Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

Réponse en intensité d'un circuit “L parallèle sur R en série avec C” soumis à une tension de valeur efficace fixée

Schéma d'un circuit composé d'un R L parallèle en série avec C, ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

......On impose au circuit ci-contre une tension sinusoïdale $u(t)=U\sqrt{2}\cos (\omega t)$, la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit étant mise sous la forme $i(t)=I\sqrt{2}\cos (\omega t-\phi )$.

Condition pour que l'intensité efficace I du courant circulant dans le circuit soit indépendante de R

......Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer l'intensité efficace complexe du courant y circulant et en déduire son intensité efficace $I$ en fonction de $L$, $C$, $R$, $U$ et $\omega$ ;

......déterminer à quelle condition de pulsation $I$ est indépendante de $R$. Modèle:Clr Modèle:Solution

Dans cette condition évaluation de l'intensité efficace I₁ du courant ainsi que l'avance de phase φ₁ de la tension sur l'intensité

......La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur $I_1$ de l'intensité efficace du courant traversant le circuit et

......La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur ${\phi }_1$ de l'avance de phase de la tension imposée au circuit sur l'intensité du courant le traversant.

Condition supplémentaire pour que la tension et l'intensité soient en phase

......En déduire la condition supplémentaire pour que ${\phi }_1$ soit nul.

Réponse en intensité d'un circuit “R C série” en parallèle sur une bobine réelle en phase avec la tension imposée de valeur efficace fixée

Schéma d'un circuit composé d'un R C série en parallèle sur une bobine réelle "r L série", ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence réglable

......On considère le circuit représenté ci-contre où la f.e.m. du générateur de tension parfait est $e(t)$ sinusoïdale de valeur efficace fixée $E$ et de pulsation variable $\omega$ ; on s'intéresse à la réponse sinusoïdale forcée en $i(t)$ intensité du courant délivré au circuit ci-contre par le générateur.

......Sous réserve de condition sur $r$, $R$, $L$ et $C$, il existe une pulsation ${\omega }_1$ pour laquelle l'intensité $i(t)$ est en phase avec la tension $e(t)$.

......Déterminer la pulsation ${\omega }_1$ et

......préciser les conditions associées. Modèle:Clr

Montage déphaseur

Schéma d'un pont de type Wheatstone en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et en sortie ouverte composé des deux couples de D.P.L. croisés “R, L” et “C, L”

......On considère le circuit ci-contre où on étudie la réponse sinusoïdale forcée en $u(t)=U\sqrt{2}\cos (\omega t+\phi )$ tension de sortie du pont d'impédances en r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ alimenté en entrée par $e(t)=E\sqrt{2}\cos (\omega t)$ ;

Tension efficace de sortie indépendante de R, L et C

......Déterminer la tension efficace complexe de sortie $\underset{\_}{U}=U\exp \left(j\phi \right)$ en fonction de la tension efficace complexe d'entrée $E$, des grandeurs caractérisant le pont de type Wheatstone et de la pulsation $\omega$ du r.s.f. ;

......en déduire la tension efficace de sortie $U$ et vérifier qu'elle est indépendante de $R$, $L$ et $C$. Modèle:Clr

Avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée et justification du nom du montage

......Exprimer l'avance de phase $\phi$ de la tension de sortie $u(t)$ sur celle d'entrée $e(t)$ et

......préciser comment $\phi$ varie lorsque l'on fait varier $R$ de 0 à $\mathrm{\infty }$.

......Justifier le nom du montage.

R.D.L.A. en r.s.f. équivalent, pour une fréquence particulière, à un générateur de courant quand il est fermé sur un conducteur ohmique

Schéma d'un pont diviseur de tension en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) alimenté en entrée par e(t), un condensateur en tant que D.P.L. d'attaque, une bobine pure en tant que D.P.L. aux bornes duquel est la sortie, l'ensemble étant équivalent à une source de courant parfaite quand on branche un conducteur ohmique en sortie du P.D.T.

......On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur de fonctions délivre une f.e.m. instantanée sinusoïdale $e(t)=E\sqrt{2}\sin (\omega t)$, de valeur efficace $E$ fixée et de pulsation $\omega$ que l'on fait varier ; de plus, son dipôle passif interne est supposé d'impédance négligeable.

......Le reste du circuit est composé d'un pont diviseur de tension en r.s.f. dont le D.P.L. d'attaque est un condensateur de capacité $C$ et le D.P.L. aux bornes duquel est la sortie est une bobine parfaite d'inductance propre $L$ ; on place en sortie un conducteur ohmique de résistance $R$.

Valeur de la pulsation pour que l'intensité efficace du courant traversant R soit indépendante de R

......Déterminer l'intensité instantanée complexe $\underset{\_}{i}(t)=\underset{\_}{I}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$ du courant circulant dans le conducteur ohmique avec $\underset{\_}{I}=I\exp \left(j\phi \right)$ intensité efficace complexe puis

......en déduire cette dernière $\underset{\_}{I}$ ainsi que l'intensité efficace $I$ ;

......déterminer la valeur de la pulsation ${\omega }_1$ pour laquelle l'intensité efficace $I$ traversant le conducteur ohmique est indépendante de $R$.

Sous condition de cette pulsation, circuit équivalent à un générateur de courant

......Vérifier qu'à cette pulsation ${\omega }_1$ le P.D.T. situé entre $A$ et $B$ dans la partie en pointillés est équivalent (lorsqu'il est branché aux bornes d'un conducteur ohmique) à une source de courant parfaite dont on donnera le c.e.m. en fonction des données.

