Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage

Une étude des systèmes d'équations différentielles couplées ne peut évidemment pas être exhaustive.

Notion de système d'équations différentielles couplées

Modèle:Définition Modèle:AlLa méthode de résolution du système des $n$ équations différentielles « couplées » aux $n$ fonctions indépendantes de la même variable $[$ avec $n \in ℕ^{*} ∖ {1}]$
Modèle:Al Modèle:Transparentconsiste à réaliser un « découplage » c.-à-d. trouver un système équivalent de $n$ autres équations différentielles à $n$ autres fonctions indépendantes de la même variable
Modèle:Al Modèle:Transparenttel que chaque équation différentielle ne dépende que d'une nouvelle fonction de la variable ^[1] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentil est alors possible de résoudre chaque équation différentielle indépendamment des autres
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ c.-à-d. de trouver les $n$ nouvelles fonctions de la même variable $]$ puis
Modèle:Al Modèle:Transparentd'en déduire les solutions du système d'équations différentielles « couplées »
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ c.-à-d. de trouver les $n$ fonctions d'origine de la même variable $]$ .

Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

Modèle:AlSoit ${\begin{matrix} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + c_{1} f_{1} (x) = e_{1} f_{2} (x) (1) \\ \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + c_{2} f_{2} (x) = e_{2} f_{1} (x) (2) \end{matrix}}$ ^[2]Modèle:, ^[3] avec les quatre constantes $(c_{1}, c_{2}, e_{1}, e_{2}) \in {[ℝ^{*}]}^{4}$ connues et les deux fonctions réelles ${f_{1}, f_{2}}$ de la variable réelle $x$ à déterminer ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton vérifie aisément le couplage des équations différentielles ${(1), (2)}$ car
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $f_{1} (x)$ sans terme du 1^er ordre,
Modèle:Al Modèle:Transparent $(1)$ a un 2^nd membre « excitation » dépendant de $f_{2} (x)$ , inconnue en absence de
Modèle:Al Modèle:Transparentrésolution de la 2^ème équation différentielle $(2)$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentl'impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $(1)$ avant la 2^ème $(2)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $f_{2} (x)$ sans terme du 1^er ordre,
Modèle:Al Modèle:Transparent $(2)$ a un 2^nd membre « excitation » dépendant de $f_{1} (x)$ , inconnue en absence de
Modèle:Al Modèle:Transparentrésolution de la 1^ère équation différentielle $(1)$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentl'impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $(2)$ avant la 1^ère $(1)$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparentle couplage des deux équations différentielles.

Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

Généralités

Modèle:AlLes deux équations différentielles couplées ${(1), (2)}$ étant linéaires ^[3], il semble possible de les découpler par C.L. ^[4] $α (1) + β (2)$ et définition associée de $F_{α, β} (x) = α f_{1} (x) + β f_{2} (x)$
Modèle:Al Modèle:Transparenttelle que $α (1) + β (2)$ ne dépende que de $F_{α, β} (x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentceci nécessitant un choix de $(α, β)$ pour être réalisé $\dots$
Modèle:Al Modèle:TransparentCe découplage sera effectif si on trouve deux C.L. ^[4] distinctes des équations différentielles ${(1), (2)}$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentun système d'équations différentielles découplées indépendantes en ${F_{α_{1}, β_{1}} (x), F_{α_{2}, β_{2}} (x)}$
Modèle:Al Modèle:Transparentéquivalent au système d'équations différentielles couplées ${(1), (2)} \dots$

Mise en pratique du découplage par combinaison linéaire

Modèle:AlFormant $α (1) + β (2)$ $\Rightarrow$ $α [\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + c_{1} f_{1} (x)] + β [\frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + c_{2} f_{2} (x)] = α [e_{1} f_{2} (x)] + β [e_{2} f_{1} (x)]$ dans laquelle la somme des dérivées 2^ndes du 1^er membre $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} [α f_{1} + β f_{2}]}{d x^{2}} (x) + c_{1} α f_{1} (x) + c_{2} β f_{2} (x) = e_{1} \frac{α}{β} β f_{2} (x) + e_{2} \frac{β}{α} α f_{1} (x)$ si $(α, β)$ est $\neq (0, 0)$ soit, avec $F_{α, β} (x) = α f_{1} (x) + β f_{2} (x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} F_{α, β}}{d x^{2}} (x) = [e_{2} \frac{β}{α} - c_{1}] α f_{1} (x) + [e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}] β f_{2} (x)$ , la condition pour que le 2^nd membre s'écrive en fonction de $F_{α, β} (x) = α f_{1} (x) + β f_{2} (x)$ étant
Modèle:Al Modèle:Transparent $[e_{2} \frac{β}{α} - c_{1}] = [e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ $\Leftrightarrow$ $e_{1} {(\frac{α}{β})}^{2} + (c_{1} - c_{2}) \frac{α}{β} - e_{2} = 0$ c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{α}{β}$ solution de l'équation algébrique du 2^ème degré $e_{1} {(\frac{α}{β})}^{2} + (c_{1} - c_{2}) \frac{α}{β} - e_{2} = 0$ ^[5] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentl'équation algébrique du 2^ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes si son discriminant $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2}$ est $> 0$ ^[6],
Modèle:Al Modèle:Transparentce que semble nécessaire pour la réussite d'un découplage dans $ℝ$ :
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ avec $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} > 0$ ^[6], nous avons deux solutions réelles distinctes ${(\frac{α}{β})}_{1}$ et ${(\frac{α}{β})}_{2}$ , pour chacune,
Modèle:Al Modèle:Transparentle 2^nd membre de $α (1) + β (2)$ s'écrit $[e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}] [α f_{1} (x) + β f_{2} (x)]$ ^[7] $= [e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}] F_{α, β} (x)$ d'où :
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ en posant $k_{1} = - [e_{1} {(\frac{α}{β})}_{1} - c_{2}]$ et $F_{1} (x) = F_{α_{1}, β_{1}} (x) = α_{1} f_{1} (x) + β_{1} f_{2} (x)$ ^[8] comme nouvelle fonction,
Modèle:Al Modèle:Transparent $F_{1} (x)$ solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants
Modèle:Al Modèle:Transparentdu 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et
Modèle:Al Modèle:Transparentindépendante $\frac{d^{2} F_{1}}{d x^{2}} (x) + k_{1} F_{1} (x) = 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ en posant $k_{2} = - [e_{1} {(\frac{α}{β})}_{2} - c_{2}]$ et $F_{2} (x) = F_{α_{2}, β_{2}} (x) = α_{2} f_{1} (x) + β_{2} f_{2} (x)$ ^[8] comme nouvelle fonction,
Modèle:Al Modèle:Transparent $F_{2} (x)$ solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants
Modèle:Al Modèle:Transparentdu 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et
Modèle:Al Modèle:Transparentindépendante $\frac{d^{2} F_{2}}{d x^{2}} (x) + k_{2} F_{2} (x) = 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ soit la réalisation du découplage du système d'équations différentielles couplées ${(1), (2)}$ dans $ℝ$
Modèle:Al Modèle:Transparentselon « ${\begin{matrix} \frac{d^{2} F_{1}}{d x^{2}} (x) + k_{1} F_{1} (x) = 0 \\ \frac{d^{2} F_{2}}{d x^{2}} (x) + k_{2} F_{2} (x) = 0 \end{matrix}}$ » ;

Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ avec $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} = 0$ ^[9], nous avons une solution réelle double ${(\frac{α}{β})}_{d} = \frac{c_{2} - c_{1}}{2 e_{1}} = \frac{2 e_{2}}{c_{1} - c_{2}}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentle 2^nd membre de $α (1) + β (2)$ s'écrit $[e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}] [α f_{1} (x) + β f_{2} (x)]$ ^[10] $= [e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}] F_{α, β} (x)$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= [e_{1} \frac{c_{2} - c_{1}}{2 e_{1}} - c_{2}] F_{α, β} (x)$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= - \frac{c_{1} + c_{2}}{2} F_{α, β} (x)$ d'où :
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ en posant $k_{d} = \frac{c_{1} + c_{2}}{2}$ et $F_{d} (x) = F_{α_{d}, β_{d}} (x) = α_{d} f_{1} (x) + β_{d} f_{2} (x)$ ^[11] comme nouvelle fonction,
Modèle:Al Modèle:Transparent $F_{d} (x)$ solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre,
Modèle:Al Modèle:Transparenthomogène, sans terme du 1^er ordre et indépendante
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} F_{d}}{d x^{2}} (x) + k_{d} F_{d} (x) = 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison entre les deux solutions cherchées
Modèle:Al Modèle:Transparent $α_{d} f_{1} (x) + β_{d} f_{2} (x) = F_{d} (x)$ ^[12],
Modèle:Al Modèle:Transparentnous constatons que le découplage du système initial d'équations différentielles ${(1), (2)}$ par C.L. ^[4] n'aboutit pas ^[13] ;

Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ avec $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} < 0$ ^[9], nous n'avons pas de solutions réelles $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentun découplage par C.L. ^[4] dans $ℝ$ du système d'équations différentielles couplées ${(1), (2)}$ n'est pas possible,
Modèle:Al Modèle:Transparentil faut donc chercher une autre méthode de découplage dans le but de résoudre le système $\dots$

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectif

Modèle:AlCas $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} > 0$ ^[6] : le système d'équations différentielles couplées ${(1), (2)}$ étant équivalent au système d'équations différentielles découplées ${\begin{matrix} \frac{d^{2} F_{1}}{d x^{2}} (x) + k_{1} F_{1} (x) = 0 \\ \frac{d^{2} F_{2}}{d x^{2}} (x) + k_{2} F_{2} (x) = 0 \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparentavec ${\begin{matrix} k_{1} = - [e_{1} {(\frac{α}{β})}_{1} - c_{2}] \\ k_{2} = - [e_{1} {(\frac{α}{β})}_{2} - c_{2}] \end{matrix}}$ où ${(\frac{α}{β})}_{1}$ et ${(\frac{α}{β})}_{2}$ sont les deux
Modèle:Al Modèle:Transparentsolutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2^ème degré
Modèle:Al Modèle:Transparent« $e_{1} {(\frac{α}{β})}^{2} + (c_{1} - c_{2}) \frac{α}{β} - e_{2} = 0$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} F_{1} (x) = F_{α_{1}, β_{1}} (x) = α_{1} f_{1} (x) + β_{1} f_{2} (x) \\ F_{2} (x) = F_{α_{2}, β_{2}} (x) = α_{2} f_{1} (x) + β_{2} f_{2} (x) \end{matrix}}$ ^[8]Modèle:, ^[14] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante ^[15] nous permet d'obtenir respectivement $F_{1} (x)$ et $F_{2} (x)$ en fonction de $x$ avec,
Modèle:Al Modèle:Transparentpour chaque fonction, deux constantes réelles arbitraires $(A_{1}, B_{1})$ et $(A_{2}, B_{2})$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparentil reste alors à revenir aux fonctions initiales $f_{1} (x)$ et $f_{2} (x)$ en résolvant ${\begin{matrix} α_{1} f_{1} (x) + β_{1} f_{2} (x) = F_{1} (x) (𝔞_{1}) \\ α_{2} f_{1} (x) + β_{2} f_{2} (x) = F_{2} (x) (𝔞_{2}) \end{matrix}}$ ^[8]
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ en formant $β_{2} (𝔞_{1}) - β_{1} (𝔞_{2})$ $\Rightarrow$ $f_{1} (x) = \frac{β_{2} F_{1} (x) - β_{1} F_{2} (x)}{α_{1} β_{2} - α_{2} β_{1}} = \frac{\frac{F_{1} (x)}{β_{1}} - \frac{F_{2} (x)}{β_{2}}}{{(\frac{α}{β})}_{1} - {(\frac{α}{β})}_{2}}$ ^[8]Modèle:, ^[16] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ en formant $α_{2} (𝔞_{1}) - α_{1} (𝔞_{2})$ $\Rightarrow$ $f_{2} (x) = - \frac{α_{2} F_{1} (x) - α_{1} F_{2} (x)}{α_{1} β_{2} - α_{2} β_{1}} = - \frac{{(\frac{α}{β})}_{2} \frac{F_{1} (x)}{β_{1}} - {(\frac{α}{β})}_{1} \frac{F_{2} (x)}{β_{2}}}{{(\frac{α}{β})}_{1} - {(\frac{α}{β})}_{2}}$ ^[8]Modèle:, ^[16].

Modèle:Al Modèle:TransparentExemple : ${\begin{matrix} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + f_{1} (x) = 3 f_{2} (x) (1) \\ \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + 3 f_{2} (x) = f_{1} (x) (2) \end{matrix}}$ ^[2] c.-à-d. $c_{1} = 1$ , $c_{2} = 3$ , $e_{1} = 3$ et $e_{2} = 1$ $\Rightarrow$ $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} = 16 > 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentles deux solutions réelles distinctes ${(\frac{α}{β})}_{1}$ et ${(\frac{α}{β})}_{2}$ de l'équation algébrique du 2^ème degré « $3 {(\frac{α}{β})}^{2} - 2 \frac{α}{β} - 1 = 0$ » s'écrivant
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} {(\frac{α}{β})}_{1} = \frac{2}{2 \times 3} + \frac{\sqrt{16}}{2 \times 3} = 1 \\ {(\frac{α}{β})}_{2} = \frac{2}{2 \times 3} - \frac{\sqrt{16}}{2 \times 3} = - \frac{1}{3} \end{matrix}}$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} k_{1} & = & - [e_{1} {(\frac{α}{β})}_{1} - c_{2}] & = & - [1 \times 3 - 3] & = & 0 \\ k_{2} & = & - [e_{1} {(\frac{α}{β})}_{2} - c_{2}] & = & - [- \frac{1}{3} \times 3 - 3] & = & 4 \end{matrix}}$ soit,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec ${\begin{matrix} (α_{1}, β_{1}) = (1, 1) \\ (α_{2}, β_{2}) = (- 1, 3) \end{matrix}}$ ^[8] $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} F_{1} (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x) \\ F_{2} (x) = - f_{1} (x) + 3 f_{2} (x) \end{matrix}}$ ^[8], on aboutit au découplage suivant
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} \frac{d^{2} F_{1}}{d x^{2}} (x) & = & 0 \\ \frac{d^{2} F_{2}}{d x^{2}} (x) + 4 F_{2} (x) & = & 0 \end{matrix}}$ d'où ${\begin{matrix} F_{1} (x) = A_{1} x + B_{1} \\ F_{2} (x) = A_{2} \cos (2 x) + B_{2} \sin (2 x) \end{matrix}}$ avec ${\begin{matrix} A_{1}, B_{1} \\ A_{2}, B_{2} \end{matrix}}$ constantes réelles arbitraires ^[16] d'où

Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} f_{1} (x) & = & \frac{3 F_{1} (x) - F_{2} (x)}{4} & = & \frac{3 A_{1} x + 3 B_{1} - A_{2} \cos (2 x) - B_{2} \sin (2 x)}{4} \\ f_{2} (x) & = & \frac{F_{1} (x) + F_{2} (x)}{4} & = & \frac{A_{1} x + B_{1} + A_{2} \cos (2 x) + B_{2} \sin (2 x)}{4} \end{matrix}}$ avec ${\begin{matrix} A_{1}, B_{1} \\ A_{2}, B_{2} \end{matrix}}$ constantes réelles arbitraires ^[16].

