Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateur harmonique

Ajout d'une surcharge à un pendule élastique vertical non amorti

Modèle:AlSoit un disque de masse $m$ suspendu à un ressort idéal vertical de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$.

Modèle:AlÀ l'équilibre on pose sur le disque un « tore »  de même masse.

Modèle:AlDéterminer l'allongement maximal du ressort ainsi que la période d'oscillation.

Ressorts montés en parallèle, ressorts montés en série

Modèle:AlOn dispose d'un solide de masse $m$ et de deux ressorts idéaux de raideur $k_1$ et $k_2$ ; on négligera tout frottement.

Ressorts d'axes verticaux montés en parallèle

Modèle:AlLes deux extrémités supérieures des ressorts sont fixes et les deux extrémités inférieures sont liées au solide $($le solide ayant un mouvement de translation vertical, les ressorts ont donc constamment même longueur$)$.

Modèle:AlMontrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;

Modèle:Alvérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en parallèle est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur $k_{\text{éq}\parallel }$ en fonction de $k_1$ et $k_2$.

Ressorts d'axe commun vertical montés en série

Modèle:AlL'extrémité supérieure du ressort supérieur $(1)$ est fixe et son extrémité inférieure est reliée à l'extrémité supérieure de ressort inférieur $(2)$, l'extrémité inférieure de ce dernier étant reliée au solide $($dont on n'envisage que les mouvements de translation verticalemath>\big)</math>.

Modèle:AlMontrer que le système constitue un oscillateur harmonique et déterminer la période des oscillations ;

Modèle:Alvérifier que l'ensemble des deux ressorts montés en série est équivalent à un ressort unique dont on précisera la raideur $k_{\text{éq, série}}$ en fonction de $k_1$ et $k_2$.

Modes propres d'un oscillateur à deux ressorts

Disposition des deux oscillateurs harmoniques couplés

Modèle:AlConsidérons deux mobiles $M_1$ et $M_2$, de même masse $m$, supposés ponctuels, et astreints à glisser sur un plan horizontal dans la direction $Ox$.
Modèle:AlModèle:TransparentLe mobile $M_1$ est accroché à un point fixe $O$, par l'intermédiaire d'un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$.
Modèle:AlModèle:TransparentLe mobile $M_2$ est accroché au mobile $M_1$ par l'intermédiaire d'un ressort identique au précédent.
Modèle:AlModèle:TransparentTous les frottements sont négligés $($voir schéma ci-contre$)$.

Mise en équations de l'oscillateur à deux ressorts

Modèle:AlÉtablir les équations différentielles du mouvement vérifiées par les positions $x_1(t)$ et $x_2(t)$ des mobiles $M_1$ et $M_2$ par rapport à $O$ $\{$on notera que ces équations différentielles sont couplées, c'est-à-dire que l'équation différentielle en $x_1(t)$ contient des termes en $x_2(t)$ et vice versa$\}$.

Détermination des modes propres d'oscillation

Modèle:AlOn pose «$X_1(t)=x_1(t)-l_0$» et «$X_2(t)=x_2(t)-2l_0$».

Réécriture du système d'équations différentielles couplées dans ce nouveau repérage et interprétation physique

Modèle:AlJustifier le choix des grandeurs $X_1(t)$ et $X_2(t)$ en donnant leur interprétation physique.

Mise en équation des modes propres d'oscillation

Modèle:AlOn étudie les mouvements oscillatoires harmoniques possibles des deux mobiles à la même pulsation $\omega$ en l'absence de frottements $($les modes d'oscillation à la même pulsation étant appelés « modes propres »$)$.

Modèle:AlEn choisissant «$\left\{\begin{array}{c}{X}_1(t)=X_{m,1}\cos (\omega t+{\phi }_1)\\ X_2(t)=X_{m,2}\cos (\omega t+{\phi }_2)\end{array}\right\}$», montrer qu'on obtient dans ce cas le système «$\{\begin{array}{ccccc}(2{\omega }_0^2-{\omega }^2)X_1(t)& -& {\omega }_0^2{X}_2(t)& =& 0\\ -{\omega }_0^2{X}_1(t)& +& ({\omega }_0^2-{\omega }^2)X_2(t)& =& 0\end{array}$» où ${\omega }_0$ est une grandeur qu'on explicitera en fonction de $k$ et $m$.

Détermination des pulsations propres d'oscillation

Modèle:AlEn déduire les solutions ${\omega }_1$ et ${\omega }_2$ $($pulsations propres des oscillateurs couplés$)$ correspondant aux valeurs de $\omega$ recherchées.

Détermination des modes propres correspondant aux pulsations propres d'oscillation

Modèle:AlPréciser, pour chaque pulsation propre, le mode propre d'oscillations c'est-à-dire le lien entre $X_1(t)$ et $X_2(t)$, en particulier on précisera le lien entre leurs amplitudes et leurs phases.

Découplage du système d'équations différentielles couplées de l'oscillateur à deux ressorts et conséquences

Modèle:AlReprenant le système d'équations différentielles couplées en $X_1(t)$ et $X_2(t)$, nous nous proposons de « le découpler » de façon à le résoudre d'une part et d'autre part de voir quel est le lien de ce découplage avec la recherche des modes propres d'oscillation de l'oscillateur à deux ressorts.