Modèle de Thévenin d'un réseau dipolaire linéaire actif

Schéma d'un pont diviseur de tension en r.s.f. à 2 étages : le 1Modèle:Er étage alimenté par e(t) sinusoïdale de fréquence f = ω/(2π) ayant R comme résistance d'attaque et de sortie aux bornes de L sur laquelle est branché le 2Modèle:Ème étage de résistance d'attaque de même R, la sortie globale étant aux bornes de C

......On considère le circuit ci-contre alimenté entre $A$ et $B$ par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. $e(t)=$ $E\sqrt{2}\cos (\omega t)$ ; à la sortie de cette source de tension sinusoïdale on branche un « pont diviseur de tension en r.s.f. à deux étages » constitué

• d'un 1Modèle:Er étage alimenté par $e(t)=E\sqrt{2}\cos (\omega t)$, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de résistance $R$, la sortie de ce 1Modèle:Er étage étant aux bornes d'une bobine parfaite d'inductance propre $L$ et
• d'un 2Modèle:Ème étage alimenté par la sortie du 1Modèle:Er étage, de D.P.L. d'attaque composé d'un conducteur ohmique de même résistance $R$, la sortie de ce 2Modèle:Ème étage étant aux bornes d'un condensateur de capacité $C$ ;

......de plus pour ce circuit la fréquence du générateur est telle que $LC{\omega }^2=1$ et $RC\omega =1$.

......Déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin complexe équivalent au R.D.L.A. ci-dessus en complexe associé au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ entre $F$ et $G$ en supposant que le R.D.L.A. délivre un courant sortant par $F$ et entrant par $G$ d'intensité instantanée complexe $\underset{\_}{i}(t)=\underset{\_}{I}\sqrt{2}\exp \left(j\omega t\right)$.

Ponts d'impédances

......On étudie successivement les trois ponts universels d'impédances en r.s.f. de fréquence fixe $f=\frac{\omega }{2\pi }$ ; on admettra que le R.D.L.A. en complexe associée au r.s.f. aux bornes duquel est branché un détecteur est équivalent à un générateur de Thévenin complexe de f.e.m. instantanée complexe s'annulant si $\underset{\_}{Z_1}(j\omega )\underset{\_}{Z_3}(j\omega )=\underset{\_}{Z_2}(j\omega )\underset{\_}{Z_4}(j\omega )$ à condition que $\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{Z_1}(j\omega )+\underset{\_}{Z_2}(j\omega )\ne 0\\ \text{et}\\ \underset{\_}{Z_3}(j\omega )+\underset{\_}{Z_4}(j\omega )\ne 0\end{array}\right\}$ avec $\underset{\_}{Z_1}(j\omega )$ et $\underset{\_}{Z_2}(j\omega )$ de part et d'autre d'une des bornes reliée au détecteur ainsi que $\underset{\_}{Z_3}(j\omega )$ et $\underset{\_}{Z_4}(j\omega )$ de part et d'autre de l'autre borne reliée au détecteur, les indices ${}_1,{}_2,{}_3,{}_4$ correspondant à la disposition des impédances en circulation dans le sens horaire (ou trigonométrique direct).

Pont de Sauty parallèle en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Sauty parallèle en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) pour mesurer la capacité C et la résistance de fuite R d'un condensateur à l'aide d'un D.P. étalon variable R₁ en parallèle sur C₁

......Le 1Modèle:Er pont est le pont de Sauty parallèle : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type P/Q) sert à mesurer la capacité $C$ d'un condensateur avec résistance de fuite $R$, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $R_1$ variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité variable $C_1$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

...........Le 1Modèle:Er pont est le pont de Sauty parallèle : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ et

...........Le 1Modèle:Er pont est le pont de Sauty parallèle : déterminer les valeurs de $C$ et de $R$ du condensateur étudié en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe. Modèle:Clr Modèle:Solution

Pont de Maxwell en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Maxwell en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) pour mesurer l'inductance propre L et la résistance R d'une bobine à l'aide d'un D.P. étalon variable R₁ en parallèle sur C₁

......Le 2Modèle:Ème pont est le pont de Maxwell : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type PQ) sert à mesurer l'inductance propre $L$ et la résistance $R$ d'une bobine, à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance $R_1$ variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité variable $C_1$ monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

...........Le 2Modèle:Ème pont est le pont de Maxwell : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ et

...........Le 2Modèle:Ème pont est le pont de Maxwell : déterminer les valeurs de $L$ et de $R$ de la bobine étudiée en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe. Modèle:Clr Modèle:Solution

Pont de Robinson en r.s.f.

Schéma d'un pont universel de Robinson en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) pour mesurer la fréquence f à l'aide deux D.P.L. étalon, l'un composé d'un conducteur ohmique variable de résistance R₁ en série avec un condensateur de capacité fixe C₁, l'autre composé des mêmes éléments étalon montés en parallèle, les deux résistances restant couplées dans leur variation

......Le 3Modèle:Ème pont est le pont de Robinson : (voir schéma ci-contre) ce pont (de type P/Q, sert à mesurer la fréquence à l'aide d'une part d'un conducteur ohmique étalon de résistance $R_1$ variable et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité fixe $C_1$ monté en parallèle sur une même branche et d'autre part d'un même conducteur ohmique étalon de résistance $R_1$ variable (les deux résistances $R_1$ restant couplées dans leur variation) et d'un condensateur (parfait) étalon de capacité fixe $C_1$ monté en série sur une même autre branche, les deux autres D.P.L. étant des conducteurs ohmiques étalon.

...........Le 3Modèle:Ème pont est le pont de Robinson : Vérifier que le R.D.L.A. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin en complexe associée au r.s.f. de fréquence $f=\frac{\omega }{2\pi }$ et

...........Le 3Modèle:Ème pont est le pont de Robinson : déterminer la valeur de la fréquence $f$ en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe. Modèle:Clr Modèle:Solution