nous réalisons ce réglage $($l'accord du piano$)$ en ajustant les tensions des cordes et pour cela, nous utilisons le phénomène de battement.

Détermination du lien entre la fréquence fondamentale de vibration d'une corde et la tension à laquelle cette dernière est soumise

Modèle:AlNous admettons qu'en frappant une corde de piano, il se développe, sur celle-ci, des ondes stationnaires et
Modèle:AlModèle:Transparentque la longueur d'onde fondamentale de vibration de la corde est le double de la longueur de cette dernière.

Modèle:AlSachant que la « fréquence fondamentale de vibration de la corde varie comme $T^{\delta }$», déterminer l'« exposant $\delta$».

Détermination de la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration de deux cordes de fréquences fondamentales espérées égales pour une période de battements variant dans un intervalle donné

Modèle:AlConsidérant deux cordes vibrant à la « fréquence fondamentale $440Hz$», nous supposons entendre les battements à l'oreille si la « période de battements est comprise entre $0,5s$ et $5s$», en déduire la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration de ces deux cordes par cette méthode.

Détermination de la précision relative sur la tension à laquelle les deux cordes de fréquences fondamentales espérées égales pour une période de battements variant dans un intervalle donné sont soumises

Modèle:AlDéduire, de la solution de la question « détermination de la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration de deux cordes de fréquences fondamentales espérées égales pour une période de battements variant dans un intervalle donné » plus haut dans cet exercice, la précision relative sur la tension des cordes considérées.