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échoué

Modèle:AlCas $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} = 0$ ^[9] : le découplage par C.L. ^[4] réelle du système d'équations différentielles couplées ${(1), (2)}$ n'aboutissant pas,
Modèle:Al Modèle:Transparentla méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante $\frac{d^{2} F_{d}}{d x^{2}} (x) + k_{d} F_{d} (x) = 0$ avec $k_{d} = \frac{c_{1} + c_{2}}{2}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $F_{d} (x) = F_{α_{d}, β_{d}} (x) = α_{d} f_{1} (x) + β_{d} f_{2} (x)$ ^[11] dans laquelle
Modèle:Al Modèle:Transparent ${(\frac{α}{β})}_{d} = \frac{c_{2} - c_{1}}{2 e_{1}} = \frac{2 e_{2}}{c_{1} - c_{2}}$ ^[11]Modèle:, ^[14] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante ^[15] nous permet d'obtenir $F_{d} (x)$ en fonction de $x$ avec
Modèle:Al Modèle:Transparentdeux constantes réelles arbitraires $(A_{d}, B_{d})$ , c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparentla relation de liaison entre les deux fonctions cherchées
Modèle:Al Modèle:Transparent $α_{d} f_{1} (x) + β_{d} f_{2} (x) = F_{d} (x)$ dont
Modèle:Al Modèle:Transparenton peut tirer $f_{2} (x)$ en fonction de $F_{d} (x)$ et $f_{1} (x)$ selon
Modèle:Al Modèle:Transparent $f_{2} (x) = \frac{F_{d} (x)}{β_{d}} - {(\frac{α}{β})}_{d} f_{1} (x)$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton reporte alors l'expression de $f_{2} (x)$ dans l'équation différentielle $(1)$ $\Rightarrow$ $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + c_{1} f_{1} (x) = e_{1} \frac{F_{d} (x)}{β_{d}} - e_{1} {(\frac{α}{β})}_{d} f_{1} (x)$ ^[17] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + c_{1} f_{1} (x) = e_{1} \frac{F_{d} (x)}{β_{d}} - \frac{c_{2} - c_{1}}{2} f_{1} (x)$ soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{c_{2} + c_{1}}{2} f_{1} (x) = e_{1} \frac{F_{d} (x)}{β_{d}}$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir $f_{1} (x)$ en fonction de $x$ avec deux nouvelles
Modèle:Al Modèle:Transparentconstantes réelles arbitraires $({A^{'}}_{1}, {B^{'}}_{1})$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentune solution particulière ^[18] associée à l'excitation
Modèle:Al Modèle:Transparent $e_{1} \frac{F_{d} (x)}{β_{d}}$ ^[19] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentnous en déduisons alors $f_{2} (x)$ par report de $f_{1} (x)$ dans $f_{2} (x) = \frac{F_{d} (x)}{β_{d}} - {(\frac{α}{β})}_{d} f_{1} (x) \dots$

Modèle:Al Modèle:TransparentExemple : ${\begin{matrix} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + f_{1} (x) = f_{2} (x) (1) \\ \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + 3 f_{2} (x) = - f_{1} (x) (2) \end{matrix}}$ ^[2] c.-à-d. $c_{1} = 1$ , $c_{2} = 3$ , $e_{1} = 1$ et $e_{2} = - 1$ $\Rightarrow$ $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} = 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution réelle double ${(\frac{α}{β})}_{d}$ de l'équation algébrique du 2^ème degré « ${(\frac{α}{β})}^{2} - 2 \frac{α}{β} + 1 = 0$ » s'écrivant
Modèle:Al Modèle:Transparent ${(\frac{α}{β})}_{d} = 1$ $\Rightarrow$ $k_{d} = - [e_{1} {(\frac{α}{β})}_{d} - c_{2}] = - [1 \times 1 - 3] = 2$ ^[20] soit, avec $(α_{d}, β_{d}) = (1, 1)$ ^[11] $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $F_{d} (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x)$ ^[11], solution de l'équation différentielle découplée indépendante $\frac{d^{2} F_{d}}{d x^{2}} (x) + 2 F_{d} (x) = 0$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $F_{d} (x) = A_{d} \cos (\sqrt{2} x) + B_{d} \sin (\sqrt{2} x)$ ^[15], $(A_{d}, B_{d})$ constantes réelles arbitraires,
Modèle:Al Modèle:Transparentsoit, la relation de liaison $f_{1} (x) + f_{2} (x) = A_{d} \cos (\sqrt{2} x) + B_{d} \sin (\sqrt{2} x)$ , $(A_{d}, B_{d})$ constantes réelles arbitraires ;
Modèle:Al Modèle:Transparentde cette relation on tire $f_{2} (x)$ en fonction de $f_{1} (x)$ selon $f_{2} (x) = A_{d} \cos (\sqrt{2} x) + B_{d} \sin (\sqrt{2} x) - f_{1} (x)$
Modèle:Al Modèle:Transparentque l'on reporte dans l'équation $(1)$ pour obtenir un découplage par substitution d'où
Modèle:Al Modèle:Transparentla 2^ème équation différentielle découplée indépendante
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + f_{1} (x) = A_{d} \cos (\sqrt{2} x) + B_{d} \sin (\sqrt{2} x) - f_{1} (x)$ ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + 2 f_{1} (x) = A_{d} \cos (\sqrt{2} x) + B_{d} \sin (\sqrt{2} x) (1^{″})$ ^[21]Modèle:, ^[22] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentsolution particulière de $(1^{″})$ : $f_{1, part} (x) = A x \cos (\sqrt{2} x) + B x \sin (\sqrt{2} x)$ ^[22] $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d f_{1, part}}{d x} (x) = A \cos (\sqrt{2} x) - \sqrt{2} A x \sin (\sqrt{2} x) + B \sin (\sqrt{2} x) + \sqrt{2} B x \cos (\sqrt{2} x)$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1, part}}{d x^{2}} (x) = - 2 \sqrt{2} A \sin (\sqrt{2} x) - (\sqrt{2})^{2} A x \cos (\sqrt{2} x) + 2 \sqrt{2} B \cos (\sqrt{2} x) - (\sqrt{2})^{2} B x \sin (\sqrt{2} x)$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1, part}}{d x^{2}} (x) + 2 f_{1, part} (x) = - 2 \sqrt{2} A \sin (\sqrt{2} x) + 2 \sqrt{2} B \cos (\sqrt{2} x)$ après simplification à identifier à
Modèle:Al Modèle:Transparent $A_{d} \cos (\sqrt{2} x) + B_{d} \sin (\sqrt{2} x)$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} B = \frac{A_{d}}{2 \sqrt{2}} \\ A = - \frac{B_{d}}{2 \sqrt{2}} \end{matrix}}$ soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparent $f_{1, part} (x) = - \frac{B_{d} x}{2 \sqrt{2}} \cos (\sqrt{2} x) + \frac{A_{d} x}{2 \sqrt{2}} \sin (\sqrt{2} x)$ et par suite,
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution libre étant $f_{1, l} (x) = A_{1} \cos (\sqrt{2} x) + B_{1} \sin (\sqrt{2} x)$ ^[15], on en déduit
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution de l'équation $(1^{″})$ , $f_{1} (x) = (A_{1} - \frac{B_{d} x}{2 \sqrt{2}}) \cos (\sqrt{2} x) + (B_{1} + \frac{A_{d} x}{2 \sqrt{2}}) \sin (\sqrt{2} x)$ ^[21], $(A_{1}, B_{1})$ constantes réelles arbitraires ;
Modèle:Al Modèle:Transparenton en déduit $f_{2} (x) = A_{d} \cos (\sqrt{2} x) + B_{d} \sin (\sqrt{2} x) - f_{1} (x) = (A_{d} - A_{1} + \frac{B_{d} x}{2 \sqrt{2}}) \cos (\sqrt{2} x) + (B_{d} - B_{1} - \frac{A_{d} x}{2 \sqrt{2}}) \sin (\sqrt{2} x)$ .

Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué

Modèle:AlCas $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} < 0$ ^[9] : le découplage par C.L. ^[4] réelle du système d'équations différentielles couplées ${(1), (2)}$ étant un échec complet ^[14],
Modèle:Al Modèle:Transparentnous n'obtenons aucune équation différentielle découplée indépendante par C.L. ^[4] réelle de ce système,
Modèle:Al Modèle:Transparentil nous faut donc rechercher une autre méthode de découplage et celle qui vient à l'esprit est la méthode « par substitution » ^[23]Modèle:, ^[24] :

Modèle:Al Modèle:Transparentde l'équation différentielle couplée $(1)$ , on tire $f_{2} (x) = \frac{1}{e_{1}} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{c_{1}}{e_{1}} f_{1} (x)$ que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée $(2)$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentl'équation différentielle découplée indépendante en $f_{1} (x)$ suivante $\frac{1}{e_{1}} \frac{d^{4} f_{1}}{d x^{4}} (x) + \frac{c_{1}}{e_{1}} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{c_{2}}{e_{1}} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{c_{1} c_{2}}{e_{1}} f_{1} (x) = e_{2} f_{1} (x)$ soit,
Modèle:Al Modèle:Transparentaprès simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ^[25] du 4^ème ordre en $f_{1} (x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{d^{4} f_{1}}{d x^{4}} (x) + (c_{1} + c_{2}) \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + (c_{1} c_{2} - e_{1} e_{2}) f_{1} (x) = 0 (1^{'})$ » ^[26] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante $(1^{'})$ en $f_{1} (x)$ ^[27] nous conduit à
Modèle:Al Modèle:Transparentla résolution de l'équation caractéristique $s^{4} + (c_{1} + c_{2}) s^{2} + (c_{1} c_{2} - e_{1} e_{2}) = 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentéquation algébrique bicarrée du 4^ème degré en $s$ , de discriminant en tant qu'équation du 2^ème degré en $s^{2}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $Δ = {(c_{1} + c_{2})}^{2} - 4 (c_{1} c_{2} - e_{1} e_{2}) = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} < 0$ , d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée ${\underline{s}}^{2} = - \frac{c_{1} + c_{2}}{2} \pm i \frac{\sqrt{- Δ}}{2} = - \frac{c_{1} + c_{2}}{2} \pm i \frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{2}$ ^[28] $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module $ρ$ ^[29] et d'arguments distincts ${\begin{matrix} θ & et & θ - π \\ - θ & et & - θ + π \end{matrix}}$ ^[30]
Modèle:Al Modèle:Transparentdeux à deux opposés soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $\underline{s} = ρ \cos (θ) \pm i ρ \sin (θ)$ ^[28] ou $\underline{s} = - ρ \cos (θ) \pm i ρ \sin (θ)$ ^[28] et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla fonction $f_{1} (x)$ s'écrit « $f_{1} (x) = A \exp [ρ \cos (θ) x] \cos [ρ \sin (θ) x + φ] + B \exp [- ρ \cos (θ) x] \cos [ρ \sin (θ) x + ψ]$ » ^[31]
Modèle:Al Modèle:Transparentavec $A$ , $B$ , $φ$ et $ψ$ des constantes arbitraires d'intégration ;
Modèle:Al Modèle:Transparentla détermination de la fonction $f_{2} (x)$ se fait alors en reportant l'expression de $f_{1} (x)$ dans $f_{2} (x) = \frac{1}{e_{1}} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{c_{1}}{e_{1}} f_{1} (x)$ $\dots$