Découplage par combinaison linéaire (C.L.) des deux équations différentielles couplées

Modèle:AlLe système d'équations différentielles couplées étant mis sous la forme $\left\{\begin{array}{c}m{\ddot{X}}_1+a{X}_1=b{X}_2\mathfrak{(}1\mathfrak{)}\\ m{\ddot{X}}_2+c{X}_2=d{X}_1\mathfrak{(}2\mathfrak{)}\end{array}\right\}$, $a,b,c,d$ étant des cœfficients précédemment trouvés,
Modèle:Al« former la C.L. $\alpha \mathfrak{(}1\mathfrak{)}+\beta \mathfrak{(}2\mathfrak{)}$» dans le but de poser «$\alpha X_1+\beta X_2$ comme nouvelle variable », et
Modèle:Al« mettre cette C.L. sous la forme $m[\alpha {\ddot{X}}_1+\beta {\ddot{X}}_2]+k[\gamma X_1+\delta X_2]=0$», $\gamma \text{et}\delta$ dépendant de $\alpha \text{et}\beta$ ainsi que des cœfficients numériques des équations différentielles $\mathfrak{(}1\mathfrak{)}\text{et}\mathfrak{(}2\mathfrak{)}$ ;

Modèle:Alle système d'équations différentielles sera découplé si «$\gamma$ est $\propto$ à $\alpha$» et «$\delta$ $\propto$ à $\beta$» avec le même cœfficient de proportionnalité c'est-à-dire si «$\frac{\gamma }{\alpha }=\frac{\delta }{\beta }$» ou si «$\gamma \times \beta =\alpha \times \delta$»,
Modèle:AlModèle:Transparenten déduire l'équation du 2^ème degré en $\frac{\alpha }{\beta }$ pour qu'il en soit ainsi et la résoudre ;

Modèle:AlModèle:Transparentproposer alors deux nouvelles variables «${\xi }_1(t)={\alpha }_1{X}_1(t)+{\beta }_1{X}_2(t)$» et «${\xi }_2(t)={\alpha }_2{X}_1(t)+{\beta }_2{X}_2(t)$» et
Modèle:AlModèle:Transparentréécrire le système d'équations différentielles découplées en ${\xi }_1(t)$ et ${\xi }_2(t)$.

Résolution du système d'équations différentielles découplées

Modèle:AlRésoudre le système d'équations différentielles découplées en ${\xi }_1(t)$ et ${\xi }_2(t)$ et préciser les pulsations propres correspondant aux deux oscillateurs découplés ;

Modèle:Alcomparer aux pulsations propres de l'oscillateur à deux ressorts.

Retour aux variables d'origine

Modèle:AlDéduire de la résolution du système d'équations différentielles découplées les expressions des variables $X_1(t)$ et $X_2(t)$ puis retrouver les modes propres d'oscillation de l'oscillateur harmonique à deux ressorts.

Pendule élastique vertical non amorti

Schémas du ressort à vide et du ressort vertical à charge

Modèle:AlOn considère un ressort idéal, d'axe $(z^{\prime }z)$ vertical, de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$, dont l'extrémité supérieure $O$ est fixe et dont l'extrémité inférieure est liée à un objet $M$ de masse $m$, se déplaçant sans frottements le long de l'axe vertical $(Oz)$.

Modèle:AlOn note $\overrightarrow{g}=g{\overrightarrow{u}}_z$ le champ de pesanteur uniforme $({\overrightarrow{u}}_z$ étant un vecteur unitaire vertical descendant$)$.

Équation du mouvement et équilibre

Modèle:AlÉtablir l'équation différentielle vérifiée par la cote $z(t)$ de l'objet $M$ de masse $m$ ;

Modèle:Alen déduire sa position d'équilibre $z_{\text{éq}}$.

Modèle:AlPosant $\zeta (t)=z(t)-z_{\text{éq}}$, réécrire la nouvelle équation différentielle vérifiée par $\zeta (t)$.

Modèle:AlCommenter le résultat obtenu.

Modèle:AlL'objet étant lâché à $t=0$ depuis sa position d'équilibre avec une vitesse initiale ${\overrightarrow{v}}_0=v_0{\overrightarrow{u}}_z$, déterminer l'expression de $\zeta (t)$ pour tout $t$.

Énergie

Modèle:AlLe mouvement de l'objet $M$ étant vertical, son énergie potentielle comporte, non seulement un terme d'« énergie potentielle élastique », mais aussi
Modèle:AlModèle:Transparentun terme d'énergie potentielle de pesanteur «$U_{\text{pes}}(M)=-mgz+cst{e}_2$».

Modèle:AlMontrer que l'énergie potentielle totale peut être mise sous la forme «$U=\frac{1}{2}k{\zeta }^2+cste$» ;

Modèle:Alchoisissant comme référence de l'énergie potentielle totale, la position d'équilibre de l'objet $M$, que vaut, dans ce cas, $cste$ ?

Modèle:AlEn utilisant l'expression de $\zeta (t)$ trouvée précédemment, en déduire l'expression de l'énergie mécanique $E_m$ de l'objet $M$ en fonction de $m$, $v_0$ et ${\omega }_0$ ;

Modèle:Alcommenter le résultat obtenu.

Modèle:AlOn démontre, en mécanique, qu'en absence de frottements et d'apport d'énergie de l'extérieur, l'énergie mécanique d'un objet est conservée ; utiliser cette propriété pour établir une intégrale 1^ère du mouvement de l'objet $M$ en fonction de $\zeta (t)$, $\dot{\zeta }(t)$, $m$, $k$ et $v_0$ ;

Modèle:Alen déduire l'équation différentielle du 2^ème ordre vérifiée par $\zeta (t)$.