Modèle:Al Modèle:TransparentExemple : ${\begin{matrix} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + f_{1} (x) = 2 f_{2} (x) (1) \\ \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + 3 f_{2} (x) = - f_{1} (x) (2) \end{matrix}}$ ^[2] c.-à-d. $c_{1} = 1$ , $c_{2} = 3$ , $e_{1} = 2$ et $e_{2} = - 1$ $\Rightarrow$ $Δ = {(c_{1} - c_{2})}^{2} + 4 e_{1} e_{2} = - 4 < 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentle découplage de ce système d'équations différentielles par C.L. ^[4] réelle échouant totalement, on procède au découplage « par substitution » :
Modèle:Al Modèle:Transparentde l'équation différentielle couplée $(1)$ , on tire $f_{2} (x) = \frac{1}{2} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{1}{2} f_{1} (x)$ que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée $(2)$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentl'équation différentielle découplée indépendante en $f_{1} (x)$ suivante $\frac{1}{2} \frac{d^{4} f_{1}}{d x^{4}} (x) + \frac{1}{2} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{3}{2} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{3}{2} f_{1} (x) = - f_{1} (x)$ soit,
Modèle:Al Modèle:Transparentaprès simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ^[25] du 4^ème ordre en $f_{1} (x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{d^{4} f_{1}}{d x^{4}} (x) + 4 \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + 5 f_{1} (x) = 0 (1^{'})$ » ^[32] ;
Modèle:Al Modèle:Transparentla résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante $(1^{'})$ en $f_{1} (x)$ ^[27] nous conduit à
Modèle:Al Modèle:Transparentla résolution de l'équation caractéristique $s^{4} + 4 s^{2} + 5 = 0$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentéquation algébrique bicarrée du 4^ème degré en $s$ , de discriminant en tant qu'équation du 2^ème degré en $s^{2}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $Δ = {(4)}^{2} - 4 \times 1 \times 5 = - 4 < 0$ , d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée ${\underline{s}}^{2} = - 2 \pm i = \sqrt{5} \exp {\pm i [π - \arctan (\frac{1}{2})]}$ ^[28]Modèle:, ^[33] $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module $ρ = \sqrt[4]{5}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentd'arguments distincts, deux à deux opposés,
Modèle:Al Modèle:Transparent $a r g [\underline{s}] \equiv \pm [\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] (\mod π)$ soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $\underline{s} = {\begin{matrix} \sqrt[4]{5} \times \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \pm i \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \\ - \sqrt[4]{5} \times \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \pm i \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \end{matrix}}$ ^[28]Modèle:, ^[34] d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent« $f_{1} (x) = A \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x + φ] + B \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x + ψ]$ » ^[31]
Modèle:Al Modèle:Transparentavec $A$ , $B$ , $φ$ et $ψ$ des constantes arbitraires d'intégration, ou encore,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $f_{1} (x) = A^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + B^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $+ C^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + D^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x]$ » ^[31]
Modèle:Al Modèle:Transparentavec $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ et $D^{'}$ des constantes arbitraires d'intégration ;
Modèle:Al Modèle:Transparentla détermination de la fonction $f_{2} (x)$ se fait alors en reportant l'expression de $f_{1} (x)$ dans $f_{2} (x) = \frac{1}{2} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{1}{2} f_{1} (x)$ avec $\frac{d f_{1}}{d x} (x) =$
Modèle:Al Modèle:Transparent $A^{'} \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - A^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $+ B^{'} \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + B^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $- C^{'} \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - C^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $- D^{'} \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + D^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x]$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) = A^{'} \frac{\sqrt{5} (9 - 4 \sqrt{5})}{10 - 4 \sqrt{5}} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - \frac{A^{'}}{2} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$ ^[35]
Modèle:Al Modèle:Transparent $- \frac{A^{'}}{2} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - A^{'} \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \dots$ ^[35]
Modèle:Al Modèle:Transparent $B^{'} \frac{\sqrt{5} (9 - 4 \sqrt{5})}{10 - 4 \sqrt{5}} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \frac{B^{'}}{2} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$ ^[35]
Modèle:Al Modèle:Transparent $+ \frac{B^{'}}{2} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - B^{'} \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \dots$ ^[35]
Modèle:Al Modèle:Transparent $C^{'} \frac{\sqrt{5} (9 - 4 \sqrt{5})}{10 - 4 \sqrt{5}} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \frac{C^{'}}{2} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$ ^[35]
Modèle:Al Modèle:Transparent $+ \frac{C^{'}}{2} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - C^{'} \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \dots$ ^[35]
Modèle:Al Modèle:Transparent $D^{'} \frac{\sqrt{5} (9 - 4 \sqrt{5})}{10 - 4 \sqrt{5}} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - \frac{D^{'}}{2} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$ ^[35]
Modèle:Al Modèle:Transparent $- \frac{D^{'}}{2} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - D^{'} \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x]$ ^[35] ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) = A^{'} \frac{4 - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - A^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \dots$ ^[36]
Modèle:Al Modèle:Transparent $B^{'} \frac{4 - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + B^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \dots$ ^[36]
Modèle:Al Modèle:Transparent $C^{'} \frac{4 - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + C^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \dots$ ^[36]
Modèle:Al Modèle:Transparent $D^{'} \frac{4 - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - D^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x]$ ^[36] $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + f_{1} (x) = - A^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - A^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \dots$ ^[37]
Modèle:Al Modèle:Transparent $- B^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + B^{'} \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \dots$ ^[37]
Modèle:Al Modèle:Transparent $C^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + C^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \dots$ ^[37]
Modèle:Al Modèle:Transparent $D^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] - D^{'} \exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x]$ ^[37] d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $f_{2} (x) = \frac{1}{2} [\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + f_{1} (x)] = \exp [\frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] {\frac{B^{'} - A^{'}}{2} \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \frac{B^{'} + A^{'}}{2} \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x]} + \dots$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\exp [- \frac{\sqrt[4]{5} (\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] {\frac{C^{'} - D^{'}}{2} \cos [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x] + \frac{C^{'} + D^{'}}{2} \sin [\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}} x]}$ ^[38].

Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général

Présentation de l'exemple

Modèle:AlSoit ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{1}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{1} (x) = 0 (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{1}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{2} (x) = 0 (2) \\ \frac{d f_{3}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{1}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{3} (x) = e (3) \end{matrix}}$ avec $(b, e) \in {[ℝ^{*}]}^{2}$ constantes connues et ${f_{1}, f_{2}, f_{3}}$ trois fonctions réelles de la variable réelle $x$ à déterminer ;
Modèle:Alon vérifie aisément que les équations différentielles ${(1), (2), (3)}$ sont couplées car
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la 1^ère équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $f_{1} (x)$ , c.-à-d. $(1)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentfait intervenir les deux autres fonctions $f_{2} (x)$ et $f_{3} (x)$ , nécessitant de résoudre
Modèle:Al Modèle:Transparentles deux autres équations différentielles $(2)$ et $(3)$ pour être connues $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentimpossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $(1)$ avant les 2^ème et 3^ème ${(2), (3)}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la 2^ème équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $f_{2} (x)$ , c.-à-d. $(2)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentfait intervenir les deux autres fonctions $f_{3} (x)$ et $f_{1} (x)$ , nécessitant de résoudre
Modèle:Al Modèle:Transparentles deux autres équations différentielles $(3)$ et $(1)$ pour être connues $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentimpossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $(2)$ avant les 3^ème et 1^ère ${(3), (1)}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la 3^ème équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $f_{3} (x)$ , c.-à-d. $(3)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentfait intervenir les deux autres fonctions $f_{1} (x)$ et $f_{2} (x)$ , nécessitant de résoudre
Modèle:Al Modèle:Transparentles deux autres équations différentielles $(1)$ et $(2)$ pour être connues $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentimpossibilité de résoudre la 3^ème équation différentielle $(3)$ avant les 1^ère et 2^ème ${(1), (2)}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le couplage des trois équations différentielles.

Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées

Modèle:AlNous admettrons que le découplage complet ^[39] du système d'équations différentielles non linéaires couplées ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{1}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{1} (x) = 0 (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{1}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{2} (x) = 0 (2) \\ \frac{d f_{3}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{1}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{3} (x) = e (3) \end{matrix}}$ est impossible ^[40] ;

Modèle:Altoutefois, compte-tenu de la ressemblance des équations différentielles $(1)$ et $(2)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentil est possible de trouver une relation entre les fonctions ${f_{1} (x), f_{2} (x)}$ indépendante de $f_{3} (x)$ , c'est ce que nous proposons de faire dans un 1^er temps.

Établissement d'une relation entre f₁(x) et f₂(x) indépendante de f₃(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées

Modèle:AlSupposant au moins une des fonctions ${f_{1} (x), f_{2} (x)}$ non identiquement nulle ^[41], plus précisément supposons $f_{2} \equiv̸ 0$ et
Modèle:Alformons $f_{2} (x) \times (1) - f_{1} (x) \times (2)$ $\Leftrightarrow$ $f_{2} (x) [\frac{d f_{1}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{1}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{1} (x)] - f_{1} (x) [\frac{d f_{2}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{1}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{2} (x)] = 0$ ou, après simplification évidente,
Modèle:Al Modèle:Transparent $f_{2} (x) \frac{d f_{1}}{d x} (x) - f_{1} (x) \frac{d f_{2}}{d x} (x) = 0$ soit, en divisant les deux membres par $f_{2}^{2} (x)$ non identiquement nulle ^[42],
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{f_{2} (x) \frac{d f_{1}}{d x} (x) - f_{1} (x) \frac{d f_{2}}{d x} (x)}{f_{2}^{2} (x)} = 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{d (\frac{f_{1}}{f_{2}})}{d x} (x) = 0$ qui s'intègre en $\frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)} = k$ $\Leftrightarrow$ $f_{1} (x) = k f_{2} (x)$ avec $k$ constante réelle d'intégration ^[43];
Modèle:Al Modèle:Transparentles équations différentielles $(1)$ et $(2)$ se réécrivent alors ${\begin{matrix} k \frac{d f_{2}}{d x} (x) & - b \sqrt{k^{2} f_{2}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} k f_{2} (x) & = 0 \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) & - b \sqrt{k^{2} f_{2}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{2} (x) & = 0 \end{matrix}}$ c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparentselon une même équation différentielle $\frac{d f_{2}}{d x} (x) - b \sqrt{k^{2} f_{2}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{2} (x) = 0$ ou,
Modèle:Al Modèle:Transparenten introduisant la nouvelle fonction $F_{2} (x) = \sqrt{k^{2} + 1} f_{2} (x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentselon l'équation différentielle $\frac{d F_{2}}{d x} (x) - b \sqrt{F_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} F_{2} (x) = 0 (2^{'})$ ^[44] ;

Modèle:Al Modèle:Transparentl'équation différentielle

(3)

se réécrivant

\frac{d f_{3}}{d x} (x) - b \sqrt{k^{2} f_{2}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{3} (x) = e

\Leftrightarrow

\frac{d f_{3}}{d x} (x) - b \sqrt{F_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{3} (x) = e (3^{'})

\Rightarrow

Modèle:Al Modèle:Transparentle système des trois équations différentielles non linéaires couplées

{(1), (2), (3)}

en les trois fonctions

{f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)}

Modèle:Al Modèle:Transparentest équivalent au système des deux équations différentielles non linéaires couplées

{(2^{'}), (3^{'})}

Modèle:Al Modèle:Transparenten les deux fonctions

{F_{2} (x), f_{3} (x)}

à savoir

{\begin{matrix} \frac{d F_{2}}{d x} (x) - b \sqrt{F_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} F_{2} (x) = 0 (2^{'}) \\ \frac{d f_{3}}{d x} (x) - b \sqrt{F_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{3} (x) = e (3^{'}) \end{matrix}}

où

F_{2} (x) = \sqrt{k^{2} + 1} f_{2} (x)

avec

k = \frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)}

.

Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F₂(x) et f₃(x)

Modèle:AlNous admettrons que la poursuite du découplage du système des deux équations différentielles non linéaires couplées ${(2^{'}), (3^{'})}$ est impossible,
Modèle:Alen absence de découplage seule une résolution numérique est possible $[$ voir le paragraphe « utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier » du chap. $11$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .

Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation de l'exemple

Modèle:AlSoit ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x) & = & a f_{2} (x) + d (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x) & = & - a f_{1} (x) + e (2) \end{matrix}}$ ^[45]Modèle:, ^[3] avec $a \in ℝ^{*}$ , $(b, d, e) \in ℝ^{3}$ constantes connues et ${f_{1}, f_{2}}$ deux fonctions réelles de la variable réelle $x$ à déterminer ;
Modèle:Alon vérifie aisément que les équations différentielles ${(1), (2)}$ sont couplées car
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la 1^ère équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $f_{1} (x)$ , c.-à-d. $(1)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenta un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de $f_{2} (x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentnécessitant de résoudre la 2^ème équation différentielle $(2)$ pour être connu $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentimpossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $(1)$ avant la 2^ème $(2)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ la 2^ème équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $f_{2} (x)$ , c.-à-d. $(2)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparenta un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de $f_{1} (x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentnécessitant de résoudre la 1^ère équation différentielle $(1)$ pour être connu $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparentimpossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $(2)$ avant la 1^ère $(1)$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ le couplage des deux équations différentielles ;
Modèle:Alparticularités supplémentaires du couplage : $▸$ même opérateur linéaire « $\frac{d}{d x} + b \times$ » s'appliquant sur $f_{1} (x)$ ou $f_{2} (x)$
Modèle:Al Modèle:Transparentdans le 1^er membre de $(1)$ ou $(2)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $▸$ dépendance de l'« excitation » de $(1)$ ou $(2)$ relativement à $f_{2} (x)$ ou $f_{1} (x)$ c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparentla fonction n'intervenant pas dans le 1^er membre à savoir
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ l'« excitation » de $(1)$ , équation en $f_{1} (x)$ , dépend de $f_{2} (x)$
Modèle:Al Modèle:Transparentselon « $a f_{2} (x)$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ l'« excitation » de $(2)$ , équation en $f_{2} (x)$ , dépend de $f_{1} (x)$
Modèle:Al Modèle:Transparentselon « $- a f_{1} (x)$ » ;
Modèle:Al Modèle:Transparentremarque : les « excitations » de $(1)$ et $(2)$ sont souvent les deux 1^ères composantes d'un
Modèle:Al Modèle:Transparentproduit vectoriel d'un vecteur $\vec{ℱ} (x) = f_{1} (x) {\vec{u}}_{x} + f_{2} (x) {\vec{u}}_{y}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentd'un autre vecteur $\vec{A} = a {\vec{u}}_{z}$ soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $\vec{ℱ} (x) \land \vec{A} = [f_{1} (x) {\vec{u}}_{x} + f_{2} (x) {\vec{u}}_{y}] \land [a {\vec{u}}_{z}]$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= a f_{1} (x) [{\vec{u}}_{x} \land {\vec{u}}_{z}] + a f_{2} (x) [{\vec{u}}_{y} \land {\vec{u}}_{z}]$ ^[46] soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $\vec{ℱ} (x) \land \vec{A} = a f_{2} (x) {\vec{u}}_{x} - a f_{1} (x) {\vec{u}}_{y}$ c.-à-d. effectivement
Modèle:Al Modèle:Transparentles « excitations » de $(1)$ et $(2)$ précédemment définies.

Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Modèle:AlFormant $α (1) + β (2)$ $\Rightarrow$ $α [\frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x)] + β [\frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x)] = α [a f_{2} (x) + d] + β [- a f_{1} (x) + e]$ dans laquelle la somme des dérivées 1^ères du 1^er membre $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d [α f_{1} + β f_{2}]}{d x} (x) + b α f_{1} (x) + b β f_{2} (x) = a \frac{α}{β} β f_{2} (x) - a \frac{β}{α} α f_{1} (x) + α d + β e$ si $(α, β)$ est $\neq (0, 0)$ soit, avec $F_{α, β} (x) = α f_{1} (x) + β f_{2} (x)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{d F_{α, β}}{d x} (x) = [- a \frac{β}{α} - b] α f_{1} (x) + [a \frac{α}{β} - b] β f_{2} (x) + α d + β e$ », le 2^nd membre s'écrivant en fonction de $F_{α, β} (x) = α f_{1} (x) + β f_{2} (x)$ si
Modèle:Al Modèle:Transparent $[- a \frac{β}{α} - b] = [a \frac{α}{β} - b]$ ^[47] $\Leftrightarrow$ ${(\frac{α}{β})}^{2} + 1 = 0$ sans solution réelle d'où
Modèle:Al Modèle:Transparentl'inapplicabilité de la méthode de découplage par C.L. ^[4] réelle du système d'équations différentielles couplées ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x) & = & a f_{2} (x) + d (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x) & = & - a f_{1} (x) + e (2) \end{matrix}}$ ^[45]Modèle:, ^[3].

Modèle:AlRemarque : Le découplage de ce système « par substitution » est possible ^[48] mais en fait, il existe une méthode de découplage par C.L. ^[4] complexe plus rapide, présentée ci-après ^[49].

Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Modèle:AlPréliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants couplées
Modèle:Al Modèle:Transparenttel que le 1^er membre corresponde à l'action d'un même opérateur linéaire $𝒪 ℒ []$ sur l'une des fonctions $f_{1} (x)$ ou $f_{2} (x)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentle 2^ème membre dépende linéairement de l'autre fonction $f_{2} (x)$ ou $f_{1} (x)$ avec des cœfficients de proportionnalité opposés
Modèle:Al Modèle:Transparentc.-à-d. ${\begin{matrix} 𝒪 ℒ [f_{1}] (x) = a f_{2} (x) + d (1) \\ 𝒪 ℒ [f_{2}] (x) = - a f_{1} (x) + e (2) \end{matrix}}$ ^[45]Modèle:, ^[3] avec $a \in ℝ^{*}$ et $(d, e) \in ℝ^{2}$ trois constantes connues,
Modèle:Al Modèle:Transparenttoute tentative de découplage par C.L. ^[4] réelle ^[14] conduisant à l'équation algébrique du 2^ème degré ${(\frac{α}{β})}^{2} + 1 = 0$
Modèle:Al Modèle:Transparentsans solutions réelles mais complexes $(\frac{α}{β}) = \pm i$ ^[50].

Modèle:AlMéthode de découplage par C.L. ^[4] complexe du système d'équations couplées ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x) & = & a f_{2} (x) + d (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x) & = & - a f_{1} (x) + e (2) \end{matrix}}$ ^[45]Modèle:, ^[3] avec $a \in ℝ^{*}$ , $(b, d, e) \in ℝ^{3}$ constantes connues :
Modèle:Al Modèle:Transparentformant $(1) + i (2)$ ^[51], $\Rightarrow$ $[\frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x)] + i [\frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x)] = [a f_{2} (x) + d] + i [- a f_{1} (x) + e]$ où la somme des dérivées 1^ères du 1^er membre s'écrit
Modèle:Al Modèle:Transparentselon la dérivée 1^ère de la fonction complexe $\underline{F} (x)$ ^[28]
Modèle:Al Modèle:Transparent $= f_{1} (x) + i f_{2} (x)$ telle que
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} f_{1} (x) = ℜ e [\underline{F} (x)] \\ f_{2} (x) = ℑ m [\underline{F} (x)] \end{matrix}}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentoù la somme des autres termes du 1^er membre s'écrit
Modèle:Al Modèle:Transparentselon $b [f_{1} (x) + i f_{2} (x)] = b \underline{F} (x)$ ^[28] soit, au final,
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d \underline{F}}{d x} (x) + b \underline{F} (x) = a [f_{2} (x) - i f_{1} (x)] + [d + i e]$ où les fonctions réelles ${f_{1} (x), f_{2} (x)}$ du 2^nd membre ne devraient s'exprimer qu'au profit
Modèle:Al Modèle:Transparentde la fonction complexe $\underline{F} (x) = f_{1} (x) + i f_{2} (x)$ pour que la méthode aboutisse, soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $[f_{2} (x) - i f_{1} (x)] = [- i^{2} f_{2} (x) - i f_{1} (x)] = - i [f_{1} (x) + i f_{2} (x)] = - i \underline{F} (x)$ ^[52] C.Q.F.É. ^[53] d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d \underline{F}}{d x} (x) + b \underline{F} (x) = - i a \underline{F} (x) + [d + i e]$ $\Leftrightarrow$ « $\frac{d \underline{F}}{d x} (x) + [b + i a] \underline{F} (x) = \underline{E}$ » ^[28] avec $\underline{E} = [d + i e] \in ℂ$ constante telle que
Modèle:Al Modèle:Transparent ${\begin{matrix} d = ℜ e [\underline{E}] \\ e = ℑ m [\underline{E}] \end{matrix}}$ soit finalement
Modèle:Al Modèle:Transparentle découplage par C.L. ^[4] complexe du système d'équations différentielles couplées ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x) & = & a f_{2} (x) + d (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x) & = & - a f_{1} (x) + e (2) \end{matrix}}$ ^[45]Modèle:, ^[3]
Modèle:Al Modèle:Transparentavec $a \in ℝ^{*}$ , $(b, d, e) \in ℝ^{3}$ constantes connues
Modèle:Al Modèle:Transparenten l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre, a priori hétérogène, en $\underline{F} (x) = f_{1} (x) + i f_{2} (x)$ ^[28]
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{d \underline{F}}{d x} (x) + [b + i a] \underline{F} (x) = \underline{E}$ » ^[28] avec $\underline{E} = [d + i e] \in ℂ$ constante, a priori non nulle.

Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Modèle:AlIl s'agit de résoudre, dans $ℂ$ , « $\frac{d \underline{F}}{d x} (x) + [b + i a] \underline{F} (x) = \underline{E}$ » ^[28] avec $\underline{E} = [d + i e] \in ℂ$ constante, a priori non nulle et $\underline{F} (x) = f_{1} (x) + i f_{2} (x)$ fonction complexe de variable $x$ réelle c.-à-d.
Modèle:Al Modèle:Transparentune équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène en $\underline{F} (x)$ ^[54], l'excitation $\underline{E} = [d + i e]$ étant une constante complexe :
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ détermination de la solution forcée : l'excitation étant constante, nous recherchons la solution forcée sous forme d'une constante $($ complexe $)$ ^[55] $\underline{F_{forcée}} = \underline{c s t e}$ ^[28] soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d \underline{F_{forcée}}}{d x} (x) + [b + i a] \underline{F_{forcée}} = \underline{E}$ $\Rightarrow$ $\underline{F_{forcée}} = \frac{\underline{E}}{b + i a} = \frac{d + i e}{b + i a}$ ;
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ détermination de la solution libre : l'équation caractéristique $\underline{s} + [b + i a] = 0$ ^[28]Modèle:, ^[56] admettant pour solution $\underline{s} = - [b + i a]$ , nous en déduisons la solution libre
Modèle:Al Modèle:Transparent $\underline{F_{libre}} (x) = \underline{A} \exp [- (b + i a) x]$ ^[28]Modèle:, ^[56] avec $\underline{A}$ constante complexe arbitraire d'intégration ;
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ expression de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène : $\underline{F} (x) = \underline{F_{libre}} (x) + \underline{F_{forcée}}$ ^[28] soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\underline{F} (x) = f_{1} (x) + i f_{2} (x) = \underline{A} \exp [- (b + i a) x] + \frac{d + i e}{b + i a}$ » avec $\underline{A}$ constante complexe arbitraire d'intégration.

Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre en f₁(x) et f₂(x)

Modèle:AlSachant que les solutions ${f_{1} (x), f_{2} (x)}$ du système d'équations différentielles couplées ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x) = a f_{2} (x) + d (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x) = - a f_{1} (x) + e (2) \end{matrix}}$ ^[45]Modèle:, ^[3] sont telles que ${\begin{matrix} f_{1} (x) = ℜ e [\underline{F} (x)] \\ f_{2} (x) = ℑ m [\underline{F} (x)] \end{matrix}}$ avec
Modèle:Al Modèle:Transparent $\underline{F} (x) = \underline{A} \exp [- (b + i a) x] + \frac{d + i e}{b + i a}$ ^[28]Modèle:, ^[57] $= A \exp (- b x) \exp [- i (a x + φ)] + \frac{d + i e}{b + i a}$ où
Modèle:Al Modèle:Transparent $(A, φ)$ sont des constantes réelles arbitraires $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ $f_{1} (x) = ℜ e [\underline{F} (x)] = A \exp (- b x) \cos (a x + φ) + ℜ e [\frac{d + i e}{b + i a}]$ $= A \exp (- b x) \cos (a x + φ) + \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ ^[58]Modèle:, ^[59]Modèle:, ^[60] avec
Modèle:Al Modèle:Transparent $(A, φ)$ constantes réelles arbitraires d'intégration et
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ $f_{2} (x) = ℑ m [\underline{F} (x)] = - A \exp (- b x) \sin (a x + φ) + ℑ m [\frac{d + i e}{b + i a}]$ $= - A \exp (- b x) \sin (a x + φ) + \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ ^[58]Modèle:, ^[59]Modèle:, ^[60] ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent $= A \exp (- b x) \sin (a x + φ) + \frac{a d - b e}{b^{2} + a^{2}}$ avec
Modèle:Al Modèle:Transparent $(A, φ)$ mêmes constantes réelles arbitraires d'intégration.

Bien que mal adapté, exposé du découplage par substitution du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Modèle:AlPréliminaire : on rappelle que le meilleur découplage du système d'équations différentielles couplées ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x) = a f_{2} (x) + d (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x) = - a f_{1} (x) + e (2) \end{matrix}}$ ^[45]Modèle:, ^[3] s'obtient par C.L. ^[4] complexe ^[61] mais
Modèle:Al Modèle:Transparentqu'il est toujours possible de réaliser un découplage par substitution ^[48], c'est néanmoins PLUS LONG.

Modèle:AlMéthode de découplage par substitution ^[62]Modèle:, ^[48] du système d'équations couplées ${\begin{matrix} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + b f_{1} (x) & = & a f_{2} (x) + d (1) \\ \frac{d f_{2}}{d x} (x) + b f_{2} (x) & = & - a f_{1} (x) + e (2) \end{matrix}}$ ^[45]Modèle:, ^[3] avec $a \in ℝ^{*}$ , $(b, d, e) \in ℝ^{3}$ constantes connues :
Modèle:Al Modèle:Transparentde l'équation différentielle couplée $(1)$ , on tire $f_{2} (x) = \frac{1}{a} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + \frac{b}{a} f_{1} (x) - \frac{d}{a}$ $\Rightarrow$ $\frac{d f_{2}}{d x} (x) = \frac{1}{a} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{b}{a} \frac{d f_{1}}{d x} (x)$ dont on reporte
Modèle:Al Modèle:Transparentles deux expressions dans l'équation différentielle couplée $(2)$ soit
Modèle:Al Modèle:Transparent $[\frac{1}{a} \frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + \frac{b}{a} \frac{d f_{1}}{d x} (x)] + b [\frac{1}{a} \frac{d f_{1}}{d x} (x) + \frac{b}{a} f_{1} (x) - \frac{d}{a}] = - a f_{1} (x) + e$ ou, en ordonnant et normalisant,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + 2 b \frac{d f_{1}}{d x} (x) + [b^{2} + a^{2}] f_{1} (x) = [b d + a e] (1^{'})$ » équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre
Modèle:Al Modèle:Transparentdécouplée et indépendante en $f_{1} (x)$ , hétérogène ^[63].

Modèle:AlRésolution de l'équation différentielle découplée et indépendante en $f_{1} (x)$ « $\frac{d^{2} f_{1}}{d x^{2}} (x) + 2 b \frac{d f_{1}}{d x} (x) + [b^{2} + a^{2}] f_{1} (x) = [b d + a e] (1^{'})$ » ^[64] : sachant que $f_{1} (x) = f_{1, libre} (x) + f_{1, forcée}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ détermination de la solution forcée $f_{1, forcée}$ : cherchée sous la même forme que l'excitation c.-à-d. forme constante ^[65] d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{d^{2} f_{1, forcée}}{d x^{2}} (x) + 2 b \frac{d f_{1, forcée}}{d x} (x) + [b^{2} + a^{2}] f_{1, forcée} = [b d + a e]$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ détermination de la solution libre $f_{1, libre} (x)$ ^[66] : solution de $\frac{d^{2} f_{1, libre}}{d x^{2}} (x) + 2 b \frac{d f_{1, libre}}{d x} (x) + [b^{2} + a^{2}] f_{1, libre} (x) = 0$ dont
Modèle:Al Modèle:Transparentl'équation caractéristique est $s^{2} + 2 b s + [b^{2} + a^{2}] = 0$ ^[67] de
Modèle:Al Modèle:Transparentdiscriminant réduit $Δ^{'} = b^{2} - [b^{2} + a^{2}] = - a^{2} < 0$ ^[68] d'où
Modèle:Al Modèle:Transparentabsence de solution lors d'une résolution dans $ℝ$ , toutefois dans $ℂ$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentexistence de deux solutions complexes conjuguées « $\underline{s} = - b \pm i a$ » ^[69]
Modèle:Al Modèle:Transparentd'où « $f_{1, libre} (x) = A \exp (- b x) \cos (a x + φ)$ » ^[70], avec
Modèle:Al Modèle:Transparent $(A, φ)$ constantes réelles arbitraires d'intégration,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ détermination de la solution générale $f_{1} (x)$ ^[71] : « $f_{1} (x) = f_{1, libre} (x) + f_{1, forcée} = A \exp (- b x) \cos (a x + φ) + \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $(A, φ)$ étant des constantes réelles arbitraires ;
Modèle:Al Modèle:Transparenten accord avec le résultat obtenu au paragraphe « précédent ».

Notes et références

↑ Il n'y a pas de méthode standard de « découplage », ce dernier dépendant du type d'équations différentielles « couplées » présentes dans le système ;
Modèle:Alaussi va-t-on simplement exposer des exemples de système d'équations différentielles couplées et présenter un « découplage » adapté aux équations différentielles du système $[$ le découplage, quand il est possible, pouvant d'ailleurs ne pas être unique $]$ .
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 et ^2,3 Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que ses dérivées dans un 1^er membre, l'autre fonction $($ seule, sans ses dérivées $)$ apparaissant dans le 2^nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2^nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation » $\dots$
↑ ^3,00 ^3,01 ^3,02 ^3,03 ^3,04 ^3,05 ^3,06 ^3,07 ^3,08 et ^3,09 Pour que chaque équation différentielle soit qualifiée de « linéaire », il faut qu'elle le soit relativement à chaque fonction, celle apparaissant dans le 1^er membre et celle apparaissant dans le 2^ème c.-à-d. dans l'« excitation ».
↑ ^4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 et ^4,13 Combinaison(s) Linéaire(s).
↑ La valeur $α = 0$ avait été interdite pour former le quotient $\frac{β}{α}$ , si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait $e_{2} = 0$ mais $e_{2} \neq 0$ ;
Modèle:Alla valeur $β = 0$ interdite pour former le quotient $\frac{α}{β}$ l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait $e_{1} = 0$ pour avoir une forme indéterminée mais $e_{1} \neq 0$ .
↑ ^6,0 ^6,1 et ^6,2 L'hypothèse où $e_{1}$ et $e_{2}$ sont de même signe est suffisante pour que le discriminant $Δ$ soit $> 0$ .
↑ On rappelle que les solutions ${{(\frac{α}{β})}_{1}, {(\frac{α}{β})}_{2}}$ suivent l'équation initiale $[e_{2} \frac{β}{α} - c_{1}] = [e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ permettant une factorisation par $[e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ .
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 ^8,6 et ^8,7 À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est ${(\frac{α}{β})}_{1}$ et non le couple $(α_{1}, β_{1})$ $[$ respectivement ${(\frac{α}{β})}_{2}$ et non le couple $(α_{2}, β_{2})]$ , il est possible de choisir $β_{1} = 1$ et $α_{1} = {(\frac{α}{β})}_{1}$ ou $β_{1} = 2$ et $α_{1} = 2 {(\frac{α}{β})}_{1}$ ou $\dots$ $[$ un choix identique pour $α_{2}$ et $β_{2}$ pouvant être fait à partir de ${(\frac{α}{β})}_{2}] \dots$
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 et ^9,3 L'hypothèse où $e_{1}$ et $e_{2}$ sont de signe contraire est nécessaire $($ mais non suffisante $)$ pour que le discriminant $Δ$ soit $⩽ 0$ .
↑ On rappelle que la solution double ${(\frac{α}{β})}_{d}$ suit l'équation initiale $[e_{2} \frac{β}{α} - c_{1}] = [e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ permettant une factorisation par $[e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ .
↑ ^11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 et ^11,4 À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est ${(\frac{α}{β})}_{d}$ et non le couple $(α_{d}, β_{d})$ , il est possible de choisir $β_{d} = 1$ et $α_{d} = {(\frac{α}{β})}_{d}$ ou $β_{d} = 2$ et $α_{d} = 2 {(\frac{α}{β})}_{d}$ ou $\dots$
↑ On rappelle que $F_{d} (x)$ est définie à une constante multiplicative près, voir note « ¹² » $]$ .
↑ Pour que le découplage par C.L. soit possible il aurait fallu une 2^ème équation différentielle indépendante mais la méthode par C.L. n'en fournit qu'une.
Modèle:AlToutefois cela ne signifie pas qu'un découplage est impossible mais qu'il ne peut être fait par C.L. $\dots$
↑ ^14,0 ^14,1 ^14,2 et ^14,3 Voir le paragraphe « mise en pratique du découplage par combinaison linéaire » plus haut dans c e chapitre.
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 et ^15,3 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^16,0 ^16,1 ^16,2 et ^16,3 En fait le facteur multiplicatif initialement introduit dans la définition des fonctions $F_{1} (x)$ et $F_{2} (x)$ à partir des fonctions initiales $f_{1} (x)$ et $f_{2} (x)$ peut être englobé dans les constantes d'intégration $(A_{1}, B_{1})$ et $(A_{2}, B_{2}) \dots$
↑ Pour achever le découplage du système d'équations différentielles on procède par substitution à partir de la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées $\dots$
↑ Comme l'excitation de la 2^ème équation différentielle découplée hétérogène est $\propto$ à la solution générale de la 1^ère équation différentielle découplée homogène et que cette dernière dépend de deux constantes réelles arbitraires $(A_{d}, B_{d})$ , il semble malvenu de qualifier la solution particulière de la 2^ème équation différentielle découplée hétérogène de « solution forcée », cette appellation nécessitant que la solution particulière soit cherchée de même forme que l'excitation, la forme de cette dernière n'étant pas fixée de façon unique car dépendant des deux constantes réelles arbitraires $(A_{d}, B_{d})$ .
↑ Voir les paragraphes « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène », « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » et « cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ On pouvait aussi utiliser $k_{d} = \frac{c_{1} + c_{2}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ .
↑ ^21,0 et ^21,1 Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^22,0 et ^22,1 La pulsation de l'excitation étant égale à la pulsation propre de l'oscillateur, il n'y a pas de solution particulière de même forme que l'excitation, ce qui nécessite de chercher une solution particulière de forme $f_{1, part} (x) = A x \cos (\sqrt{2} x) + B x \sin (\sqrt{2} x)$ , voir le paragraphe « cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Laquelle est aussi applicable dans les deux autres cas ; il est néanmoins préférable, quand c'est possible, de conserver la méthode « par C.L. réelle », plus rapide.
↑ La méthode par substitution est rendue applicable car, dans l'équation différentielle couplée $(1)$ en $f_{1} (x)$ l'autre fonction $f_{2} (x)$ apparaît proportionnellement une seule fois $[$ de même, dans l'équation différentielle couplée $(2)$ en $f_{2} (x)$ l'autre fonction $f_{1} (x)$ apparaît proportionnellement une seule fois $] \dots$
↑ ^25,0 et ^25,1 Donc découplée et indépendante.
↑ On aurait pu éliminer $f_{1} (x)$ à partir de l'équation différentielle $(2)$ , on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène $($ donc découplée et indépendante $)$ du 4^ème ordre en $f_{2} (x)$ suivante « $\frac{d^{4} f_{2}}{d x^{4}} (x) + (c_{2} + c_{1}) \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + (c_{2} c_{1} - e_{2} e_{1}) f_{2} (x) = 0 (2^{'})$ » $[$ il suffisait de permuter les indices « $_{1}$ » et « $_{2}$ » à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en $f_{1} (x)]$ .
↑ ^27,0 et ^27,1 Voir le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et son prolongement à la « recherche de quatre solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène ».
↑ ^28,00 ^28,01 ^28,02 ^28,03 ^28,04 ^28,05 ^28,06 ^28,07 ^28,08 ^28,09 ^28,10 ^28,11 ^28,12 ^28,13 ^28,14 et ^28,15 En physique un complexe est repéré par un soulignement de la variable le représentant.
↑ Le module commun étant $| \underline{s} | = \frac{\sqrt{{(c_{1} + c_{2})}^{2} + [- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}]}}{2} = \sqrt{c_{1} c_{2} - e_{1} e_{2}}$ , on rappelle qu'un complexe en physique est repéré par le soulignement de sa variable.
↑ Dans la mesure où $c_{1} + c_{2}$ est $> 0$ , les arguments de ${\underline{s}}^{2}$ sont $a r g [{\underline{s}}^{2}] = \pm [π - \arctan (\frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{c_{1} + c_{2}})]$ $[$ voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ $\Rightarrow$ $a r g [\underline{s}] \equiv$ $\pm [\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arctan (\frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{c_{1} + c_{2}})] (\mod π)$ ;
Modèle:Aldans la mesure où $c_{1} + c_{2}$ est $< 0$ , les arguments de $a r g [{\underline{s}}^{2}]$ sont $a r g [{\underline{s}}^{2}] = \pm \arctan (\frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{c_{1} + c_{2}})$ $[$ voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ $\Rightarrow$ $a r g [\underline{s}] \equiv$ $\pm \frac{1}{2} \arctan (\frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{c_{1} + c_{2}}) (\mod π)$ .
↑ ^31,0 ^31,1 et ^31,2 Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif (d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », méthode prolongée à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène sans terme du 3^ème et 1^er ordres.
↑ On aurait pu éliminer $f_{1} (x)$ à partir de l'équation différentielle $(2)$ , on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène $($ donc découplée et indépendante $)$ du 4^ème ordre en $f_{2} (x)$ suivante « $\frac{d^{4} f_{2}}{d x^{4}} (x) + 4 \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + 5 f_{2} (x) = 0 (2^{'})$ ».
↑ Pour déterminer l'argument du complexe voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ $\cos [\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] = \sin [\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}}$ ${$ en effet posant $α = \arctan (\frac{1}{2})$ $\Rightarrow$ $\tan (α) = \frac{1}{2} = \frac{2 \tan (\frac{α}{2})}{1 - \tan^{2} (\frac{α}{2})}$ $\Rightarrow$ $\tan^{2} (\frac{α}{2}) + 4 \tan (\frac{α}{2}) - 1 = 0$ $\Rightarrow$ $\tan (\frac{α}{2}) = - 2 + \sqrt{5}$ et $\sin (\frac{α}{2}) = \tan (\frac{α}{2}) \cos (\frac{α}{2}) = \frac{\tan (\frac{α}{2})}{\sqrt{1 + \tan^{2} (\frac{α}{2})}} = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}}}$ ;
Modèle:Al $\sin [\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] = \cos [\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] = \frac{1}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}}$ ${$ en effet posant $α = \arctan (\frac{1}{2})$ $\overset{\dots}{\Rightarrow}$ $\tan (\frac{α}{2}) = - 2 + \sqrt{5}$ et $\cos (\frac{α}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (\frac{α}{2})}} =$ $\frac{1}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}}}$ .
↑ ^35,0 ^35,1 ^35,2 ^35,3 ^35,4 ^35,5 ^35,6 et ^35,7 En effet $\frac{{(\sqrt[4]{5})}^{2} {(\sqrt{5} - 2)}^{2}}{{(\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}})}^{2}} = \frac{\sqrt{5} (5 + 4 - 4 \sqrt{5})}{10 - 4 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} (9 - 4 \sqrt{5})}{10 - 4 \sqrt{5}}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{{(\sqrt[4]{5})}^{2} (\sqrt{5} - 2)}{{(\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}})}^{2}} = \frac{5 - 2 \sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{{(\sqrt[4]{5})}^{2}}{{(\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}}$ .
↑ ^36,0 ^36,1 ^36,2 et ^36,3 En effet $\frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} (9 - 4 \sqrt{5}) - \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} [8 - 4 \sqrt{5}] = \sqrt{5} \frac{4 - 2 \sqrt{5}}{5 - 2 \sqrt{5}} = \frac{4 - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}$ .
↑ ^37,0 ^37,1 ^37,2 et ^37,3 En effet $\frac{4 - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} + 1 = \frac{2 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = - 1$ .
↑ $f_{2} (x)$ et $f_{1} (x)$ suivant la même équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène $($ donc découplée et indépendante $)$ sans terme du 3^ème et 1^er ordres, il est donc logique de constater que $f_{2} (x)$ a la même forme que $f_{1} (x)$ , ces deux fonctions ne différant que par les constantes arbitraires achevant leur définition.
↑ Un découplage de trois équations différentielles couplées dépendant des trois fonctions cherchées ${f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)}$ est qualifié de complet si on trouve un système de trois équations différentielles de trois nouvelles fonctions ${F_{1} (x), F_{2} (x), F_{3} (x)}$ dépendant des trois fonctions d'origine ${f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)}$ , chaque équation différentielle ne faisant intervenir qu'une nouvelle fonction, le nouveau système étant équivalent au système initial $\dots$
↑ C'est assez prévisible compte-tenu du caractère non linéaire des équations différentielles ;
Modèle:Alen absence de découplage seule une résolution numérique est possible $\dots$
↑ Si les deux fonctions ${f_{1} (x), f_{2} (x)}$ étaient identiquement nulles, les équations différentielles du système seraient immédiatement découplées car il ne resterait que l'équation $(3)$ selon $\frac{d f_{3}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{3}^{2} (x)} f_{3} (x) = e$ .
↑ Il peut néanmoins exister des valeurs de $x$ pour lesquelles $f_{2} (x)$ serait nulle, ces valeurs seraient alors à retirer du domaine de définition de la fonction $f_{2}$ .
↑ $k = 0$ correspondant à la fonction $f_{1}$ identiquement nulle.
↑ En effet il suffit de multiplier de part et d'autre l'équation différentielle $\frac{d f_{2}}{d x} (x) - b \sqrt{k^{2} f_{2}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{2} (x) = 0$ par $\sqrt{k^{2} + 1}$ et d'introduire $F_{2} (x) = \sqrt{k^{2} + 1} f_{2} (x)$ .
↑ ^45,0 ^45,1 ^45,2 ^45,3 ^45,4 ^45,5 ^45,6 et ^45,7 Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que sa dérivée 1^ère dans un 1^er membre, l'autre fonction $($ seule, sans ses dérivées $)$ apparaissant dans le 2^nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2^nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation » $\dots$
↑ Obtenu par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La valeur $α = 0$ avait été interdite pour former le quotient $\frac{β}{α}$ , si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait $a = 0$ pour avoir une forme indéterminée mais $a \neq 0$ ;
Modèle:Alla valeur $β = 0$ interdite pour former le quotient $\frac{α}{β}$ l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait $a = 0$ pour avoir une forme indéterminée mais $a \neq 0$ .
↑ ^48,0 ^48,1 et ^48,2 Voir le paragraphe « recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué » plus haut dans le chapitre.
↑ C'est donc cette méthode de découplage qu'il faut privilégier et non la méthode de résolution « par substitution » laquelle s'avèrera toujours plus longue à mettre en œuvre que n'importe quelle méthode de découplage $\dots$ .
↑ Condition pour que la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe exposée dans ce paragraphe soit effectif.
↑ Cette combinaison linéaire complexe trouve sa justification dans l'échec matérialisé dans le paragraphe précédent « vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées » ayant établi que $\frac{α}{β}$ devait suivre l'équation algébrique ${(\frac{α}{β})}^{2} + 1 = 0$ d'où l'absence de solution réelle et par suite l'absence de combinaison linéaire réelle possible mais $\dots$ la présence de deux solutions opposées complexes $\frac{α}{β} = \pm i$ conduit à deux combinaisons linéaires complexes possibles dont nous avons sélectionné celle correspondant à $\frac{α}{β} = - i$ , plus précisément $α = 1$ et $β = i$ .
↑ On rappelle que $i^{2} = - 1$ $\Rightarrow$ $1 = - i^{2}$ .
↑ Ce Qu'il Fallait Établir.
↑ Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la méthode exposée dans $ℝ$ s'étendant sans aucune modification dans $ℂ$ ;
Modèle:Alpour la détermination de la solution libre, voir le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre homogène » du même chapitre et
Modèle:Alpour celle de la solution forcée, voir le paragraphe « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » du même chapitre $\dots$
↑ Voir le paragraphe « exemple d'un 1^er ordre à excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^56,0 et ^56,1 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ On a posé $\underline{A} = A \exp (- i φ)$ .
↑ ^58,0 et ^58,1 En effet $\frac{d + i e}{b + i a} = \frac{(d + i e) (b - i a)}{(b + i a) (b - i a)} = \frac{(b d + a e) + i (b e - a d)}{b^{2} + a^{2}}$ d'où $ℜ e [\frac{d + i e}{b + i a}] = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ et $ℑ m [\frac{d + i e}{b + i a}] = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ .
↑ ^59,0 et ^59,1 Ce qu'il faut faire dans l'hypothèse où on ne voit pas la simplification de traitement consistant à multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur.
Modèle:AlSi $(d, b)$ sont $> 0$ la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [\frac{d + i e}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [\frac{d + i e}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ;
Modèle:Alsi $d$ est $< 0$ avec $(e, b)$ tous deux $> 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $i \frac{e - i d}{b + i a}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [i \frac{e - i d}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\frac{π}{2} - \arctan (\frac{d}{e}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℜ e [i \frac{e - i d}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{d}{e}) + \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [i \frac{e - i d}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\frac{π}{2} - \arctan (\frac{d}{e}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℑ m [i \frac{e - i d}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{d}{e}) + \arctan (\frac{a}{b})]$ ;
Modèle:Alsi $(d, e)$ sont $< 0$ avec $b > 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [π + \arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℜ e [- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [π + \arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℑ m [- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ;
Modèle:Alsi $b$ est $< 0$ avec $(a, d)$ tous deux $> 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $\frac{d + i e}{i (a - i b)} = - i \frac{d + i e}{a - i b}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [- i \frac{d + i e}{a - i b}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [- \frac{π}{2} + \arctan (\frac{e}{d}) + \arctan (\frac{b}{a})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℜ e [- i \frac{d + i e}{a - i b}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) + \arctan (\frac{b}{a})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [- i \frac{d + i e}{a - i b}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [- \frac{π}{2} + \arctan (\frac{e}{d}) + \arctan (\frac{b}{a})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℑ m [- i \frac{d + i e}{a - i b}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) + \arctan (\frac{b}{a})]$ ;
Modèle:Alsi $(b, a)$ sont $< 0$ avec $d > 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [π + \arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℜ e [- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [π + \arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℑ m [- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ;
Modèle:Alsi $(b, a)$ sont $< 0$ avec $d < 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $\frac{(- d) + i (- e)}{(- b) + i (- a)}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [\frac{(- d) + i (- e)}{(- b) + i (- a)}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [\frac{(- d) + i (- e)}{(- b) + i (- a)}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ .
Modèle:AlLa discussion sur la détermination de l'argument du complexe $\frac{d + i e}{b + i a}$ est faite en utilisant les propriétés exposées dans le paragraphe « détermination de l'argument (d'un quotient de formes algébriques de complexes) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^60,0 et ^60,1 Pour terminer il convient de mettre en accord les résultats des notes « ⁵⁹ » et « ⁶⁰ » exposées plus haut dans ce paragraphe.
Modèle:AlSi $(d, b)$ sont $> 0$ la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$ $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \cos (γ) \cos (δ) + \sin (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [1 + \tan (γ) \tan (δ)] = \frac{1 + \tan (γ) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$ ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \frac{1 + \frac{e}{d} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$ $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \sin (γ) \cos (δ) - \cos (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [\tan (γ) - \tan (δ)] = \frac{\tan (γ) - \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$ ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \frac{\frac{e}{d} - \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $d$ est $< 0$ avec $(e, b)$ tous deux $> 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\frac{π}{2} - γ^{'} - δ] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ^{'} + δ]$ où ${\begin{matrix} γ^{'} = \arctan (\frac{d}{e}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ^{'}) = \frac{d}{e} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ^{'} + δ] = \sin (γ^{'}) \cos (δ) + \cos (γ^{'}) \sin (δ) = \cos (γ^{'}) \cos (δ) [\tan (γ^{'}) + \tan (δ)] = \frac{\tan (γ^{'}) + \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ^{'})} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ^{'} + δ] = \frac{\frac{d}{e} + \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{d^{2}}{e^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\frac{π}{2} - γ^{'} - δ] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ^{'} + δ]$ où ${\begin{matrix} γ^{'} = \arctan (\frac{d}{e}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ^{'}) = \frac{d}{e} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ^{'} + δ] = \cos (γ^{'}) \cos (δ) - \sin (γ^{'}) \sin (δ) = \cos (γ^{'}) \cos (δ) [1 - \tan (γ^{'}) \tan (δ)]$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \frac{1 - \tan (γ^{'}) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ^{'})} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$ ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ^{'} + δ] = \frac{1 - \frac{d}{e} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{d^{2}}{e^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $(d, e)$ sont $< 0$ avec $b > 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [π + γ - δ] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \cos (γ) \cos (δ) + \sin (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [1 + \tan (γ) \tan (δ)] = \frac{1 + \tan (γ) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \frac{1 + \frac{e}{d} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b | d | + a e \frac{| d |}{d}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = - \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [π + γ - δ] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ^{'}) = \frac{d}{e} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \sin (γ) \cos (δ) - \cos (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [\tan (γ) - \tan (δ)] = \frac{\tan (γ) - \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \frac{\frac{e}{d} - \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{d^{2}}{e^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b e \frac{| d |}{d} - a | d |}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = - \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $b$ est $< 0$ avec $(a, d)$ tous deux $> 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [- \frac{π}{2} + γ + δ^{'}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ + δ^{'}]$ où ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ^{'} = \arctan (\frac{b}{a}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ^{'} = \frac{b}{a} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ + δ^{'}] = \sin (γ) \cos (δ^{'}) + \cos (γ) \sin (δ^{'}) = \cos (γ) \cos (δ^{'}) [\tan (γ) + \tan (δ^{'})] = \frac{\tan (γ) + \tan (δ^{'})}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ^{'})}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ + δ^{'}] = \frac{\frac{e}{d} + \frac{b}{a}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}} = \frac{a e + b d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [- \frac{π}{2} + γ + δ^{'}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ + δ^{'}]$ où ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ^{'} = \arctan (\frac{b}{a}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ^{'} = \frac{b}{a} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ + δ^{'}] = \cos (γ) \cos (δ^{'}) - \sin (γ) \sin (δ^{'}) = \cos (γ) \cos (δ^{'}) [1 - \tan (γ) \tan (δ^{'})] = \frac{1 - \tan (γ) \tan (δ^{'})}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ^{'})}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ + δ^{'}] = \frac{1 - \frac{e}{d} \frac{b}{a}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}} = - \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $(b, a)$ sont $< 0$ avec $d > 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [π + γ - δ] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \cos (γ) \cos (δ) + \sin (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [1 + \tan (γ) \tan (δ)] = \frac{1 + \tan (γ) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \frac{1 + \frac{e}{d} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{| b | d + a e \frac{| b |}{b}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = - \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [π + γ - δ] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \sin (γ) \cos (δ) - \cos (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [\tan (γ) - \tan (δ)] = \frac{\tan (γ) - \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \frac{\frac{e}{d} - \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{| b | e - a d \frac{| b |}{b}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = - \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $(b, a)$ sont $< 0$ avec $d < 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$ $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \cos (γ) \cos (δ) + \sin (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [1 + \tan (γ) \tan (δ)] = \frac{1 + \tan (γ) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \frac{1 + \frac{e}{d} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{| b | | d | + a e \frac{| d |}{d} \frac{| b |}{b}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{(- b) (- d) + a e {(- 1)}^{2}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$ $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \sin (γ) \cos (δ) - \cos (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [\tan (γ) - \tan (δ)] = \frac{\tan (γ) - \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \frac{\frac{e}{d} - \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{| b | e \frac{| d |}{d} - a | d | \frac{| b |}{b}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{(- b) e (- 1) - a (- d) (- 1)}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ .
↑ Voir le paragraphe « exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées » plus haut dans ce chapitre.
↑ Mal adaptée.
↑ On aurait pu éliminer $f_{1} (x)$ à partir de l'équation différentielle $(2)$ , on aurait obtenu $f_{1} (x) = - \frac{1}{a} \frac{d f_{2}}{d x} (x) - \frac{b}{a} f_{2} (x) + \frac{e}{a}$ $\Rightarrow$ $\frac{d f_{1}}{d x} (x) = - \frac{1}{a} \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) - \frac{b}{a} \frac{d f_{2}}{d x} (x)$ d'où par report dans l'équation différentielle $(1)$ , $[- \frac{1}{a} \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) - \frac{b}{a} \frac{d f_{2}}{d x} (x)] + b [- \frac{1}{a} \frac{d f_{2}}{d x} (x) - \frac{b}{a} f_{2} (x) + \frac{e}{a}] = a f_{2} (x) + d$ soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre découplée et indépendante en $f_{2} (x)$ , hétérogène « $\frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + 2 b \frac{d f_{2}}{d x} (x) + [b^{2} + a^{2}] f_{2} (x) = [b e - a d] (2^{'})$ » $[$ il suffisait de permuter les indices « $_{1}$ » et Modèle:Nobr changer $a$ en $- a$ et permuter $d$ et $e$ à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en $f_{1} (x)]$ .
↑ Voir les paragraphes « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène », « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » et « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Lors de la résolution de l'équation algébrique du 2^ème degré en $s$ , $a s^{2} + 2 b s + c = 0$ , le discriminant s'écrivant $Δ = 4 b^{2} - 4 a c$ est encore égal à $4 Δ^{'}$ avec $Δ^{'} = b^{2} - a c$ définissant le discriminant réduit ; la discussion de l'existence de solutions réelles distinctes, de solution réelle double et de l'inexistence de solutions réelles portant sur le signe de $Δ$ se reporte sans modification sur le signe de $Δ^{'}$ .
↑ Lors de la résolution, dans $ℂ$ , de l'équation algébrique du 2^ème degré en $\underline{s}$ , $a {\underline{s}}^{2} + 2 b \underline{s} + c = 0$ , les solutions s'écrivent en utilisant le discriminant réduit $Δ^{'} = b^{2} - a c$ $[$ voir la note « ⁶⁷ » plus haut dans ce chapitre $]$ : ${\begin{matrix} si Δ^{'} est > 0, & {\underline{s}}_{\pm} = - \frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{Δ^{'}}}{a} \\ si Δ^{'} est = 0, & {\underline{s}}_{d} = - \frac{b}{a} \\ si Δ^{'} est < 0, & {\underline{s}}_{\pm} = - \frac{b}{a} \pm i \frac{\sqrt{- Δ^{'}}}{a} \end{matrix}}$ , cela résulte de ${\begin{matrix} si Δ = 4 Δ^{'} est > 0, & {\underline{s}}_{\pm} = - \frac{2 b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{4 Δ^{'}}}{2 a} \\ si Δ = 4 Δ^{'} est = 0, & {\underline{s}}_{d} = - \frac{2 b}{2 a} \\ si Δ = 4 Δ^{'} est < 0, & {\underline{s}}_{\pm} = - \frac{2 b}{2 a} \pm i \frac{\sqrt{- 4 Δ^{'}}}{2 a} \end{matrix}}$ .
↑ Voir le paragraphe « cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Modèle:Bas de page

[1] Il n'y a pas de méthode standard de « découplage », ce dernier dépendant du type d'équations différentielles « couplées » présentes dans le système ;
Modèle:Alaussi va-t-on simplement exposer des exemples de système d'équations différentielles couplées et présenter un « découplage » adapté aux équations différentielles du système $[$ le découplage, quand il est possible, pouvant d'ailleurs ne pas être unique $]$ .

[présentation_du_système_d'équations_différentielles-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 et ^2,3 Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que ses dérivées dans un 1^er membre, l'autre fonction $($ seule, sans ses dérivées $)$ apparaissant dans le 2^nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2^nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation » $\dots$

[équations_différentielles_linéaires_d'un_système-3] 3,00 ^3,01 ^3,02 ^3,03 ^3,04 ^3,05 ^3,06 ^3,07 ^3,08 et ^3,09 Pour que chaque équation différentielle soit qualifiée de « linéaire », il faut qu'elle le soit relativement à chaque fonction, celle apparaissant dans le 1^er membre et celle apparaissant dans le 2^ème c.-à-d. dans l'« excitation ».

[C.L.-4] 4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 et ^4,13 Combinaison(s) Linéaire(s).

[5] La valeur $α = 0$ avait été interdite pour former le quotient $\frac{β}{α}$ , si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait $e_{2} = 0$ mais $e_{2} \neq 0$ ;
Modèle:Alla valeur $β = 0$ interdite pour former le quotient $\frac{α}{β}$ l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait $e_{1} = 0$ pour avoir une forme indéterminée mais $e_{1} \neq 0$ .

[C.S._pour_que_le_discriminant_soit_positif-6] 6,0 ^6,1 et ^6,2 L'hypothèse où $e_{1}$ et $e_{2}$ sont de même signe est suffisante pour que le discriminant $Δ$ soit $> 0$ .

[7] On rappelle que les solutions ${{(\frac{α}{β})}_{1}, {(\frac{α}{β})}_{2}}$ suivent l'équation initiale $[e_{2} \frac{β}{α} - c_{1}] = [e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ permettant une factorisation par $[e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ .

[définie_à_une_constante_multiplicative_près-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 ^8,6 et ^8,7 À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est ${(\frac{α}{β})}_{1}$ et non le couple $(α_{1}, β_{1})$ $[$ respectivement ${(\frac{α}{β})}_{2}$ et non le couple $(α_{2}, β_{2})]$ , il est possible de choisir $β_{1} = 1$ et $α_{1} = {(\frac{α}{β})}_{1}$ ou $β_{1} = 2$ et $α_{1} = 2 {(\frac{α}{β})}_{1}$ ou $\dots$ $[$ un choix identique pour $α_{2}$ et $β_{2}$ pouvant être fait à partir de ${(\frac{α}{β})}_{2}] \dots$

[C.N._mais_non_S._pour_que_le_discriminant_soit_négatif_ou_nul-9] 9,0 ^9,1 ^9,2 et ^9,3 L'hypothèse où $e_{1}$ et $e_{2}$ sont de signe contraire est nécessaire $($ mais non suffisante $)$ pour que le discriminant $Δ$ soit $⩽ 0$ .

[10] On rappelle que la solution double ${(\frac{α}{β})}_{d}$ suit l'équation initiale $[e_{2} \frac{β}{α} - c_{1}] = [e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ permettant une factorisation par $[e_{1} \frac{α}{β} - c_{2}]$ .

[définie_à_une_constante_multiplicative_près_-_bis-11] 11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 et ^11,4 À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est ${(\frac{α}{β})}_{d}$ et non le couple $(α_{d}, β_{d})$ , il est possible de choisir $β_{d} = 1$ et $α_{d} = {(\frac{α}{β})}_{d}$ ou $β_{d} = 2$ et $α_{d} = 2 {(\frac{α}{β})}_{d}$ ou $\dots$

[12] On rappelle que $F_{d} (x)$ est définie à une constante multiplicative près, voir note « ¹² » $]$ .

[13] Pour que le découplage par C.L. soit possible il aurait fallu une 2^ème équation différentielle indépendante mais la méthode par C.L. n'en fournit qu'une.
Modèle:AlToutefois cela ne signifie pas qu'un découplage est impossible mais qu'il ne peut être fait par C.L. $\dots$

[mise_en_pratique_du_découplage_par_C.L.-14] 14,0 ^14,1 ^14,2 et ^14,3 Voir le paragraphe « mise en pratique du découplage par combinaison linéaire » plus haut dans c e chapitre.

[équa_diff_lin_à_cœf_csts_du_2ème_ordre_homogène_sans_terme_du_1er_ordre-15] 15,0 ^15,1 ^15,2 et ^15,3 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[facteur_multiplicatif_inséré_dans_les_constantes_d'intégration-16] 16,0 ^16,1 ^16,2 et ^16,3 En fait le facteur multiplicatif initialement introduit dans la définition des fonctions $F_{1} (x)$ et $F_{2} (x)$ à partir des fonctions initiales $f_{1} (x)$ et $f_{2} (x)$ peut être englobé dans les constantes d'intégration $(A_{1}, B_{1})$ et $(A_{2}, B_{2}) \dots$

[découplage_par_substitution-17] Pour achever le découplage du système d'équations différentielles on procède par substitution à partir de la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées $\dots$

[qualificatif_forcé_inadapté-18] Comme l'excitation de la 2^ème équation différentielle découplée hétérogène est $\propto$ à la solution générale de la 1^ère équation différentielle découplée homogène et que cette dernière dépend de deux constantes réelles arbitraires $(A_{d}, B_{d})$ , il semble malvenu de qualifier la solution particulière de la 2^ème équation différentielle découplée hétérogène de « solution forcée », cette appellation nécessitant que la solution particulière soit cherchée de même forme que l'excitation, la forme de cette dernière n'étant pas fixée de façon unique car dépendant des deux constantes réelles arbitraires $(A_{d}, B_{d})$ .

[résolution_d'une_équa_diff_lin_du_2ème_ordre_hétérogène-19] Voir les paragraphes « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène », « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » et « cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[20] On pouvait aussi utiliser $k_{d} = \frac{c_{1} + c_{2}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ .

[résolution_d'une_équa_diff_lin_du_2ème_ordre_hétérogène_sans_terme_du_1er-21] 21,0 et ^21,1 Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[équa_diff_lin_du_2ème_ordre_hétérogène_sans_terme_du_1er_avec_pulsation_de_l'excitation_égale_à_la_pulsation_propre-22] 22,0 et ^22,1 La pulsation de l'excitation étant égale à la pulsation propre de l'oscillateur, il n'y a pas de solution particulière de même forme que l'excitation, ce qui nécessite de chercher une solution particulière de forme $f_{1, part} (x) = A x \cos (\sqrt{2} x) + B x \sin (\sqrt{2} x)$ , voir le paragraphe « cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[23] Laquelle est aussi applicable dans les deux autres cas ; il est néanmoins préférable, quand c'est possible, de conserver la méthode « par C.L. réelle », plus rapide.

[24] La méthode par substitution est rendue applicable car, dans l'équation différentielle couplée $(1)$ en $f_{1} (x)$ l'autre fonction $f_{2} (x)$ apparaît proportionnellement une seule fois $[$ de même, dans l'équation différentielle couplée $(2)$ en $f_{2} (x)$ l'autre fonction $f_{1} (x)$ apparaît proportionnellement une seule fois $] \dots$

[donc_découplée_et_indépendante-25] 25,0 et ^25,1 Donc découplée et indépendante.

[26] On aurait pu éliminer $f_{1} (x)$ à partir de l'équation différentielle $(2)$ , on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène $($ donc découplée et indépendante $)$ du 4^ème ordre en $f_{2} (x)$ suivante « $\frac{d^{4} f_{2}}{d x^{4}} (x) + (c_{2} + c_{1}) \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + (c_{2} c_{1} - e_{2} e_{1}) f_{2} (x) = 0 (2^{'})$ » $[$ il suffisait de permuter les indices « $_{1}$ » et « $_{2}$ » à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en $f_{1} (x)]$ .

[résolution_d'une_équa_diff_lin_homogène_à_cœf_csts_du_4ème_ordre-27] 27,0 et ^27,1 Voir le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et son prolongement à la « recherche de quatre solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène ».

[notation_physique_d'un_complexe-28] 28,00 ^28,01 ^28,02 ^28,03 ^28,04 ^28,05 ^28,06 ^28,07 ^28,08 ^28,09 ^28,10 ^28,11 ^28,12 ^28,13 ^28,14 et ^28,15 En physique un complexe est repéré par un soulignement de la variable le représentant.

[29] Le module commun étant $| \underline{s} | = \frac{\sqrt{{(c_{1} + c_{2})}^{2} + [- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}]}}{2} = \sqrt{c_{1} c_{2} - e_{1} e_{2}}$ , on rappelle qu'un complexe en physique est repéré par le soulignement de sa variable.

[30] Dans la mesure où $c_{1} + c_{2}$ est $> 0$ , les arguments de ${\underline{s}}^{2}$ sont $a r g [{\underline{s}}^{2}] = \pm [π - \arctan (\frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{c_{1} + c_{2}})]$ $[$ voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ $\Rightarrow$ $a r g [\underline{s}] \equiv$ $\pm [\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arctan (\frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{c_{1} + c_{2}})] (\mod π)$ ;
Modèle:Aldans la mesure où $c_{1} + c_{2}$ est $< 0$ , les arguments de $a r g [{\underline{s}}^{2}]$ sont $a r g [{\underline{s}}^{2}] = \pm \arctan (\frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{c_{1} + c_{2}})$ $[$ voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $]$ $\Rightarrow$ $a r g [\underline{s}] \equiv$ $\pm \frac{1}{2} \arctan (\frac{\sqrt{- {(c_{1} - c_{2})}^{2} - 4 e_{1} e_{2}}}{c_{1} + c_{2}}) (\mod π)$ .

[résolution_d'une_équa_diff_lin_homogène_à_cœf_csts_du_4ème_ordre_-_bis-31] 31,0 ^31,1 et ^31,2 Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif (d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », méthode prolongée à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène sans terme du 3^ème et 1^er ordres.

[32] On aurait pu éliminer $f_{1} (x)$ à partir de l'équation différentielle $(2)$ , on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène $($ donc découplée et indépendante $)$ du 4^ème ordre en $f_{2} (x)$ suivante « $\frac{d^{4} f_{2}}{d x^{4}} (x) + 4 \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + 5 f_{2} (x) = 0 (2^{'})$ ».

[détermination_de_l'argument_d'un_complexe-33] Pour déterminer l'argument du complexe voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[simplification_de_sbarre-34] $\cos [\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] = \sin [\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}}$ ${$ en effet posant $α = \arctan (\frac{1}{2})$ $\Rightarrow$ $\tan (α) = \frac{1}{2} = \frac{2 \tan (\frac{α}{2})}{1 - \tan^{2} (\frac{α}{2})}$ $\Rightarrow$ $\tan^{2} (\frac{α}{2}) + 4 \tan (\frac{α}{2}) - 1 = 0$ $\Rightarrow$ $\tan (\frac{α}{2}) = - 2 + \sqrt{5}$ et $\sin (\frac{α}{2}) = \tan (\frac{α}{2}) \cos (\frac{α}{2}) = \frac{\tan (\frac{α}{2})}{\sqrt{1 + \tan^{2} (\frac{α}{2})}} = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}}}$ ;
Modèle:Al $\sin [\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] = \cos [\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2})] = \frac{1}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}}$ ${$ en effet posant $α = \arctan (\frac{1}{2})$ $\overset{\dots}{\Rightarrow}$ $\tan (\frac{α}{2}) = - 2 + \sqrt{5}$ et $\cos (\frac{α}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (\frac{α}{2})}} =$ $\frac{1}{\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}}}}$ .

[simplifications-35] 35,0 ^35,1 ^35,2 ^35,3 ^35,4 ^35,5 ^35,6 et ^35,7 En effet $\frac{{(\sqrt[4]{5})}^{2} {(\sqrt{5} - 2)}^{2}}{{(\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}})}^{2}} = \frac{\sqrt{5} (5 + 4 - 4 \sqrt{5})}{10 - 4 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} (9 - 4 \sqrt{5})}{10 - 4 \sqrt{5}}$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{{(\sqrt[4]{5})}^{2} (\sqrt{5} - 2)}{{(\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}})}^{2}} = \frac{5 - 2 \sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $\frac{{(\sqrt[4]{5})}^{2}}{{(\sqrt{10 - 4 \sqrt{5}})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}}$ .

[simplifications_-_bis-36] 36,0 ^36,1 ^36,2 et ^36,3 En effet $\frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} (9 - 4 \sqrt{5}) - \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10 - 4 \sqrt{5}} [8 - 4 \sqrt{5}] = \sqrt{5} \frac{4 - 2 \sqrt{5}}{5 - 2 \sqrt{5}} = \frac{4 - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}$ .

[simplifications_-_ter-37] 37,0 ^37,1 ^37,2 et ^37,3 En effet $\frac{4 - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} + 1 = \frac{2 - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = - 1$ .

[38] $f_{2} (x)$ et $f_{1} (x)$ suivant la même équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène $($ donc découplée et indépendante $)$ sans terme du 3^ème et 1^er ordres, il est donc logique de constater que $f_{2} (x)$ a la même forme que $f_{1} (x)$ , ces deux fonctions ne différant que par les constantes arbitraires achevant leur définition.

[39] Un découplage de trois équations différentielles couplées dépendant des trois fonctions cherchées ${f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)}$ est qualifié de complet si on trouve un système de trois équations différentielles de trois nouvelles fonctions ${F_{1} (x), F_{2} (x), F_{3} (x)}$ dépendant des trois fonctions d'origine ${f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)}$ , chaque équation différentielle ne faisant intervenir qu'une nouvelle fonction, le nouveau système étant équivalent au système initial $\dots$

[40] C'est assez prévisible compte-tenu du caractère non linéaire des équations différentielles ;
Modèle:Alen absence de découplage seule une résolution numérique est possible $\dots$

[41] Si les deux fonctions ${f_{1} (x), f_{2} (x)}$ étaient identiquement nulles, les équations différentielles du système seraient immédiatement découplées car il ne resterait que l'équation $(3)$ selon $\frac{d f_{3}}{d x} (x) - b \sqrt{f_{3}^{2} (x)} f_{3} (x) = e$ .

[42] Il peut néanmoins exister des valeurs de $x$ pour lesquelles $f_{2} (x)$ serait nulle, ces valeurs seraient alors à retirer du domaine de définition de la fonction $f_{2}$ .

[k_=_0-43] $k = 0$ correspondant à la fonction $f_{1}$ identiquement nulle.

[44] En effet il suffit de multiplier de part et d'autre l'équation différentielle $\frac{d f_{2}}{d x} (x) - b \sqrt{k^{2} f_{2}^{2} (x) + f_{2}^{2} (x) + f_{3}^{2} (x)} f_{2} (x) = 0$ par $\sqrt{k^{2} + 1}$ et d'introduire $F_{2} (x) = \sqrt{k^{2} + 1} f_{2} (x)$ .

[présentation_du_système_d'équations_différentielles_-_bis-45] 45,0 ^45,1 ^45,2 ^45,3 ^45,4 ^45,5 ^45,6 et ^45,7 Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que sa dérivée 1^ère dans un 1^er membre, l'autre fonction $($ seule, sans ses dérivées $)$ apparaissant dans le 2^nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2^nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation » $\dots$

[distributivité_de_la_multiplication_vectorielle_relativement_à_l'addition_vectorielle-46] Obtenu par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[47] La valeur $α = 0$ avait été interdite pour former le quotient $\frac{β}{α}$ , si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait $a = 0$ pour avoir une forme indéterminée mais $a \neq 0$ ;
Modèle:Alla valeur $β = 0$ interdite pour former le quotient $\frac{α}{β}$ l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait $a = 0$ pour avoir une forme indéterminée mais $a \neq 0$ .

[découplage_par_substitution_-_bis-48] 48,0 ^48,1 et ^48,2 Voir le paragraphe « recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué » plus haut dans le chapitre.

[49] C'est donc cette méthode de découplage qu'il faut privilégier et non la méthode de résolution « par substitution » laquelle s'avèrera toujours plus longue à mettre en œuvre que n'importe quelle méthode de découplage $\dots$ .

[50] Condition pour que la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe exposée dans ce paragraphe soit effectif.

[justification_de_cette_C.L.-51] Cette combinaison linéaire complexe trouve sa justification dans l'échec matérialisé dans le paragraphe précédent « vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées » ayant établi que $\frac{α}{β}$ devait suivre l'équation algébrique ${(\frac{α}{β})}^{2} + 1 = 0$ d'où l'absence de solution réelle et par suite l'absence de combinaison linéaire réelle possible mais $\dots$ la présence de deux solutions opposées complexes $\frac{α}{β} = \pm i$ conduit à deux combinaisons linéaires complexes possibles dont nous avons sélectionné celle correspondant à $\frac{α}{β} = - i$ , plus précisément $α = 1$ et $β = i$ .

[52] On rappelle que $i^{2} = - 1$ $\Rightarrow$ $1 = - i^{2}$ .

[C.Q.F.É.-53] Ce Qu'il Fallait Établir.

[54] Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la méthode exposée dans $ℝ$ s'étendant sans aucune modification dans $ℂ$ ;
Modèle:Alpour la détermination de la solution libre, voir le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre homogène » du même chapitre et
Modèle:Alpour celle de la solution forcée, voir le paragraphe « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » du même chapitre $\dots$

[55] Voir le paragraphe « exemple d'un 1^er ordre à excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[solution_libre_d'une_équa_diff_lin_à_coef_csts_du_1er_ordre-56] 56,0 et ^56,1 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[57] On a posé $\underline{A} = A \exp (- i φ)$ .

[réécriture_des_solutions_forcées-58] 58,0 et ^58,1 En effet $\frac{d + i e}{b + i a} = \frac{(d + i e) (b - i a)}{(b + i a) (b - i a)} = \frac{(b d + a e) + i (b e - a d)}{b^{2} + a^{2}}$ d'où $ℜ e [\frac{d + i e}{b + i a}] = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ et $ℑ m [\frac{d + i e}{b + i a}] = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ .

[réécriture_des_solutions_forcées_-_bis-59] 59,0 et ^59,1 Ce qu'il faut faire dans l'hypothèse où on ne voit pas la simplification de traitement consistant à multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur.
Modèle:AlSi $(d, b)$ sont $> 0$ la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [\frac{d + i e}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [\frac{d + i e}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ;
Modèle:Alsi $d$ est $< 0$ avec $(e, b)$ tous deux $> 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $i \frac{e - i d}{b + i a}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [i \frac{e - i d}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\frac{π}{2} - \arctan (\frac{d}{e}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℜ e [i \frac{e - i d}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{d}{e}) + \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [i \frac{e - i d}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\frac{π}{2} - \arctan (\frac{d}{e}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℑ m [i \frac{e - i d}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{d}{e}) + \arctan (\frac{a}{b})]$ ;
Modèle:Alsi $(d, e)$ sont $< 0$ avec $b > 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [π + \arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℜ e [- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [π + \arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℑ m [- \frac{(- d) + i (- e)}{b + i a}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ;
Modèle:Alsi $b$ est $< 0$ avec $(a, d)$ tous deux $> 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $\frac{d + i e}{i (a - i b)} = - i \frac{d + i e}{a - i b}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [- i \frac{d + i e}{a - i b}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [- \frac{π}{2} + \arctan (\frac{e}{d}) + \arctan (\frac{b}{a})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℜ e [- i \frac{d + i e}{a - i b}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) + \arctan (\frac{b}{a})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [- i \frac{d + i e}{a - i b}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [- \frac{π}{2} + \arctan (\frac{e}{d}) + \arctan (\frac{b}{a})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℑ m [- i \frac{d + i e}{a - i b}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) + \arctan (\frac{b}{a})]$ ;
Modèle:Alsi $(b, a)$ sont $< 0$ avec $d > 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [π + \arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℜ e [- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [π + \arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ou
Modèle:Al Modèle:Transparent $ℑ m [- \frac{d + i e}{(- b) + i (- a)}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ ;
Modèle:Alsi $(b, a)$ sont $< 0$ avec $d < 0$ , $\frac{d + i e}{b + i a}$ s'écrit aussi $\frac{(- d) + i (- e)}{(- b) + i (- a)}$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentla solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $ℜ e [\frac{(- d) + i (- e)}{(- b) + i (- a)}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $ℑ m [\frac{(- d) + i (- e)}{(- b) + i (- a)}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\arctan (\frac{e}{d}) - \arctan (\frac{a}{b})]$ .
Modèle:AlLa discussion sur la détermination de l'argument du complexe $\frac{d + i e}{b + i a}$ est faite en utilisant les propriétés exposées dans le paragraphe « détermination de l'argument (d'un quotient de formes algébriques de complexes) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[simplification_des_résultats_de_la_note_60-60] 60,0 et ^60,1 Pour terminer il convient de mettre en accord les résultats des notes « ⁵⁹ » et « ⁶⁰ » exposées plus haut dans ce paragraphe.
Modèle:AlSi $(d, b)$ sont $> 0$ la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$ $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \cos (γ) \cos (δ) + \sin (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [1 + \tan (γ) \tan (δ)] = \frac{1 + \tan (γ) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$ ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \frac{1 + \frac{e}{d} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$ $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \sin (γ) \cos (δ) - \cos (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [\tan (γ) - \tan (δ)] = \frac{\tan (γ) - \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$ ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \frac{\frac{e}{d} - \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $d$ est $< 0$ avec $(e, b)$ tous deux $> 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [\frac{π}{2} - γ^{'} - δ] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ^{'} + δ]$ où ${\begin{matrix} γ^{'} = \arctan (\frac{d}{e}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ^{'}) = \frac{d}{e} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ^{'} + δ] = \sin (γ^{'}) \cos (δ) + \cos (γ^{'}) \sin (δ) = \cos (γ^{'}) \cos (δ) [\tan (γ^{'}) + \tan (δ)] = \frac{\tan (γ^{'}) + \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ^{'})} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ^{'} + δ] = \frac{\frac{d}{e} + \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{d^{2}}{e^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [\frac{π}{2} - γ^{'} - δ] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ^{'} + δ]$ où ${\begin{matrix} γ^{'} = \arctan (\frac{d}{e}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ^{'}) = \frac{d}{e} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ^{'} + δ] = \cos (γ^{'}) \cos (δ) - \sin (γ^{'}) \sin (δ) = \cos (γ^{'}) \cos (δ) [1 - \tan (γ^{'}) \tan (δ)]$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= \frac{1 - \tan (γ^{'}) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ^{'})} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$ ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ^{'} + δ] = \frac{1 - \frac{d}{e} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{d^{2}}{e^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $(d, e)$ sont $< 0$ avec $b > 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [π + γ - δ] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \cos (γ) \cos (δ) + \sin (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [1 + \tan (γ) \tan (δ)] = \frac{1 + \tan (γ) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \frac{1 + \frac{e}{d} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b | d | + a e \frac{| d |}{d}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = - \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [π + γ - δ] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ^{'}) = \frac{d}{e} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \sin (γ) \cos (δ) - \cos (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [\tan (γ) - \tan (δ)] = \frac{\tan (γ) - \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \frac{\frac{e}{d} - \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{d^{2}}{e^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{b e \frac{| d |}{d} - a | d |}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = - \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $b$ est $< 0$ avec $(a, d)$ tous deux $> 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [- \frac{π}{2} + γ + δ^{'}] = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ + δ^{'}]$ où ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ^{'} = \arctan (\frac{b}{a}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ^{'} = \frac{b}{a} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ + δ^{'}] = \sin (γ) \cos (δ^{'}) + \cos (γ) \sin (δ^{'}) = \cos (γ) \cos (δ^{'}) [\tan (γ) + \tan (δ^{'})] = \frac{\tan (γ) + \tan (δ^{'})}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ^{'})}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ + δ^{'}] = \frac{\frac{e}{d} + \frac{b}{a}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}} = \frac{a e + b d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [- \frac{π}{2} + γ + δ^{'}] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ + δ^{'}]$ où ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ^{'} = \arctan (\frac{b}{a}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ^{'} = \frac{b}{a} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ + δ^{'}] = \cos (γ) \cos (δ^{'}) - \sin (γ) \sin (δ^{'}) = \cos (γ) \cos (δ^{'}) [1 - \tan (γ) \tan (δ^{'})] = \frac{1 - \tan (γ) \tan (δ^{'})}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ^{'})}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ + δ^{'}] = \frac{1 - \frac{e}{d} \frac{b}{a}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}} = - \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $(b, a)$ sont $< 0$ avec $d > 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [π + γ - δ] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \cos (γ) \cos (δ) + \sin (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [1 + \tan (γ) \tan (δ)] = \frac{1 + \tan (γ) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \frac{1 + \frac{e}{d} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{| b | d + a e \frac{| b |}{b}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = - \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [π + γ - δ] = - \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \sin (γ) \cos (δ) - \cos (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [\tan (γ) - \tan (δ)] = \frac{\tan (γ) - \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \frac{\frac{e}{d} - \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{| b | e - a d \frac{| b |}{b}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = - \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ ;
Modèle:Alsi $(b, a)$ sont $< 0$ avec $d < 0$ , la solution forcée de $f_{1} (x)$ se réécrit $f_{1, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \cos [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$ $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \cos (γ) \cos (δ) + \sin (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [1 + \tan (γ) \tan (δ)] = \frac{1 + \tan (γ) \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\cos [γ - δ] = \frac{1 + \frac{e}{d} \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{| b | | d | + a e \frac{| d |}{d} \frac{| b |}{b}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{(- b) (- d) + a e {(- 1)}^{2}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{b d + a e}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$ $f_{1, forcée} = \frac{b d + a e}{b^{2} + a^{2}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle de $f_{2} (x)$ se réécrit $f_{2, forcée} = \frac{\sqrt{d^{2} + e^{2}}}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \sin [γ - δ]$ avec ${\begin{matrix} γ = \arctan (\frac{e}{d}) \\ δ = \arctan (\frac{a}{b}) \end{matrix}}$ $[$ voir la note « ⁶⁰ » $]$ $\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \tan (γ) = \frac{e}{d} \\ \tan δ = \frac{a}{b} \end{matrix}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \sin (γ) \cos (δ) - \cos (γ) \sin (δ) = \cos (γ) \cos (δ) [\tan (γ) - \tan (δ)] = \frac{\tan (γ) - \tan (δ)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (γ)} \sqrt{1 + \tan^{2} (δ)}}$
Modèle:Al Modèle:Transparent ${$ car $1 + \tan^{2} (α) = \frac{1}{\cos^{2} (α)}}$ d'où
Modèle:Al Modèle:Transparent $\sin [γ - δ] = \frac{\frac{e}{d} - \frac{a}{b}}{\sqrt{1 + \frac{e^{2}}{d^{2}}} \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}}} = \frac{| b | e \frac{| d |}{d} - a | d | \frac{| b |}{b}}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{(- b) e (- 1) - a (- d) (- 1)}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{b e - a d}{\sqrt{d^{2} + e^{2}} \sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent $f_{2, forcée} = \frac{b e - a d}{b^{2} + a^{2}}$ $[$ en accord avec la note « ⁵⁹ » $]$ .

[découplage_par_C.L._complexe-61] Voir le paragraphe « exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées » plus haut dans ce chapitre.

[mal_adaptée-62] Mal adaptée.

[63] On aurait pu éliminer $f_{1} (x)$ à partir de l'équation différentielle $(2)$ , on aurait obtenu $f_{1} (x) = - \frac{1}{a} \frac{d f_{2}}{d x} (x) - \frac{b}{a} f_{2} (x) + \frac{e}{a}$ $\Rightarrow$ $\frac{d f_{1}}{d x} (x) = - \frac{1}{a} \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) - \frac{b}{a} \frac{d f_{2}}{d x} (x)$ d'où par report dans l'équation différentielle $(1)$ , $[- \frac{1}{a} \frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) - \frac{b}{a} \frac{d f_{2}}{d x} (x)] + b [- \frac{1}{a} \frac{d f_{2}}{d x} (x) - \frac{b}{a} f_{2} (x) + \frac{e}{a}] = a f_{2} (x) + d$ soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre découplée et indépendante en $f_{2} (x)$ , hétérogène « $\frac{d^{2} f_{2}}{d x^{2}} (x) + 2 b \frac{d f_{2}}{d x} (x) + [b^{2} + a^{2}] f_{2} (x) = [b e - a d] (2^{'})$ » $[$ il suffisait de permuter les indices « $_{1}$ » et Modèle:Nobr changer $a$ en $- a$ et permuter $d$ et $e$ à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en $f_{1} (x)]$ .

[résolution_d'une_équa_diff_lin_du_2ème_ordre_hétérogène_-_bis-64] Voir les paragraphes « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène », « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » et « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[65] Voir le paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[66] Voir le paragraphe « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[67] Voir le paragraphe « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[discriminant_réduit-68] Lors de la résolution de l'équation algébrique du 2^ème degré en $s$ , $a s^{2} + 2 b s + c = 0$ , le discriminant s'écrivant $Δ = 4 b^{2} - 4 a c$ est encore égal à $4 Δ^{'}$ avec $Δ^{'} = b^{2} - a c$ définissant le discriminant réduit ; la discussion de l'existence de solutions réelles distinctes, de solution réelle double et de l'inexistence de solutions réelles portant sur le signe de $Δ$ se reporte sans modification sur le signe de $Δ^{'}$ .

[69] Lors de la résolution, dans $ℂ$ , de l'équation algébrique du 2^ème degré en $\underline{s}$ , $a {\underline{s}}^{2} + 2 b \underline{s} + c = 0$ , les solutions s'écrivent en utilisant le discriminant réduit $Δ^{'} = b^{2} - a c$ $[$ voir la note « ⁶⁷ » plus haut dans ce chapitre $]$ : ${\begin{matrix} si Δ^{'} est > 0, & {\underline{s}}_{\pm} = - \frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{Δ^{'}}}{a} \\ si Δ^{'} est = 0, & {\underline{s}}_{d} = - \frac{b}{a} \\ si Δ^{'} est < 0, & {\underline{s}}_{\pm} = - \frac{b}{a} \pm i \frac{\sqrt{- Δ^{'}}}{a} \end{matrix}}$ , cela résulte de ${\begin{matrix} si Δ = 4 Δ^{'} est > 0, & {\underline{s}}_{\pm} = - \frac{2 b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{4 Δ^{'}}}{2 a} \\ si Δ = 4 Δ^{'} est = 0, & {\underline{s}}_{d} = - \frac{2 b}{2 a} \\ si Δ = 4 Δ^{'} est < 0, & {\underline{s}}_{\pm} = - \frac{2 b}{2 a} \pm i \frac{\sqrt{- 4 Δ^{'}}}{2 a} \end{matrix}}$ .

[70] Voir le paragraphe « cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[71] Voir le paragraphe « solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage

Sommaire

Notion de système d'équations différentielles couplées

Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

Généralités

Mise en pratique du découplage par combinaison linéaire

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectif

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échoué

Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué

Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général

Présentation de l'exemple

Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées

Établissement d'une relation entre f₁(x) et f₂(x) indépendante de f₃(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées

Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F₂(x) et f₃(x)

Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation de l'exemple

Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre en f₁(x) et f₂(x)

Bien que mal adapté, exposé du découplage par substitution du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Notes et références

Menu de navigation

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage

Notion de système d'équations différentielles couplées

Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

Généralités

Mise en pratique du découplage par combinaison linéaire

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectif

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échoué

Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué

Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général

Présentation de l'exemple

Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées

Établissement d'une relation entre f1(x) et f2(x) indépendante de f3(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées

Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F2(x) et f3(x)

Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation de l'exemple

Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées

Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées

Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées

Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre en f1(x) et f2(x)

Bien que mal adapté, exposé du découplage par substitution du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées

Notes et références

Menu de navigation

Rechercher

Établissement d'une relation entre f₁(x) et f₂(x) indépendante de f₃(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées

Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F₂(x) et f₃(x)

Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre en f₁(x) et f₂(x)

Bien que mal adapté, exposé du découplage par substitution du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées