Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss

Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

Modèle:AlPour être défini, un miroir sphérique nécessite la connaissance de :

sa nature « concave » ou « convexe »,
son centre $C$ $($ centre de courbure de la surface sphérique réfléchissante^[1] $)$ ,
son rayon de courbure $($ non algébrisé $)$ $R$ $($ rayon de courbure de la surface sphérique réfléchissante $)$ ,
l'axe optique principal dont la partie incidente $($ ou son prolongement $)$ passe par $C$ et le point objet $A_{o}$ $($ point objet dont on étudiera l'image éventuelle $)$ et
son sommet $S$ $($ intersection de l'axe optique principal et de la surface réfléchissante $)$ .

Modèle:AlNous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal^[2] et, pour unifier l'étude des miroirs sphériques, algébrisons le rayon de courbure du miroir selon $\overline{R} = {\overline{S C}}_{\to}$ ^[2] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du miroir caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :

si $\overline{R} = {\overline{S C}}_{\to} > 0$ ^[2], $C$ étant à droite de $S$ est virtuel, correspondant à un miroir « convexe »,
si $\overline{R} = {\overline{S C}}_{\to} < 0$ ^[2], $C$ étant à gauche de $S$ est réel, correspondant à un miroir « concave ».

Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé

Miroir sphérique convexe : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé
Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé

Miroir sphérique concave : algébrisation de l'axe optique principal, définitions du centre, du sommet et du rayon de courbure algébrisé

Modèle:AlDans la suite nous supposerons le miroir sphérique concave^[3] et
Modèle:Al Modèle:Transparentadmettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique^[4] pour tous les points objet autres que $C$ et tous les points du miroir^[5].

Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss

Fichier:Miroir sphérique concave - stigmatisme approché.jpg

Schéma d'un miroir sphérique concave dans le but d'établir le stigmatisme approché du miroir^[6] pour tout point objet autre que

C

et

S

Modèle:AlConsidérant un point objet réel $A_{o} \neq C$ et l'axe optique principal correspondant de support $(A_{o} C)$ ^[7], nous envisageons des rayons incidents issus de $A_{o}$ , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison $θ_{o}$ tel que $| θ_{o} | ≪ 1$ et dont le point d'incidence $I$ reste proche du sommet $S$ c'est-à-dire tel que l'angle que fait la normale au miroir en $I$ dans le sens incident avec la partie incidente de l'axe optique principal $\hat{(\vec{C S}; \vec{N})} =$ $ω$ est tel que $| ω | ≪ 1$ ^[8].

Modèle:AlLe rayon incident $A_{o} I$ donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes^[9] de la réflexion^[10]Modèle:,^[11], le rayon réfléchi $I A_{i}$ $(A_{i} \in$ à l'axe optique principal $)$ , appelons $θ_{i}$ l'angle d'inclinaison du rayon réfléchi par rapport à la partie réfléchie de l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que $A_{i}$ est indépendant du rayon incident considéré $($ c'est-à-dire indépendant de $θ_{o}$ et de $ω)$ dans la mesure où les conditions de Gauss^[12] de stigmatisme approché^[13] $(| θ_{o} | ≪ 1$ et $| ω | ≪ 1)$ sont réalisées.

Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω

En travaillant dans le triangle $A_{o} I C$ établir une 1^ère relation entre $θ_{o}$ , $i ($ angle d'incidence du rayon incident en $I)$ et $ω$ ,
en travaillant dans le triangle $A_{i} I C$ établir une 2^ème relation entre $θ_{i}$ , $i^{'} ($ angle de réflexion du rayon réfléchi en $I)$ et $ω$ ,
en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes^[9] de la réflexion^[11] et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre $θ_{o}$ , $θ_{i}$ et $ω$ : « $ω = \frac{θ_{o} + θ_{i}}{2} (𝔞)$ »^[14].

Modèle:Solution

Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H

Modèle:AlDe la relation $(𝔞)$ et des conditions de Gauss^[12] de stigmatisme approché^[13], montrer que le rayon réfléchi est peu incliné relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal c'est-à-dire $| θ_{i} | ≪ 1$ .

En travaillant dans le triangle $A_{o} I H$ ^[15] évaluer $\tan (θ_{o})$ en fonction, entre autres, de ${\overline{H A_{o}}}_{\to}$ ^[2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $θ_{o}$ ,
en travaillant dans le triangle $A_{i} I H$ ^[15] évaluer $\tan (θ_{i})$ en fonction, entre autres, de ${\overline{H A_{i}}}_{\leftarrow}$ ^[2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $θ_{i}$ ,
en travaillant dans le triangle $C I H$ ^[15] évaluer $\tan (ω)$ en fonction, entre autres, de ${\overline{H C}}_{\to}$ ^[2] puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle $ω$ ,
déduire des trois évaluations précédentes et de la relation $(𝔞)$ , un lien entre « ${\overline{H A_{o}}}_{\to}$ , ${\overline{H A_{i}}}_{\leftarrow}$ et ${\overline{H C}}_{\to}$ »^[2] $[$ relation $(𝔟)]$ .

Modèle:Solution

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

Modèle:AlÉtablir que $H$ ^[15] peut être confondu avec le sommet $S$ du miroir à l'ordre un en $ω$ ^[16] et

Modèle:Alréécrire que la relation $(𝔟)$ en tenant compte de cette confusion.

Modèle:Solution

Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

Modèle:AlVérifier que la relation $(𝔟)$ définit, pour un point objet $A_{o}$ quelconque, un point image unique $A_{i}$ et en déduire
Modèle:Al Modèle:Transparentle stigmatisme approché du miroir sphérique^[6] pour le point objet $A_{o}$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla relation $(𝔟)$ pouvant être écrite selon « $\frac{1}{{\overline{S A_{i}}}_{\leftarrow}} - \frac{1}{{\overline{S A_{o}}}_{\to}} = V$ »^[2]Modèle:,^[17] où $V$ est une constante appelée « vergence » du miroir sphérique exprimée en dioptries $($ de symbole $δ)$ ^[18],
Modèle:Al Modèle:Transparentexprimer $V$ en fonction de $\overline{R} = {\overline{S C}}_{\to}$ ^[2].

Modèle:AlPar la suite notant l'abscisse de Descartes^[19]

(

avec origine au sommet

)

^[20] du point objet

p_{o} = {\overline{S A_{o}}}_{\to}

^[2] et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle du point image

p_{i} = {\overline{S A_{i}}}_{\leftarrow}

^[2],
Modèle:Alla relation de conjugaison

(

approchée

)

de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

(

approchée

)]

de Descartes^[19] d'un miroir sphérique se réécrit

«

\frac{1}{p_{i}} - \frac{1}{p_{o}} = V

»^[21].

Modèle:Solution

Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles

Modèle:AlVérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre $C$ et le sommet $S$ ^[5] du miroir sont des points
Modèle:Al Modèle:Transparentpour lesquels le miroir est stigmatique rigoureux et
Modèle:Al Modèle:Transparentdont l'image est confondue avec l'objet $($ c'est-à-dire des points doubles $)$ .

Modèle:AlJustifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison $($ approchée $)$ de position de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ est applicable à $C$ , centre du miroir,
Modèle:Al Modèle:Transparentbien que la conjugaison soit rigoureuse ;

Modèle:Alvérifier, en utilisant cette relation, que $C$ est effectivement un point double.

Modèle:AlAdmettant que la relation de conjugaison $($ approchée $)$ de position de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ reste applicable à $S$ , sommet du miroir^[22], pour lequel il y a conjugaison rigoureuse,
Modèle:Al Modèle:Transparentévaluer $p_{i}$ en fonction de $p_{o}$ et de $V$ puis
Modèle:Al Modèle:Transparentvérifier, sur cette dernière forme, que
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « $S$ est effectivement un point double » et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « il n'y a pas d'autres points doubles que $S$ et $C$ ».

Modèle:Solution

Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image

Modèle:AlVérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes^[19] d'un miroir sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »^[23] puis

Modèle:Aldéterminer $≻$ la position du foyer principal objet $F_{o}$ c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal $[$ ou $F_{o} \overset{ℳ}{⟶} A_{i, \infty}]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ la position du foyer principal image $F_{i}$ c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent^[24] le point à l'infini de cet axe optique principal $[$ ou $A_{o, \infty} \overset{ℳ}{⟶} F_{i}]$ ;

Modèle:Alquelle particularité ces deux points possèdent-ils en ce qui concerne leurs positions absolues d'une part et leur position relative d'autre part ?

Modèle:AlDéfinissant $≻$ la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes^[19] du foyer principal objet $($ avec origine au sommet $)$ soit « $f_{o} = {\overline{S F_{o}}}_{\to}$ »^[2] et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes^[19] du foyer principal image $($ avec origine au sommet $)$ soit « $f_{i} = {\overline{S F_{i}}}_{\leftarrow}$ »^[2],

Modèle:Aldéterminer le lien entre vergence $V$ , distance focale objet $f_{o}$ et distance focale image $f_{i}$ .

Modèle:Solution

Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique

Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

Modèle:AlDéterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du miroir sphérique puis

Modèle:Al Modèle:Transparentson caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » $($ respectivement « négative » $)$ est dit « convergent » $($ respectivement « divergent » $)$ et

Modèle:Al Modèle:Transparentla nature « réelle » ou « virtuelle » des foyers principaux.

Modèle:Solution

Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal

Modèle:AlEn reprenant la démonstration faite dans la solution de la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice^[25] mais
Modèle:Al Modèle:Transparentavec $A_{o}$ situé à l'infini $($ ce qui correspond à $θ_{o} = 0)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparenten conservant les notations introduites dans « cette question » $[$ à l'exception de $A_{i}$ qui sera noté $F_{i} (ω)$ ^[26] et de $H$ qui sera noté $H (ω)$ ^[26] $]$ ,

Modèle:Aldéterminer la position de $F_{i} (ω)$ $[$ point de l'axe optique principal par lequel passe le rayon réfléchi correspondant au rayon incident $∥$ à l'axe optique principal, de point d'incidence $I (ω)$ ^[26] $]$ et

Modèle:Alvérifier que $F_{i} (ω)$ dépendant effectivement de $ω$ et par suite
Modèle:Al Modèle:Transparentqu'il n'y a pas conjugaison rigoureuse du miroir sphérique $($ concave $)$ ^[17] pour le point situé à l'infini de l'axe optique principal.

Modèle:Solution

Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

Modèle:AlOn considère le miroir sphérique concave introduit à la question « démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice et
Modèle:Al Modèle:Transparentun objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o} \neq C$ ^[28] tel qu'il y ait stigmatisme approché du miroir^[6] pour tous les points $M_{o}$ de $A_{o} B_{o}$ ^[29] $\Rightarrow$

Modèle:Al Modèle:Transparentl'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] admet une image « nette » $A_{i} B_{i}$ ^[30] mais a priori^[31]
Modèle:Al Modèle:Transparentni « linéique »^[32] ni « transverse ».

Modèle:AlOn suppose que l'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] est, quand l'objet n'est pas proche du miroir, vu du sommet $S$ du miroir sous un angle non algébrisé $β$ petit $($ c'est-à-dire $β ≪ 1$ si $A_{o} ≃ S)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentquand l'objet est proche du miroir, vu du centre $C$ du miroir sous un angle non algébrisé $α$ petit $($ c'est-à-dire $α ≪ 1$ si $A_{o} ≃ S)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentces deux exigences constituant les conditions de Gauss^[12] d'aplanétisme approché^[33] pour un objet linéique transverse^[27] quelconque^[34].

Modèle:AlRemarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss^[12] d'aplanétisme approché^[33] d'un objet linéique transverse^[27] quelconque $A_{o} B_{o}$ ^[35] :
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ si un objet $A_{o} B_{o}$ est tel que son pied $A_{o}$ n'est pas proche du centre $C$ du miroir, il doit être vu du centre $C$ sous un angle non algébrisé $α$ petit $($ c'est-à-dire $α ≪ 1$ si $A_{o} ≃ C)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ si un objet $A_{o} B_{o}$ est tel que son pied $A_{o}$ est proche de $C$ , il doit être vu du sommet $S$ du miroir sous un angle non algébrisé $β$ petit $($ c'est-à-dire $β ≪ 1$ si $A_{o} ≃ C)$ .

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle

Modèle:AlL'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] étant d'abord supposé de pied $A_{o}$ non proche du centre $C$ du miroir $($ c'est-à-dire $A_{o} ≃ C)$ ,
Modèle:Alnous considérons l'angle $α$ , sous lequel il est vu du centre $C$ , petit $($ c'est-à-dire $α ≪ 1)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'angle $β$ sous lequel il est vu du sommet $S$ , n'étant pas nécessairement petit,
Modèle:Alla démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position $($ ou 1^ère relation de conjugaison $)$ de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice »^[36] à savoir « $\frac{1}{{\overline{C A_{i}}}_{\leftarrow}} - \frac{1}{{\overline{C A_{o}}}_{\to}} = - V$ »^[2] où $V$ est la vergence précédemment introduite ;

Modèle:Alla démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :

montrer qu'à l'ordre un en $α$ , l'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] peut être confondu avec un arc de cercle de centre $C$ , d'angle au centre associé $α$ ,
en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ dd"> Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.</ref>, montrer alors que l'image $A_{i} B_{i}$ est un arc de cercle de centre $C$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentvérifier que l'angle au centre associé est encore $α$ ,
conclure qu'à l'ordre un en $α$ , l'image $A_{i} B_{i}$ peut être confondue avec un segment $⊥$ à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse^[37].

Modèle:Solution

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

Modèle:AlL'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o}$ étant maintenant supposé proche du centre $C$ du miroir $($ c'est-à-dire $A_{o} ≃ C)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentnous considérons l'angle $β$ , sous lequel il est vu du sommet $S$ , petit $($ c'est-à-dire $β ≪ 1)$ ;
Modèle:Alla démarche pour établir l'aplanétisme du miroir pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de $M_{o}$ , point objet quelconque de $A_{o} B_{o}$ ^[38] et
Modèle:Al Modèle:Transparentde montrer que le point image $M_{i}$ , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis,
Modèle:Al Modèle:Transparenta pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image $A_{i}$ , pour cela :

déterminer l'abscisse image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ $p_{i}$ de $A_{i}$ en fonction de la distance focale image $f_{i}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentde l'abscisse objet de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ $p_{o}$ de $A_{o}$ ,
déterminer la longueur algébrique $\overline{A_{o} B_{o}}$ en fonction de $β$ et de l'abscisse objet de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ $p_{o}$ de $A_{o}$ ,
travaillant dans le repère orthonormé $(S, \vec{S x}, \vec{S y})$ ^[39] déterminer l'équation des rayons incidents $M_{o} S$ et $M_{o} F_{o}$ ^[40],
travaillant dans le repère orthonormé $(S, \vec{S x^{'}}, \vec{S y})$ ^[41] déterminer les équations des rayons réfléchis, puis leur intersection $M_{i}$ ;
vérifier que l'abscisse image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ du projeté de $M_{i}$ sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ de $A_{i}$ ,
conclure à l'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied proche du centre du miroir.

Modèle:Solution

Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)

Fichier:Miroir sphérique - symbole.jpg

Représentation symbolique

(

sans les foyers

)

d'un miroir sphérique concave

(

à gauche

)

et d'un miroir sphérique convexe

(

à droite

)

Modèle:AlDès lors qu'un miroir sphérique est utilisée sous conditions de Gauss^[12] de stigmatisme et d'aplanétisme approchés^[13]Modèle:,^[33], l'usage est de représenter ce miroir sous une forme symbolique dans laquelle figurent

l'axe optique principal,
le centre $C$ ,
les foyers principaux objet $F_{o}$ et image $F_{i}$ $($ non représentés ci-contre^[42] $)$ ,
le sommet $S$ et
la partie de miroir $⊥$ en $S$ à l'axe optique principal^[43], partie de miroir sur laquelle est rappelée l'algébrisation physique de l'axe optique principal.

Modèle:Clr

Erreur lors de la création de la vignette :

Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes^[19] avec origine en

S

pour un miroir sphérique concave

Modèle:AlSur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse $A_{i} B_{i}$ d'un objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o}$ $\neq S$ et $\neq C$ en considérant deux rayons incidents issus de $B_{o}$ ,
Modèle:Al $≻$ l'un passant que le centre $C$ du miroir et qui se réfléchit sur lui-même^[44],
Modèle:Al $≻$ l'autre passant par le sommet $S$ du miroir et qui se réfléchit en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes^[9] de la réflexion^[11]Modèle:,^[45],
Modèle:Alle point d'intersection de ces deux rayons réfléchis étant le point de convergence $B_{i}$ de tous les rayons réfléchis correspondant à tous les rayons incidents issus de $B_{o}$ sous conditions de Gauss^[12]Modèle:,^[46],
Modèle:Alil suffit de projeter orthogonalement $B_{i}$ sur l'axe optique principal pour obtenir le point image $A_{i}$ du point objet $A_{o}$ ^[47].

Modèle:AlEn comparant les triangles rectangles $A_{i} B_{i} S$ et $A_{o} B_{o} S$ , déterminer le grandissement transverse par le miroir sphérique concave de l'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] défini par « $G_{t} (A_{o}) = \frac{\overline{A_{i} B_{i}}}{\overline{A_{o} B_{o}}}$ » en fonction des abscisses objet et image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ ${\begin{matrix} p_{o} = {\overline{S A_{o}}}_{\to} \\ p_{i} = {\overline{S A_{i}}}_{\leftarrow} \end{matrix}}$ ^[2] ;

Modèle:Alla relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison $($ approchée $)$ de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $($ approchée $)]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ pour tout objet linéique transverse^[27] de pied $A_{o} \neq S$ ^[48]Modèle:,^[21], elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du miroir sphérique pour l'objet linéique transverse^[27] de pied $A_{o}$ ^[49].

Modèle:Solution

Modèle:AlConsidérant un objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o} = C$ ^[50] et
Modèle:Al Modèle:Transparentla condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé $β$ sous lequel l'objet est vu du sommet $S$ , petit $(β ≪ 1)$ ,

vérifier, par construction de l'image $A_{i} B_{i}$ , qu'elle est symétrique de $A_{o} B_{o}$ par rapport à l'axe optique principal et
comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse^[27] de pied $A_{o} \neq S$ ^[48]Modèle:,^[21] en considérant $A_{o} = C$ .

Modèle:AlConsidérant maintenant un objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o} = S$ ^[51] et
Modèle:Al Modèle:Transparentla condition d'aplanétisme approché du miroir pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé $α$ sous lequel l'objet est vu du centre $C$ , petit $(α ≪ 1)$ ^[52],

vérifier que l'image $A_{i} B_{i}$ se superpose à $A_{o} B_{o}$ , le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
en déduire la valeur du grandissement transverse $G_{t} (S)$ pour un objet linéique transverse^[27] de pied $A_{o} = S$ .

Modèle:Solution

Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse

Modèle:AlDéfinitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet $F_{o}$ et

Modèle:Al Modèle:Transparentplan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image $F_{i}$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre $C$ du miroir, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se réfléchissant sur elle-même pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton appelle foyer secondaire objet $φ_{o}$ associé à un axe optique secondaire de support $(δ)$ l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et

Modèle:Al Modèle:Transparentfoyer secondaire image $φ_{i}$ associé à un axe optique secondaire de support $(δ)$ l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.

Modèle:AlPropriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support $(δ)$ :

le foyer secondaire objet $φ_{o} (δ)$ associé à l'axe optique secondaire de support $(δ)$ admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire $[$ soit $φ_{o} (δ) \overset{ℳ}{⟶} B_{i, \infty} (δ)]$ ,
le foyer secondaire image $φ_{i} (δ)$ associé à l'axe optique secondaire de support $(δ)$ admet pour antécédent^[24] le point à l'infini de l'axe optique secondaire $[$ soit $B_{i, \infty} (δ) \overset{ℳ}{⟶} φ_{i} (δ)]$ .

Modèle:Solution

Modèle:AlConsidérant un objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] réel, de pied $A_{o}$ séparé du sommet $S$ d'un miroir sphérique concave d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du miroir, construire son image $A_{i} B_{i}$ par le miroir de deux façons différentes :

en considérant deux rayons incidents issus de $B_{o}$ $[$ choisis parmi les trois suivants : passant par $C$ , passant par $F_{o}$ ou $∥$ à l'axe optique principal $]$ ,
en considérant un rayon incident issu de $A_{o}$ ^[53] $[$ choisi parmi les deux suivants : passant par $φ_{o} (δ)$ ou $∥$ à l'axe optique secondaire $(δ)]$ .

Modèle:AlRefaire les constructions précédentes avec un miroir convexe.

Modèle:Solution

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Modèle:AlOn repère maintenant les points objet $A_{o}$ et image $A_{i}$ relativement au centre $C$ du miroir sphérique en définissant

l'abscisse objet de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ de $A_{o}$ par $π_{o} = {\overline{C A_{o}}}_{\to}$ ^[2] et
l'abscisse image de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ de $A_{i}$ par $π_{i} = {\overline{C A_{i}}}_{\leftarrow}$ ^[2] ;

Modèle:Alà partir de la relation de conjugaison de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

]

de Descartes^[19]

(

avec origine au sommet

)

^[54] et par changement d'origine,
Modèle:Alétablir que la relation de conjugaison de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

]

de Descartes^[19]

(

avec origine au centre

)

s'écrit

«

\frac{1}{{\overline{C A_{i}}}_{\leftarrow}} - \frac{1}{{\overline{C A_{o}}}_{\to}} = - V

»^[2]Modèle:,^[55] ou «

\frac{1}{π_{i}} - \frac{1}{π_{o}} = - V

» avec

V

vergence du miroir.

Modèle:Solution

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Erreur lors de la création de la vignette :

Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes^[19] avec origine en

C

pour un miroir sphérique concave

Modèle:AlÀ partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ ^[56] et par changement d'origine,
Modèle:Alétablir la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ ^[57].

Modèle:AlEn utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.

Modèle:Clr Modèle:Solution

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss

Modèle:AlOn repère maintenant le point objet $A_{o}$ relativement au foyer principal objet $F_{o}$ du miroir sphérique et
Modèle:Al Modèle:Transparentle point image $A_{i}$ relativement au foyer principal image $F_{i}$ du même miroir sphérique en définissant

l'abscisse objet de Newton^[58] de $A_{o}$ par « $σ_{o} = {\overline{F_{o} A_{o}}}_{\to}$ »^[2] et
l'abscisse image de Newton^[58] de $A_{i}$ par « $σ_{i} = {\overline{F_{i} A_{i}}}_{\leftarrow}$ »^[2].

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton

Modèle:AlÀ partir de la relation de conjugaison de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

]

de Descartes^[19]

(

avec origine au sommet

)

^[54] et par changement d'origine,
Modèle:Alétablir que la relation de conjugaison de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

]

de Newton^[58] s'écrit

«

{\overline{F_{i} A_{i}}}_{\leftarrow} {\overline{F_{o} A_{o}}}_{\to} = {\overline{S F_{i}}}_{\leftarrow} {\overline{S F_{o}}}_{\to}

»^[2]Modèle:,^[59] ou «

σ_{i} σ_{o} = f_{i} f_{o}

»^[21] avec

f_{i}

et

f_{o}

distances focales image et objet du miroir.

Modèle:Solution

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton

Fichier:Miroir sphérique - grandissement transverse Newton.jpg

Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton^[58] pour un miroir sphérique concave

Modèle:AlÀ partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ ^[56] et par changement d'origine,
Modèle:Alétablir la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Modèle:Nobr

Modèle:AlEn utilisant le schéma ci-contre vérifier directement les deux formes de cette relation.

Modèle:Clr

Modèle:Solution

Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss

Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet

Fichier:Miroir sphérique - grandissement angulaire.jpg

Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes^[19] avec origine en

S

pour un miroir sphérique concave

Modèle:AlLe grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet

A_{o}

, de direction faisant un angle

θ_{o}

avec la partie incidente de l'axe optique principal, le pinceau se réfléchissant sur le miroir en convergeant vers le point image

A_{i}

, avec une direction faisant un angle

θ_{i}

avec la partie réfléchie de l'axe optique principal, est défini selon

«

G_{a} (A_{o}) = \frac{θ_{i}}{θ_{o}}

»^[60]Modèle:,^[61] ;

Modèle:Alen utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire « $G_{a} (A_{o}) = \frac{θ_{i}}{θ_{o}}$ »^[60]Modèle:,^[61] en fonction des abscisses objet et image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ , respectivement « $p_{o} = {\overline{S A_{o}}}_{\to}$ et $p_{i} = {\overline{S A_{i}}}_{\leftarrow}$ »^[2]Modèle:,^[62].

Modèle:Clr Modèle:Solution

Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz

Modèle:AlÁ l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse

[

ou 2^ème relation de conjugaison

]

de Descartes^[19]

(

avec origine au sommet

)

^[56] et
Modèle:Al Modèle:Transparentde l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage^[63],

vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz »^[64]Modèle:,^[65]
«

G_{t} (A_{o}) G_{a} (A_{o}) = - 1

»^[66].

Modèle:Solution

Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss

Modèle:AlPour être défini, un dioptre sphérique nécessite la connaissance de :

sa nature « concave » ou « convexe »,
son centre $C$ $[$ centre de courbure de la surface sphérique dioptrique^[67] $]$ ,
son rayon de courbure $($ non algébrisé $)$ $R$ $[$ rayon de courbure de la surface sphérique dioptrique $]$ ,
l'axe optique principal dont la partie incidente $($ ou son prolongement $)$ passe par $C$ et le point objet $A_{o}$ $($ point objet dont on étudiera l'image éventuelle $)$ ,
son sommet $S$ $[$ intersection de l'axe optique principal et de la surface dioptrique $]$ et
l'indice de l'espace objet réel $n_{o}$ ainsi que celui de l'espace image réelle $n_{i}$ .

Modèle:AlNous adoptons l'algébrisation physique de l'axe optique principal^[68] et, pour unifier l'étude des dioptres sphériques, algébrisons le rayon de courbure du dioptre selon $\overline{R} = \overline{S C}$ ^[68] avec pour conséquence la nature « concave » ou « convexe » du dioptre caractérisé par le signe du rayon de courbure algébrisé :

si $\overline{R} = \overline{S C} > 0$ , $C$ étant à droite de $S$ est un point de l'espace objet virtuel, correspondant à un dioptre « convexe »,
si $\overline{R} = \overline{S C} < 0$ , $C$ étant à gauche de $S$ est un point de l'espace objet réel, correspondant à un dioptre « concave ».

Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent

Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent
Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent

Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique concave faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent

Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent

Justification du caractère divergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent
Erreur lors de la création de la vignette :

Justification du caractère convergent d'un dioptre sphérique convexe faisant passer d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent

Modèle:AlDans la suite nous supposerons le dioptre sphérique concave faisant passer d'un espace plus réfringent à un espace moins réfringent $($ figure de gauche de la 1^ère ligne de la galerie ci-dessus $)$ ^[69] et
Modèle:Al Modèle:Transparentadmettrons qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique^[4] pour tous les points objet autres que $C$ et tous les points du dioptre^[70].

Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss

Fichier:Dioptre sphérique concave convergent - stigmatisme approché.jpg

Schéma d'un dioptre sphérique concave convergent dans le but d'établir le stigmatisme approché du dioptre^[6] pour tout point objet autre que

C

et

S

Modèle:AlConsidérant un point objet réel $A_{o} \neq C$ et l'axe optique principal correspondant de support $(A_{o} C)$ ^[71], nous envisageons des rayons incidents issus de $A_{o}$ , peu inclinés par rapport à l'axe optique principal, d'angle d'inclinaison $θ_{o}$ tel que $| θ_{o} | ≪ 1$ et dont le point d'incidence $I$ reste proche du sommet $S$ $[$ l'angle que fait la normale au dioptre en $I$ avec l'axe optique principal $\hat{(\vec{C S}; \vec{N})}$ $= ω$ est donc petit en valeur absolue $(| ω | ≪ 1)$ ^[8] $]$ .

Modèle:AlLe rayon incident $A_{o} I$ donnant, par utilisation des lois de Snell - Descartes^[9] de la réfraction^[72], le rayon émergent $I A_{i}$ $(A_{i} \in$ à l'axe optique principal $)$ , appelons $θ_{i}$ l'angle d'inclinaison du rayon réfracté par rapport à l'axe optique principal ; nous nous proposons de démontrer que $A_{i}$ est indépendant du rayon incident considéré $($ c'est-à-dire indépendant de $θ_{o}$ et de $ω)$ dans la mesure où les conditions de Gauss^[12] de stigmatisme approché^[13] $(| θ_{o} | ≪ 1$ et $| ω | ≪ 1)$ sont réalisées.

Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i

En travaillant dans le triangle $A_{o} I C$ établir une 1^ère relation entre $θ_{o}$ , $i_{o} ($ angle d'incidence du rayon incident en $I)$ et $ω$ ,
en travaillant dans le triangle $A_{i} I C$ établir une 2^ème relation entre $θ_{i}$ , $i_{i} ($ angle de réfraction du rayon émergent en $I)$ et $ω$ ,
en utilisant la 2^ème loi de Snell - Descartes^[9] de la réfraction^[72] sous conditions de Gauss^[12] et les deux relations précédentes, déduire la relation suivante entre $θ_{o}$ , $θ_{i}$ , $ω$ , $n_{o}$ et $n_{i}$ « $ω = \frac{n_{o} θ_{o} - n_{i} θ_{i}}{n_{o} - n_{i}} (𝔞)$ ».

Modèle:Solution

Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H

Modèle:AlDe la relation $(𝔞)$ et des conditions de Gauss^[12] de stigmatisme approché^[13], montrer que le rayon réfracté est aussi peu incliné relativement à l'axe optique principal c'est-à-dire $| θ_{i} | ≪ 1$ .

En travaillant dans le triangle $A_{o} I H$ ^[15] évaluer $\tan (θ_{o})$ en fonction, entre autres, de $\overline{H A_{o}}$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, $θ_{o}$ ,
en travaillant dans le triangle $A_{i} I H$ ^[15] évaluer $\tan (θ_{i})$ en fonction, entre autres, de $\overline{H A_{i}}$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, $θ_{i}$ ,
en travaillant dans le triangle $C I H$ ^[15] évaluer $\tan (ω)$ en fonction, entre autres, de $\overline{H C}$ puis, en tenant compte de la petitesse de la valeur absolue de l'angle, $ω$ ,
déduire des trois évaluations précédentes et de la relation $(𝔞)$ , un lien entre $\overline{H A_{o}}$ , $\overline{H A_{i}}$ et $\overline{H C}$ $[$ relation $(𝔟)]$ .

Modèle:Solution

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

Modèle:AlÉtablir que $H$ ^[15] peut être confondu avec le sommet $S$ du dioptre à l'ordre un en $ω$ ^[16] et

Modèle:Alréécrire que la relation $(𝔟)$ en tenant compte de cette confusion.

Modèle:Solution

Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

Modèle:AlVérifier que la relation $(𝔟)$ définit, pour un point objet $A_{o}$ quelconque, un point image unique $A_{i}$ et en déduire
Modèle:Al Modèle:Transparentle stigmatisme approché du dioptre sphérique^[6] pour le point objet $A_{o}$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparentla relation $(𝔟)$ pouvant être écrite selon « $\frac{n_{i}}{\overline{S A_{i}}} - \frac{n_{o}}{\overline{S A_{o}}} = V$ »^[73] où $V$ est une constante appelée « vergence » du dioptre sphérique exprimée en dioptries $($ de symbole $δ)$ ^[18],
Modèle:Al Modèle:Transparentexprimer $V$ en fonction de $\overline{R} = \overline{S C}$ , $n_{o}$ et $n_{i}$ .

Modèle:AlPar la suite notant l'abscisse de Descartes^[19]

(

avec origine au sommet

)

^[74] du point objet

p_{o} = \overline{S A_{o}}

et
Modèle:Al Modèle:Transparentcelle du point image

p_{i} = \overline{S A_{i}}

,
Modèle:Alla relation de conjugaison

(

approchée

)

de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

(

approchée

)]

de Descartes^[19] d'un dioptre sphérique se réécrit

«

\frac{n_{i}}{p_{i}} - \frac{n_{o}}{p_{o}} = V

».

Modèle:Solution

Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles

Modèle:AlVérifier, par construction et pour une direction d'axe optique principal préalablement fixée, que le centre $C$ et le sommet $S$ ^[5] du dioptre sont des points
Modèle:Al Modèle:Transparentpour lesquels le dioptre est stigmatique rigoureux et
Modèle:Al Modèle:Transparentdont l'image est confondue avec l'objet $($ c'est-à-dire des points doubles $)$ .

Modèle:AlJustifier la raison pour laquelle la relation de conjugaison $($ approchée $)$ de position de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ est applicable à $C$ , centre du dioptre,
Modèle:Al Modèle:Transparentbien que la conjugaison soit rigoureuse ;

Modèle:Alvérifier, en utilisant cette relation, que $C$ est effectivement un point double.

Modèle:AlAdmettant que la relation de conjugaison $($ approchée $)$ de position de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ reste applicable à $S$ , sommet du dioptre^[75], pour lequel il y a conjugaison rigoureuse,
Modèle:Al Modèle:Transparentévaluer $p_{i}$ en fonction de $p_{o}$ et de $V$ puis
Modèle:Al Modèle:Transparentvérifier, sur cette dernière forme, que
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « $S$ est effectivement un point double » et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « il n'y a pas d'autres points doubles que $S$ et $C$ ».

Modèle:Solution

Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence

Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image

Modèle:AlVérifier, sur la 1^ère relation de conjugaison de Descartes^[19] d'un dioptre sphérique, que ce dernier est nécessairement « focal »^[23] puis déterminer

Modèle:Aldéterminer $≻$ la position du foyer principal objet $F_{o}$ c'est-à-dire le point objet de l'axe optique principal ayant pour image le point à l'infini de cet axe optique principal $[$ ou $F_{o} \overset{𝒟}{⟶} A_{i, \infty}]$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ la position du foyer principal image $F_{i}$ c'est-à-dire le point image de l'axe optique principal ayant pour antécédent^[24] le point à l'infini de cet axe optique principal $[$ ou $A_{o, \infty} \overset{𝒟}{⟶} F_{i}]$ .

Modèle:AlDéfinissant $≻$ la distance focale objet comme l'abscisse objet de Descartes^[19] du foyer principal objet $($ avec origine au sommet $)$ soit « $f_{o} = \overline{S F_{o}}$ » et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ la distance focale image comme l'abscisse image de Descartes^[19] du foyer principal image $($ avec origine au sommet $)$ soit « $f_{i} = \overline{S F_{i}}$ »,

Modèle:Aldéterminer le lien entre vergence $V$ , distance focale objet $f_{o}$ , distance focale image $f_{i}$ , indice espace objet $n_{o}$ et indice espace image $n_{i}$ .

Modèle:Solution

Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

Modèle:AlDéterminer le signe de la vergence suivant la nature « concave » ou « convexe » du dioptre sphérique et du signe de $n_{o} - n_{i}$ puis

Modèle:Al Modèle:Transparentson caractère « convergent » ou « divergent » sachant qu'un système focal à « vergence positive » est dit « convergent » et
Modèle:Al Modèle:Transparentà « vergence négative » Modèle:Transparent« divergent » ainsi que

Modèle:Al Modèle:Transparentla nature « réelle » ou « virtuelle » de ses foyers principaux.

Modèle:AlPour terminer, on précisera, dans chacun des quatre cas possibles, les positions absolues des foyers principaux objet et image relativement au centre et au sommet du dioptre considéré.

Modèle:Solution

Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss

Modèle:AlOn considère le dioptre sphérique concave convergent introduit à la question « démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss » plus haut dans cet exercice et
Modèle:Al Modèle:Transparentun objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o} \neq C$ ^[28] tel qu'il y ait stigmatisme approché du dioptre^[6] pour tous les points $M_{o}$ de $A_{o} B_{o}$ ^[76] $\Rightarrow$

Modèle:Al Modèle:Transparentl'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] admet une image « nette » $A_{i} B_{i}$ ^[30] mais a priori^[77]
Modèle:Al Modèle:Transparentni « linéique »^[32] ni « transverse ».

Modèle:AlOn suppose que l'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] est, quand l'objet n'est pas proche du dioptre, vu du sommet $S$ du dioptre sous un angle non algébrisé $β$ petit $($ c'est-à-dire $β ≪ 1$ si $A_{o} ≃ S)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentquand l'objet est proche du dioptre, vu du centre $C$ du dioptre sous un angle non algébrisé $α$ petit $($ c'est-à-dire $α ≪ 1$ si $A_{o} ≃ S)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentces deux exigences constituant les conditions de Gauss^[12] d'aplanétisme approché^[33] pour un objet linéique transverse^[27] quelconque^[78].

Modèle:AlRemarque : Il existe deux exigences équivalentes pour définir les conditions de Gauss^[12] d'aplanétisme approché^[33] d'un objet linéique transverse^[27] quelconque $A_{o} B_{o}$ ^[35] :
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ si un objet $A_{o} B_{o}$ est tel que son pied $A_{o}$ n'est pas proche du centre $C$ du dioptre, il doit être vu du centre $C$ sous un angle non algébrisé $α$ petit $($ c'est-à-dire $α ≪ 1$ si $A_{o} ≃ C)$ et
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ si un objet $A_{o} B_{o}$ est tel que son pied $A_{o}$ est proche de $C$ , il doit être vu du sommet $S$ du dioptre sous un angle non algébrisé $β$ petit $($ c'est-à-dire $β ≪ 1$ si $A_{o} ≃ C)$ .

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle

Modèle:AlL'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] étant d'abord supposé de pied $A_{o}$ non proche du centre $C$ du dioptre $($ c'est-à-dire $A_{o} ≃ C)$ ,
Modèle:Alnous considérons l'angle $α$ , sous lequel il est vu du centre $C$ , petit $($ c'est-à-dire $α ≪ 1)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentl'angle $β$ sous lequel il est vu du sommet $S$ , n'étant pas nécessairement petit,
Modèle:Alla démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet est rendue plus aisée si on utilise la « relation de conjugaison de position $($ ou 1^ère relation de conjugaison $)$ de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ établie dans la solution de la question plus bas dans cet exercice »^[36] à savoir « $\frac{n_{o}}{{\overline{C A_{i}}}_{\leftarrow}} - \frac{n_{i}}{{\overline{C A_{o}}}_{\to}} = V$ » où $V$ est la vergence précédemment introduite ;

Modèle:Alla démarche peut alors être décomposée en les étapes suivantes :

montrer qu'à l'ordre un en $α$ , l'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] peut être confondu avec un arc de cercle de centre $C$ , d'angle au centre associé $α$ ,
en utilisant la relation de conjugaison de position de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ ^[79], montrer alors que l'image $A_{i} B_{i}$ est un arc de cercle de centre $C$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentvérifier que l'angle au centre associé est encore $α$ ,
conclure qu'à l'ordre un en $α$ , l'image $A_{i} B_{i}$ peut être confondue avec un segment $⊥$ à l'axe optique principal c'est-à-dire qu'elle est linéique transverse^[80].

Modèle:Solution

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

Modèle:AlL'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o}$ étant maintenant supposé proche du centre $C$ du dioptre $($ c'est-à-dire $A_{o} ≃ C)$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparentnous considérons l'angle $β$ , sous lequel il est vu du sommet $S$ , petit $($ c'est-à-dire $β ≪ 1)$ ;
Modèle:Alla démarche pour établir l'aplanétisme du dioptre pour un tel objet nécessite l'utilisation de deux rayons paraxiaux issus de $M_{o}$ , point objet quelconque de $A_{o} B_{o}$ ^[81] et
Modèle:Al Modèle:Transparentde montrer que le point image $M_{i}$ , défini comme l'intersection des deux rayons réfléchis,
Modèle:Al Modèle:Transparenta pour projeté, sur l'axe optique principal, le point image $A_{i}$ , pour cela :

déterminer l'abscisse image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ $p_{i}$ de $A_{i}$ en fonction de la distance focale image $f_{i}$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentde l'abscisse objet de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ $p_{o}$ de $A_{o}$ ,
déterminer la longueur algébrique $\overline{A_{o} B_{o}}$ en fonction de $β$ et de l'abscisse objet de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ $p_{o}$ de $A_{o}$ ,
travaillant dans le repère orthonormé $(S, \vec{S x}, \vec{S y})$ ^[82] déterminer l'équation des rayons incidents $M_{o} S$ et $M_{o} F_{o}$ ^[40],
travaillant dans le repère orthonormé $(S, \vec{S x}, \vec{S y})$ ^[82] déterminer les équations des rayons réfractés, puis leur intersection $M_{i}$ ;
vérifier que l'abscisse image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ du projeté de $M_{i}$ sur l'axe optique principal est égale à l'abscisse image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ de $A_{i}$ ,
conclure à l'aplanétisme approché du dioptre sphérique $($ concave convergent $)$ pour l'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied proche du centre du dioptre.

Modèle:Solution

Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)

Modèle:AlDès lors qu'un dioptre sphérique est utilisée sous conditions de Gauss^[12] de stigmatisme et d'aplanétisme approchés^[13]Modèle:,^[33], l'usage est de représenter ce dioptre sous une forme symbolique dans laquelle figurent l'axe optique principal, le centre

C

, les foyers principaux objet

F_{o}

et image

F_{i}

, le sommet

S

et la partie de dioptre

⊥

en

S

à l'axe optique principal^[83]

voir ci-dessous les quatre types de dioptres sphériques à gauche et leur représentation symbolique^[84] à droite.

Dioptre sphérique concave convergent (passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent)

Dioptre sphérique concave convergent $($ passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent $)$
Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent

Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave convergent

Dioptre sphérique concave divergent (passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent)

Dioptre sphérique concave divergent $($ passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent $)$
Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent

Représentation symbolique d'un dioptre sphérique concave divergent

Dioptre sphérique convexe divergent (passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent)

Dioptre sphérique convexe divergent $($ passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent $)$
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Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe divergent

Erreur lors de la création de la vignette :

Dioptre sphérique convexe convergent $($ passage d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent $)$
Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent

Représentation symbolique d'un dioptre sphérique convexe convergent

Fichier:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg

Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes^[19] avec origine en

S

pour un dioptre sphérique concave convergent

Modèle:AlSur le schéma ci-contre on a construit l'image linéique transverse $A_{i} B_{i}$ d'un objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o}$ $\neq S$ et $\neq C$ en considérant deux rayons incidents issus de $B_{o}$ ,
Modèle:Al $≻$ l'un passant que le centre $C$ du dioptre et qui poursuit dans l'espace image réel sans être dévié^[85],
Modèle:Al $≻$ l'autre passant par le sommet $S$ du dioptre et qui se réfracte en obéissant à la 2^ème loi de Snell - Descartes^[9] de la réfraction^[72]Modèle:,^[86],
Modèle:Alle point d'intersection de ces deux rayons émergents étant le point de convergence $B_{i}$ de tous les rayons réfractés correspondant à tous les rayons incidents issus de $B_{o}$ sous conditions de Gauss^[12]Modèle:,^[87]
Modèle:Alil suffit de projeter orthogonalement $B_{i}$ sur l'axe optique principal pour obtenir le point image $A_{i}$ du point objet $A_{o}$ ^[88]

Modèle:AlEn comparant les triangles rectangles $A_{i} B_{i} S$ et $A_{o} B_{o} S$ , déterminer le grandissement transverse par le dioptre de l'objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] défini par « $G_{t} (A_{o}) = \frac{\overline{A_{i} B_{i}}}{\overline{A_{o} B_{o}}}$ » en fonction des abscisses objet et image de Descartes^[19] Modèle:Nobr origine au sommet $)$ ${\begin{matrix} p_{o} = \overline{S A_{o}} \\ p_{i} = \overline{S A_{i}} \end{matrix}}$ ;

Modèle:Alla relation établie ci-dessus définit la relation de conjugaison $($ approchée $)$ de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $($ approchée $)]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ pour tout objet linéique transverse^[27] de pied $A_{o} \neq S$ ^[48], elle caractérise quantitativement la propriété d'aplanétisme approché du dioptre sphérique pour l'objet linéique transverse de pied $A_{o}$ ^[73].

Modèle:Solution

Modèle:AlConsidérant un objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o} = C$ ^[89] et
Modèle:Al Modèle:Transparentla condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé $β$ sous lequel l'objet est vu du sommet $S$ , petit $(β ≪ 1)$ ,

vérifier, par construction de l'image $A_{i} B_{i}$ et utilisation de la 2^ème relation de Snell - Descartes^[9] de réfraction^[72] dans les conditions de Gauss^[12], qu'elle est se superpose à $A_{o} B_{o}$ avec un cœfficient d'agrandissement dépendant du rapport des indices des espaces objet et image,
comparer au résultat donné par l'application de la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ établie dans la solution de la 1^ère sous question précédente pour un objet linéique transverse^[27] de pied $A_{o} \neq S$ ^[48] en considérant $A_{o} = C$ et
en déduire l'applicabilité de la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes $($ avec origine en $S)$ pour un objet linéique transverse de pied $A_{o} = C$ .

Modèle:AlConsidérant maintenant un objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] de pied $A_{o} = S$ ^[90] et
Modèle:Al Modèle:Transparentla condition d'aplanétisme approché du dioptre pour cet objet c'est-à-dire l'angle non algébrisé $α$ sous lequel l'objet est vu du centre $C$ , petit $(α ≪ 1)$ ^[91],

vérifier que l'image $A_{i} B_{i}$ se superpose à $A_{o} B_{o}$ , le caractère linéique transverse de l'objet entraînant celui de l'image et
en déduire la valeur du grandissement transverse $G_{t} (S)$ pour un objet linéique transverse^[27] de pied $A_{o} = S$ puis
vérifier que cette valeur est la limite de celle du grandissement transverse $G_{t} (A_{o})$ pour un objet linéique transverse^[27] de pied $A_{o}$ quand ce dernier tend vers $S$ ^[92].

Modèle:Solution

Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse

Modèle:AlDéfinitions préliminaires : On appelle plan focal objet le plan transverse passant par le foyer principal objet $F_{o}$ et

Modèle:Al Modèle:Transparentplan focal image le plan transverse passant par le foyer principal image $F_{i}$ ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton appelle axe optique secondaire tout axe passant par le centre $C$ du dioptre, il possède une partie incidence contenue dans l'espace objet réel se prolongeant sans être dévié pour donner sa partie émergente contenue dans l'espace image réelle ;

Modèle:Al Modèle:Transparenton appelle foyer secondaire objet $φ_{o}$ associé à un axe optique secondaire de support $(δ)$ l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal objet et

Modèle:Al Modèle:Transparentfoyer secondaire image $φ_{i}$ associé à un axe optique secondaire de support $(δ)$ l'intersection de cet axe optique secondaire avec le plan focal image.

Modèle:AlPropriétés : Justifier les propriétés des foyers secondaires objet et image associés à un axe optique secondaire de support $(δ)$ :

le foyer secondaire objet $φ_{o} (δ)$ associé à l'axe optique secondaire de support $(δ)$ admet pour image le point à l'infini de l'axe optique secondaire $[$ soit $φ_{o} (δ) \overset{𝒟}{⟶} B_{i, \infty} (δ)]$ ,
le foyer secondaire image $φ_{i} (δ)$ associé à l'axe optique secondaire de support $(δ)$ admet pour antécédent le point à l'infini de l'axe optique secondaire $[$ soit $B_{i, \infty} (δ) \overset{𝒟}{⟶} φ_{i} (δ)]$ .

Modèle:Solution

Modèle:AlConsidérant un objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ ^[27] réel, de pied $A_{o}$ séparé du sommet $S$ d'un dioptre sphérique concave convergent d'une distance supérieure au rayon non algébrisé du dioptre $[$ pour la construction on prendra $n_{o} = 1, 5$ $($ indice du verre $)$ et $n_{i} = 1, 0$ $($ indice de l'air $)]$ , construire son image $A_{i} B_{i}$ par le dioptre de deux façons différentes :

en considérant deux rayons incidents issus de $B_{o}$ $[$ choisis parmi les trois suivants : passant par $C$ , passant par $F_{o}$ ou $∥$ à l'axe optique principal $]$ ,
en considérant un rayon incident issu de $A_{o}$ ^[53] $[$ choisi parmi les deux suivants : passant par $φ_{o} (δ)$ ou $∥$ à l'axe optique secondaire $(δ)]$ .

Modèle:AlRefaire les constructions précédentes avec un dioptre sphérique concave divergent $($ obtenu en permutant les espaces objet et image $)$ .

Modèle:Solution

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Modèle:AlOn repère maintenant les points objet $A_{o}$ et image $A_{i}$ relativement au centre $C$ du dioptre sphérique en définissant

l'abscisse objet de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ de $A_{o}$ par $π_{o} = \overline{C A_{o}}$ et
l'abscisse image de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ de $A_{i}$ par $π_{i} = \overline{C A_{i}}$ ;

Modèle:Alà partir de la relation de conjugaison de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

]

de Descartes^[19]

(

avec origine au sommet

)

^[93] et par changement d'origine,
Modèle:Alétablir que la relation de conjugaison de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

]

de Descartes^[19]

(

avec origine au centre

)

s'écrit

«

\frac{n_{o}}{\overline{C A_{i}}} - \frac{n_{i}}{\overline{C A_{o}}} = V

»^[55] ou «

\frac{n_{o}}{π_{i}} - \frac{n_{i}}{π_{o}} = V

» avec

V

vergence du dioptre sphérique.

Modèle:Solution

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Fichier:Dioptre sphérique - grandissement transverse.jpg

Schéma de démonstration de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes^[19] avec origine en

C

pour un dioptre sphérique concave convergent

Modèle:AlÀ partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ ^[94] et par changement d'origine,
Modèle:Alétablir la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au centre $)$ ^[57].

Modèle:AlEn utilisant le schéma ci-contre vérifier directement cette relation.

Modèle:Clr Modèle:Solution

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss

Modèle:AlOn repère maintenant le point objet $A_{o}$ relativement au foyer principal objet $F_{o}$ du dioptre sphérique et
Modèle:Al Modèle:Transparentle point image $A_{i}$ relativement au foyer principal image $F_{i}$ du même dioptre sphérique en définissant

l'abscisse objet de Newton^[58] de $A_{o}$ par « $σ_{o} = \overline{F_{o} A_{o}}$ » et
l'abscisse image de Newton^[58] de $A_{i}$ par « $σ_{i} = \overline{F_{i} A_{i}}$ ».

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton

Modèle:AlÀ partir de la relation de conjugaison de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

]

de Descartes^[19]

(

avec origine au sommet

)

^[93] et par changement d'origine,
Modèle:Alétablir que la relation de conjugaison de position

[

ou 1^ère relation de conjugaison

]

de Newton^[58] s'écrit

«

\overline{F_{i} A_{i}} \overline{F_{o} A_{o}} = \overline{S F_{i}} \overline{S F_{o}}

»^[59] ou «

σ_{i} σ_{o} = f_{i} f_{o}

»^[95] avec

f_{i}

et

f_{o}

distances focales image et objet du dioptre.

Modèle:Solution

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton

Fichier:Dioptre sphérique - grandissement transverse Newton.jpg

Schéma de démonstration des deux formes de la relation de conjugaison de grandissement transverse de Newton^[58] pour un dioptre sphérique concave convergent

Modèle:AlÀ partir de la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ ^[94] et par changement d'origine,
Modèle:Alétablir la relation de conjugaison de grandissement transverse $[$ ou 2^ème relation de conjugaison $]$ de Modèle:Nobr

Modèle:AlEn utilisant le schéma ci-contre $($ avec $n_{o} ≃ 1, 50$ et $n_{i} ≃ 1, 00)$ vérifier directement les deux formes de cette relation.

Modèle:Clr Modèle:Solution

Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss

Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet

Fichier:Dioptre sphérique - grandissement angulaire.jpg

Schéma de détermination du grandissement angulaire en repérage de Descartes^[19] avec origine en

S

pour un dioptre sphérique concave convergent

Modèle:AlLe grandissement angulaire d'un pinceau lumineux incident issu d'un point objet

A_{o}

, de direction faisant un angle

θ_{o}

avec l'axe optique principal, le pinceau se réfractant sur le dioptre en convergeant vers le point image

A_{i}

, avec une direction faisant un angle

θ_{i}

avec l'axe optique principal, est défini selon

«

G_{a} (A_{o}) = \frac{θ_{i}}{θ_{o}}

»^[61] ;

Modèle:Alen utilisant le schéma ci-contre, établir l'expression du grandissement angulaire « $G_{a} (A_{o}) = \frac{θ_{i}}{θ_{o}}$ »^[61] en fonction des abscisses objet et image de Descartes^[19] $($ avec origine au sommet $)$ , respectivement « $p_{o} = \overline{S A_{o}}$ et $p_{i} = \overline{S A_{i}}$ »^[96].

Modèle:Clr

Modèle:Solution

Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz

Modèle:AlÁ l'aide de la relation de conjugaison de grandissement transverse

[

ou 2^ème relation de conjugaison

]

de Descartes^[19]

(

avec origine au sommet

)

^[94] et
Modèle:Al Modèle:Transparentde l'expression du grandissement angulaire dans le même repérage^[97],

vérifier la « relation de Lagrange - Helmholtz »^[64]Modèle:,^[65]
«

\frac{n_{i}}{n_{o}} G_{t} (A_{o}) G_{a} (A_{o}) = 1

»^[98].

Modèle:Solution

Notes et références

↑ Si le miroir est « concave », $C$ est réel, et si le miroir est « convexe », $C$ est virtuel.
↑ ^2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 ^2,11 ^2,12 ^2,13 ^2,14 ^2,15 ^2,16 ^2,17 ^2,18 ^2,19 ^2,20 ^2,21 et ^2,22 Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir,
Modèle:Alla partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens $\to$ et tous ses points $($ qu'ils soient réels ou virtuels $)$ ont une abscisse $($ comptée à partir d'une origine pouvant être Modèle:Nobr mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ;
Modèle:Alla partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens $\leftarrow$ et tous ses points $($ qu'ils soient réels ou virtuels $)$ ont une abscisse $($ comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe $)$ mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ;
Modèle:Alvoir les paragraphes « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) » et « repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal (surface réfléchissante) » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.
↑ ^4,0 et ^4,1 Voir le paragraphe « stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^5,0 ^5,1 et ^5,2 Si le point objet $A_{o}$ est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support $(C A_{o})$ , $A_{o}$ joue le rôle de sommet $S$ du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 et ^6,5 Voir le paragraphe « stigmatisme d'un système optique pour un point objet » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Dès lors que $A_{o}$ est $\neq C$ , l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet $S$ qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ;
Modèle:Alsur le schéma $[S A_{o}]$ est $> [S C]$ , ceci entraînant que $A_{i}$ , l'image éventuelle de $A_{o}$ par le miroir, est telle que $[S A_{i}]$ est $< [S C]$ ;
Modèle:Alpour traiter le cas correspondant à $[S A_{o}] < [S C]$ , ce qui entraînerait que $A_{i}$ , l'image éventuelle de $A_{o}$ par le miroir, serait telle que $[S A_{i}] > [S C]$ , il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma $[S A_{o}] > [S C]$ .
↑ ^8,0 et ^8,1 Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss $($ admises $)$ pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 ^9,4 ^9,5 et ^9,6 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes $($ sans que ce soit Modèle:Nobr
Modèle:AlRené Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
↑ Voir le paragraphe « 1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^11,0 ^11,1 et ^11,2 Voir le paragraphe « 2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^12,00 ^12,01 ^12,02 ^12,03 ^12,04 ^12,05 ^12,06 ^12,07 ^12,08 ^12,09 ^12,10 ^12,11 ^12,12 et ^12,13 En $1796$ , Gauss, à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone Modèle:Nobr régulier de $17$ côtés $)$ soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en $1801$ la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en $1772$ $[$ un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple $11 \equiv 3^{2} (\mod 2)$ ou $19 \equiv 4^{2} (\mod 3)$ ou encore $41 \equiv 6^{2} (\mod 5)$ de même que $43 \equiv 6^{2} (\mod 7) \dots]$ ${$ Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie $}$ ;
Modèle:Aldans le domaine de l'astronomie Gauss publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en $1801$ , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès $($ une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter $)$ ;
Modèle:Aldans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme ${$ James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur $}$ .
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 et ^13,5 Voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de $| θ_{o} |$ et $| ω |$ , elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 ^15,3 ^15,4 ^15,5 ^15,6 et ^15,7 $H$ étant le projeté orthogonal du point d'incidence $I$ sur l'axe optique principal.
↑ ^16,0 et ^16,1 Ceci nécessite que $[H S]$ soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en $ω$ .
↑ ^17,0 et ^17,1 Nous admettrons que cette relation $($ ou propriété $)$ établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.
↑ ^18,0 et ^18,1 Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en $m ($ la dioptrie étant liée au mètre par $1 δ = 1 m^{- 1})$ .
↑ ^19,00 ^19,01 ^19,02 ^19,03 ^19,04 ^19,05 ^19,06 ^19,07 ^19,08 ^19,09 ^19,10 ^19,11 ^19,12 ^19,13 ^19,14 ^19,15 ^19,16 ^19,17 ^19,18 ^19,19 ^19,20 ^19,21 ^19,22 ^19,23 ^19,24 ^19,25 ^19,26 ^19,27 ^19,28 ^19,29 ^19,30 ^19,31 ^19,32 ^19,33 ^19,34 ^19,35 ^19,36 ^19,37 ^19,38 ^19,39 ^19,40 ^19,41 ^19,42 ^19,43 ^19,44 ^19,45 ^19,46 ^19,47 ^19,48 ^19,49 ^19,50 ^19,51 ^19,52 ^19,53 ^19,54 ^19,55 ^19,56 ^19,57 ^19,58 et ^19,59 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
↑ Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique $($ concave ou convexe $)$ , il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.
↑ ^21,0 ^21,1 ^21,2 et ^21,3 C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « 1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes », « 1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton », « 2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes » et « 2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous obtenons la même relation de conjugaison $($ approchée $)$ de position ${$ ou de grandissement transverse $}$ de Descartes $[$ ou de Newton $]$ que celle d'une lentille mince $($ à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours $)$ ${$ revoir le paragraphe « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ .
↑ Mais évidemment pas sous la forme « $\frac{1}{p_{i}} - \frac{1}{p_{o}} = V$ » qui est indéterminée quand on l'applique à $S$ , son abscisse objet $p_{o}$ y étant nulle $\dots$
↑ ^23,0 et ^23,1 Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.
↑ ^24,0 ^24,1 et ^24,2 C.-à-d. pour point objet.
↑ Plus exactement dans la solution des questions successives « établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω » et « évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H » plus haut dans cet exercice.
↑ ^26,0 ^26,1 et ^26,2 Fonction de $ω$ car ce point $-$ hors condition de Gauss $-$ en dépend effectivement $[$ c'est d'ailleurs, en ce qui concerne $F_{i}$ , le but de cette question $]$ .
↑ ^27,00 ^27,01 ^27,02 ^27,03 ^27,04 ^27,05 ^27,06 ^27,07 ^27,08 ^27,09 ^27,10 ^27,11 ^27,12 ^27,13 ^27,14 ^27,15 ^27,16 ^27,17 ^27,18 ^27,19 ^27,20 ^27,21 ^27,22 ^27,23 ^27,24 ^27,25 ^27,26 ^27,27 ^27,28 ^27,29 ^27,30 ^27,31 ^27,32 ^27,33 ^27,34 et ^27,35 Voir le paragraphe « définition d'un objet linéique transverse » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^28,0 et ^28,1 Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support $(A_{o} C)$ .
↑ C.-à-d. que, pour un point quelconque $M_{o}$ de $A_{o} B_{o}$ , avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support $(C M_{o})$ $($ cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet $M_{o}$ est qualifié de secondaire relativement au point objet $A_{o})$ , les rayons incidents issus de $M_{o}$ doivent être paraxiaux $[$ peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support $(C M_{o})$ et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire $S_{M_{o}}$ , intersection de l'axe optique secondaire de support $(C M_{o})$ avec le miroir $]$ .
↑ ^30,0 et ^30,1 L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet $M_{o}$ ont une image ponctuelle $M_{i}$ .
↑ C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^32,0 et ^32,1 Linéique signifiant « rectiligne ».
↑ ^33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 ^33,4 et ^33,5 Voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ C'est cette façon qui a été vue en cours, $S$ étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^35,0 et ^35,1 C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.
↑ ^36,0 et ^36,1 Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes $($ avec origine au sommet $)$ mais la méthode est alors moins aisée.
↑ Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.
↑ Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet $M_{o}$ $[$ voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ , tous les rayons non paraxiaux issus de $M_{o}$ seront arrêtés par un diaphragme centré sur $S$ ;
Modèle:Alon vérifie aisément que les rayons incidents $M_{o} S$ et $M_{o} F_{o}$ sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident $M_{o} C$ pouvant ne pas l'être car $A_{o}$ est proche de $C$ $($ et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en $S)$ , nous ne l'utiliserons pas.
↑ L'axe $\vec{S x}$ étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe $\vec{S y}$ étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet $A_{o} B_{o}$ étant lui aussi orienté vers le haut.
↑ ^40,0 et ^40,1 L'abscisse de $M_{o}$ est évidemment celle de $B_{o}$ et son ordonnée sera notée $ε \times$ l'ordonnée de $B_{o}$ , $ε$ variant entre $0$ et $1$ ;
Modèle:Alici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché $β ≪ 1$ qui assure que le point $M_{o}$ est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.
↑ L'axe $\vec{S x^{'}}$ étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi $($ donc de sens contraire à celui de l'axe $\vec{S x})$ et l'axe $\vec{S y}$ étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.
↑ La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment $[C S]$ .
↑ Cette partie de miroir $⊥$ en $S$ à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers $C$ , ainsi un miroir concave à centre $C$ réel a des bords inclinés vers la gauche $($ c'est-à-dire vers l'espace objet réel $)$ et un miroir convexe à centre $C$ virtuel a des bords inclinés vers la droite $($ c'est-à-dire vers l'espace objet virtuel $)$ .
↑ En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence $I$ du rayon incident et passer par l'image de $C$ par le miroir c'est-à-dire $C$ lui-même.
↑ Attention le sommet $S$ du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir $($ autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est $⊥$ à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident $B_{o} C$ qui se confond avec la normale réelle du miroir en $I$ n'est pas $⊥$ à la représentation symbolique du miroir en $I)$ .
↑ Car le miroir est stigmatique approché pour $B_{o}$ .
↑ Car le miroir est aplanétique approché pour $A_{o} B_{o}$ .
↑ ^48,0 ^48,1 ^48,2 et ^48,3 Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour $A_{o} = S$ car elle correspondrait à une forme indéterminée mais
Modèle:Alon vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour $A_{o} = C$ .
↑ Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.
↑ Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied $C$ de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c'est-à-dire l'utilisation de rayons incidents issus de $M_{o} (\neq C) \in A_{o} B_{o}$ paraxiaux $($ ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en $S$ collé contre le miroir $)$ .
↑ L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied $A_{o} = S$ , l'axe optique principal ayant pour support $(C A_{o})$ , ne peut être rigoureusement linéique $($ c'est-à-dire rectiligne $)$ car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de $C$ sous un petit angle non algébrisé $α$ , on peut confondre l'arc de cercle de centre $C$ et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en $α$ , raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ;
Modèle:Alle miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet $($ secondaire $)$ pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.
↑ Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.
↑ ^53,0 et ^53,1 Un seul rayon incident suffit car $A_{o}$ appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.
↑ ^54,0 et ^54,1 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)
↑ ^55,0 et ^55,1 Cette relation est applicable à tout point objet $A_{o} \neq C$ de l'axe optique principal, le cas $A_{o} = C$ conduisant à une forme indéterminée.
↑ ^56,0 ^56,1 et ^56,2 Voir la solution de la question « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.
↑ ^57,0 et ^57,1 Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ de pied $A_{o} \neq C$ , le cas $A_{o} = C$ conduisant à une forme indéterminée.
↑ ^58,0 ^58,1 ^58,2 ^58,3 ^58,4 ^58,5 ^58,6 et ^58,7 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
↑ ^59,0 et ^59,1 Applicable pour tout point objet $A_{o} \neq F_{o}$ et $A_{o} \neq A_{o, \infty}$ , ces cas conduisant à une forme indéterminée.
↑ ^60,0 et ^60,1 Voir le paragraphe « définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^61,0 ^61,1 ^61,2 et ^61,3 Les angles $θ_{o}$ et $θ_{i}$ sont de valeur absolue petite c'est-à-dire $| θ_{o} | ≪ 1$ et $| θ_{i} | | ≪ 1$ .
↑ L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.
↑ Voir la solution de la question « expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet » plus haut dans cet exercice.
↑ ^64,0 et ^64,1 Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle $($ son nom italien était Giuseppe Luigi Modèle:Nobr
Modèle:Alon lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes $[$ propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune $($ c'est-à-dire petites variations de son orbite $)]$ ;
Modèle:Alen $1788$ , alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités ;
Modèle:Alon remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Lagrange un domaine privilégié $($ ni pour Helmholtz non plus $)$ !
↑ ^65,0 et ^65,1 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894) physiologiste et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;
Modèle:Alon remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Helmholtz un domaine privilégié $($ ni pour Lagrange non plus $)$ !
↑ Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors « $G_{t} (A_{o}) G_{a} (A_{o}) = + 1$ » $($ à condition, toutefois, que les espaces image et objet soient de même indice $)$ .
↑ Si le dioptre est « concave », $C$ est réel, et si le dioptre est « convexe », $C$ est virtuel.
↑ ^68,0 et ^68,1 Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens $\to$ et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens $\to$ ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.
↑ En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.
↑ Si le point objet $A_{o}$ est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support $(C A_{o})$ , $A_{o}$ joue le rôle de sommet $S$ du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.
↑ Dès lors que $A_{o}$ est $\neq C$ , l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet $S$ qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.
↑ ^72,0 ^72,1 ^72,2 et ^72,3 Voir le paragraphe « 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^73,0 et ^73,1 Nous admettrons que cette relation $($ ou propriété $)$ établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.
↑ Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.
↑ Mais évidemment pas sous la forme « $\frac{n_{i}}{p_{i}} - \frac{n_{o}}{p_{o}} = V$ » qui est indéterminée quand on l'applique à $S$ , son abscisse objet $p_{o}$ y étant nulle $\dots$
↑ C.-à-d. que, pour un point quelconque $M_{o}$ de $A_{o} B_{o}$ , avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support $(C M_{o})$ $($ cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet $M_{o}$ est qualifié de secondaire relativement au point objet $A_{o})$ , les rayons incidents issus de $M_{o}$ doivent être paraxiaux $[$ peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support $(C M_{o})$ et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire $S_{M_{o}}$ , intersection de l'axe optique secondaire de support $(C M_{o})$ avec le dioptre $]$ .
↑ C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ C'est cette façon qui a été vue en cours, $S$ étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre dans le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.
↑ Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.
↑ Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet $M_{o}$ $[$ voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ , tous les rayons non paraxiaux issus de $M_{o}$ seront arrêtés par un diaphragme centré sur $S$ ;
Modèle:Alon vérifie aisément que les rayons incidents $M_{o} S$ et $M_{o} F_{o}$ sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident $M_{o} C$ pouvant ne pas l'être car $A_{o}$ est proche de $C$ $($ et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en $S)$ , nous ne l'utiliserons pas.
↑ ^82,0 et ^82,1 L'axe $\vec{S x}$ étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe $\vec{S y}$ étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet $A_{o} B_{o}$ étant lui aussi orienté vers le haut.
↑ Cette partie de dioptre $⊥$ en $S$ à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.
↑ La position des foyers principaux sont à ajouter suivantleur détermination de la solution de la question « caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image » plus haut dans cet exercice.
↑ En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence $I$ du rayon incident et passer par l'image de $C$ par le dioptre c'est-à-dire $C$ lui-même.
↑ Attention le sommet $S$ du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre $($ autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est $⊥$ à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident $B_{o} C$ qui se confond avec la normale réelle du dioptre en $I$ n'est pas $⊥$ à la représentation symbolique du dioptre en $I)$ .
↑ Car le dioptre est stigmatique approché pour $B_{o}$ .
↑ Car le dioptre est aplanétique approché pour $A_{o} B_{o}$ .
↑ Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied $C$ de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c'est-à-dire l'utilisation de rayons incidents issus de $M_{o} (\neq C) \in A_{o} B_{o}$ paraxiaux $($ ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en $S$ collé contre le dioptre $)$ .
↑ L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied $A_{o} = S$ , l'axe optique principal ayant pour support $(C A_{o})$ , ne peut être rigoureusement linéique $($ c'est-à-dire rectiligne $)$ car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de $C$ sous un petit angle non algébrisé $α$ , on peut confondre l'arc de cercle de centre $C$ et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en $α$ , raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ;
Modèle:Alle dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet $($ secondaire $)$ pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.
↑ Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.
↑ Nous pouvons donc affirmer que la 2^ème relation de conjugaison $[$ ou relation de conjugaison de grandissement transverse $]$ de Descartes $($ avec origine au sommet $)$ d'un dioptre sphérique est applicable à tout objet linéiqua transverse $A_{o} B_{o}$ de pied $A_{o} \neq S$ ou $A_{o} = S$ par levée de l'indétermination.
↑ ^93,0 et ^93,1 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis
↑ ^94,0 ^94,1 et ^94,2 Voir la solution de la question « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.
↑ C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « 1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton » et « 2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous obtenons la même relation de conjugaison $($ approchée $)$ de position ${$ ou de grandissement transverse $}$ de Newton $]$ que celle d'une lentille mince $($ à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux $)$ .
↑ L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour tout type de dioptre sphérique.
↑ Voir la solution de la question « expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet » plus haut dans cet exercice.
↑ Cette relation est la même que celle établie dans le paragraphe « relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors « $G_{t} (A_{o}) G_{a} (A_{o}) = + 1$ » dans le cas usuel d'une lentille mince où les espaces image et objet sont de même indice.

Modèle:Bas de page

[1] Si le miroir est « concave », $C$ est réel, et si le miroir est « convexe », $C$ est virtuel.

[orientation_de_l'axe_optique_principal_d'un_système_catadioptrique-2] 2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 ^2,09 ^2,10 ^2,11 ^2,12 ^2,13 ^2,14 ^2,15 ^2,16 ^2,17 ^2,18 ^2,19 ^2,20 ^2,21 et ^2,22 Supposant l'axe optique principal horizontal avec les espaces objets réel et virtuel respectivement situés à gauche et à droite du miroir,
Modèle:Alla partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens $\to$ et tous ses points $($ qu'ils soient réels ou virtuels $)$ ont une abscisse $($ comptée à partir d'une origine pouvant être Modèle:Nobr mesurée dans ce sens, le sens étant rappelé en indice de l'abscisse ;
Modèle:Alla partie réfléchie de l'axe optique principal est alors orientée dans le sens $\leftarrow$ et tous ses points $($ qu'ils soient réels ou virtuels $)$ ont une abscisse $($ comptée à partir d'une origine pouvant être quelconque et différente de celle des points de la partie incidente de l'axe $)$ mesurée dans ce sens, le sens étant aussi rappelé en indice de l'abscisse ;
Modèle:Alvoir les paragraphes « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) » et « repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal (surface réfléchissante) » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[3] En précisant la modification des résultats pour un miroir sphérique convexe.

[stigmatisme_rigoureux_d'un_système_optique_pour_un_point-4] 4,0 et ^4,1 Voir le paragraphe « stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[Définition_sommet-5] 5,0 ^5,1 et ^5,2 Si le point objet $A_{o}$ est sur le miroir, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support $(C A_{o})$ , $A_{o}$ joue le rôle de sommet $S$ du miroir ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du miroir peut être considéré comme un sommet.

[stigmatisme_approché_d'un_système_optique_pour_un_point-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 et ^6,5 Voir le paragraphe « stigmatisme d'un système optique pour un point objet » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[7] Dès lors que $A_{o}$ est $\neq C$ , l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet $S$ qui est l'intersection de l'axe optique principal et du miroir ;
Modèle:Alsur le schéma $[S A_{o}]$ est $> [S C]$ , ceci entraînant que $A_{i}$ , l'image éventuelle de $A_{o}$ par le miroir, est telle que $[S A_{i}]$ est $< [S C]$ ;
Modèle:Alpour traiter le cas correspondant à $[S A_{o}] < [S C]$ , ce qui entraînerait que $A_{i}$ , l'image éventuelle de $A_{o}$ par le miroir, serait telle que $[S A_{i}] > [S C]$ , il suffirait de permuter l'objet et l'image pour retrouver le cas précédent aussi nous nous contenterons de traiter le cas du schéma $[S A_{o}] > [S C]$ .

[paraxial-8] 8,0 et ^8,1 Les rayons incidents sont donc paraxiaux, conditions de Gauss $($ admises $)$ pour que le système recevant ces rayons soit stigmatique approché pour le point objet considéré, voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[Snell_-_Descartes-9] 9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 ^9,4 ^9,5 et ^9,6 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes $($ sans que ce soit Modèle:Nobr
Modèle:AlRené Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.

[1ère_loi_de_Snell_-_Descartes_de_la_réflexion-10] Voir le paragraphe « 1^ère loi de Snell - Descartes de la réflexion » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[2ème_loi_de_Snell_-_Descartes_de_la_réflexion-11] 11,0 ^11,1 et ^11,2 Voir le paragraphe « 2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[Gauss-12] 12,00 ^12,01 ^12,02 ^12,03 ^12,04 ^12,05 ^12,06 ^12,07 ^12,08 ^12,09 ^12,10 ^12,11 ^12,12 et ^12,13 En $1796$ , Gauss, à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone Modèle:Nobr régulier de $17$ côtés $)$ soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en $1801$ la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en $1772$ $[$ un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple $11 \equiv 3^{2} (\mod 2)$ ou $19 \equiv 4^{2} (\mod 3)$ ou encore $41 \equiv 6^{2} (\mod 5)$ de même que $43 \equiv 6^{2} (\mod 7) \dots]$ ${$ Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie $}$ ;
Modèle:Aldans le domaine de l'astronomie Gauss publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en $1801$ , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès $($ une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter $)$ ;
Modèle:Aldans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme ${$ James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur $}$ .

[conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 et ^13,5 Voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[applicabilité_hors_conditions_de_Gauss_de_stigmatisme_approché-14] Cette relation reste applicable quels que soient les ordres de grandeur de $| θ_{o} |$ et $| ω |$ , elle ne nécessite donc pas de se placer dans les conditions de Gauss de stigmatisme approché.

[définition_de_H-15] 15,0 ^15,1 ^15,2 ^15,3 ^15,4 ^15,5 ^15,6 et ^15,7 $H$ étant le projeté orthogonal du point d'incidence $I$ sur l'axe optique principal.

[H_et_S_confondus-16] 16,0 et ^16,1 Ceci nécessite que $[H S]$ soit un infiniment petit au moins d'ordre deux en $ω$ .

[indépendance_de_la_nature-17] 17,0 et ^17,1 Nous admettrons que cette relation $($ ou propriété $)$ établie dans le cas d'un miroir sphérique concave est encore applicable, sans modification, à un miroir sphérique convexe.

[dioptrie-18] 18,0 et ^18,1 Pour que la vergence s'exprime en dioptries, les abscisses doivent l'être en $m ($ la dioptrie étant liée au mètre par $1 δ = 1 m^{- 1})$ .

[Descartes-19] 19,00 ^19,01 ^19,02 ^19,03 ^19,04 ^19,05 ^19,06 ^19,07 ^19,08 ^19,09 ^19,10 ^19,11 ^19,12 ^19,13 ^19,14 ^19,15 ^19,16 ^19,17 ^19,18 ^19,19 ^19,20 ^19,21 ^19,22 ^19,23 ^19,24 ^19,25 ^19,26 ^19,27 ^19,28 ^19,29 ^19,30 ^19,31 ^19,32 ^19,33 ^19,34 ^19,35 ^19,36 ^19,37 ^19,38 ^19,39 ^19,40 ^19,41 ^19,42 ^19,43 ^19,44 ^19,45 ^19,46 ^19,47 ^19,48 ^19,49 ^19,50 ^19,51 ^19,52 ^19,53 ^19,54 ^19,55 ^19,56 ^19,57 ^19,58 et ^19,59 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.

[20] Pour le repérage de Descartes dans un miroir sphérique $($ concave ou convexe $)$ , il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.

[relations_de_conjugaison_communes_miroir_-_lentille-21] 21,0 ^21,1 ^21,2 et ^21,3 C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « 1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Descartes », « 1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton », « 2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Descartes » et « 2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous obtenons la même relation de conjugaison $($ approchée $)$ de position ${$ ou de grandissement transverse $}$ de Descartes $[$ ou de Newton $]$ que celle d'une lentille mince $($ à condition que l'algébrisation de l'axe optique du miroir sphérique soit l'algébrisation physique adoptée dans ce cours $)$ ${$ revoir le paragraphe « algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $}$ .

[22] Mais évidemment pas sous la forme « $\frac{1}{p_{i}} - \frac{1}{p_{o}} = V$ » qui est indéterminée quand on l'applique à $S$ , son abscisse objet $p_{o}$ y étant nulle $\dots$

[définition_focal-23] 23,0 et ^23,1 Un système « afocal » étant tel que le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double, un système sera « focal » si le point à l'infini de l'axe optique principal est conjugué à un point de ce même axe optique principal à distance finie.

[Antécédent-24] 24,0 ^24,1 et ^24,2 C.-à-d. pour point objet.

[25] Plus exactement dans la solution des questions successives « établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω » et « évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H » plus haut dans cet exercice.

[dépendance_de_ω-26] 26,0 ^26,1 et ^26,2 Fonction de $ω$ car ce point $-$ hors condition de Gauss $-$ en dépend effectivement $[$ c'est d'ailleurs, en ce qui concerne $F_{i}$ , le but de cette question $]$ .

[objet_linéique_transverse-27] 27,00 ^27,01 ^27,02 ^27,03 ^27,04 ^27,05 ^27,06 ^27,07 ^27,08 ^27,09 ^27,10 ^27,11 ^27,12 ^27,13 ^27,14 ^27,15 ^27,16 ^27,17 ^27,18 ^27,19 ^27,20 ^27,21 ^27,22 ^27,23 ^27,24 ^27,25 ^27,26 ^27,27 ^27,28 ^27,29 ^27,30 ^27,31 ^27,32 ^27,33 ^27,34 et ^27,35 Voir le paragraphe « définition d'un objet linéique transverse » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[support_axe_optique_principal-28] 28,0 et ^28,1 Ce qui signifie que l'axe optique principal a pour support $(A_{o} C)$ .

[29] C.-à-d. que, pour un point quelconque $M_{o}$ de $A_{o} B_{o}$ , avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support $(C M_{o})$ $($ cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet $M_{o}$ est qualifié de secondaire relativement au point objet $A_{o})$ , les rayons incidents issus de $M_{o}$ doivent être paraxiaux $[$ peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support $(C M_{o})$ et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire $S_{M_{o}}$ , intersection de l'axe optique secondaire de support $(C M_{o})$ avec le miroir $]$ .

[Nette-30] 30,0 et ^30,1 L'image est qualifiée de « nette » car tous les points objet $M_{o}$ ont une image ponctuelle $M_{i}$ .

[31] C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[Linéique-32] 32,0 et ^32,1 Linéique signifiant « rectiligne ».

[conditions_supplémentaires_de_Gauss_d'aplanétisme_approché-33] 33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 ^33,4 et ^33,5 Voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[34] C'est cette façon qui a été vue en cours, $S$ étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du miroir dans le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[façon_plus_simple-35] 35,0 et ^35,1 C'est cette façon que nous adopterons car elle conduit à une démonstration plus rapide de l'aplanétisme.

[méthode_moins_aisée-36] 36,0 et ^36,1 Il est possible de se contenter de la relation de conjugaison de position de Descartes $($ avec origine au sommet $)$ mais la méthode est alors moins aisée.

[37] Il y a donc aplanétisme approché du miroir sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.

[paraxial_-_bis-38] Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du miroir pour le point objet $M_{o}$ $[$ voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ , tous les rayons non paraxiaux issus de $M_{o}$ seront arrêtés par un diaphragme centré sur $S$ ;
Modèle:Alon vérifie aisément que les rayons incidents $M_{o} S$ et $M_{o} F_{o}$ sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident $M_{o} C$ pouvant ne pas l'être car $A_{o}$ est proche de $C$ $($ et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en $S)$ , nous ne l'utiliserons pas.

[définition_de_Sx_et_Sy-39] L'axe $\vec{S x}$ étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens incident et l'axe $\vec{S y}$ étant porté par la représentation symbolique du miroir orienté vers le haut, l'objet $A_{o} B_{o}$ étant lui aussi orienté vers le haut.

[définition_ε-40] 40,0 et ^40,1 L'abscisse de $M_{o}$ est évidemment celle de $B_{o}$ et son ordonnée sera notée $ε \times$ l'ordonnée de $B_{o}$ , $ε$ variant entre $0$ et $1$ ;
Modèle:Alici intervient une 1^ère condition de Gauss d'aplanétisme approché $β ≪ 1$ qui assure que le point $M_{o}$ est suffisamment proche de l'axe optique principal pour que deux rayons incidents judicieusement choisis travaillent dans les conditions de stigmatisme approché.

[définition_de_Sx'_et_Sy-41] L'axe $\vec{S x^{'}}$ étant porté par l'axe optique principal, orienté dans le sens réfléchi $($ donc de sens contraire à celui de l'axe $\vec{S x})$ et l'axe $\vec{S y}$ étant le même que précédemment à savoir porté par la représentation symbolique du miroir et orienté vers le haut.

[Foyers_à_ajouter-42] La position des foyers principaux sont à ajouter au milieu du segment $[C S]$ .

[43] Cette partie de miroir $⊥$ en $S$ à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers $C$ , ainsi un miroir concave à centre $C$ réel a des bords inclinés vers la gauche $($ c'est-à-dire vers l'espace objet réel $)$ et un miroir convexe à centre $C$ virtuel a des bords inclinés vers la droite $($ c'est-à-dire vers l'espace objet virtuel $)$ .

[rayon_incident_passant_par_C-44] En effet le rayon réfléchi doit être issu du point d'incidence $I$ du rayon incident et passer par l'image de $C$ par le miroir c'est-à-dire $C$ lui-même.

[attention_à_l'utilisation_de_2ème_loi_de_Snell_-_Descartes_de_la_réflexion_sur_la_représentation_symbolique_d'un_miroir_sphérique-45] Attention le sommet $S$ du miroir est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes en travaillant sur la représentation symbolique du miroir car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du miroir $($ autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est $⊥$ à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident $B_{o} C$ qui se confond avec la normale réelle du miroir en $I$ n'est pas $⊥$ à la représentation symbolique du miroir en $I)$ .

[46] Car le miroir est stigmatique approché pour $B_{o}$ .

[miroir_aplanétique_approché_pour_AoBo-47] Car le miroir est aplanétique approché pour $A_{o} B_{o}$ .

[forme_indéterminée-48] 48,0 ^48,1 ^48,2 et ^48,3 Elle ne peut évidemment pas s'appliquer sous la forme indiquée pour $A_{o} = S$ car elle correspondrait à une forme indéterminée mais
Modèle:Alon vérifie, dans la solution de la sous question suivante, qu'elle s'applique sous cette forme pour $A_{o} = C$ .

[49] Bien que démontrée sur un miroir sphérique concave elle reste applicable à un miroir sphérique convexe.

[50] Le miroir sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied $C$ de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du miroir c'est-à-dire l'utilisation de rayons incidents issus de $M_{o} (\neq C) \in A_{o} B_{o}$ paraxiaux $($ ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en $S$ collé contre le miroir $)$ .

[51] L'objet, collé contre le miroir sphérique, de pied $A_{o} = S$ , l'axe optique principal ayant pour support $(C A_{o})$ , ne peut être rigoureusement linéique $($ c'est-à-dire rectiligne $)$ car il suit la courbure du miroir mais, s'il est vu de $C$ sous un petit angle non algébrisé $α$ , on peut confondre l'arc de cercle de centre $C$ et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en $α$ , raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ;
Modèle:Alle miroir sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le miroir, jouent le rôle de sommet $($ secondaire $)$ pour lequel le miroir est stigmatique rigoureux.

[52] Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le miroir puisse être considéré comme linéique.

[un_seul_rayon_incident_suffit-53] 53,0 et ^53,1 Un seul rayon incident suffit car $A_{o}$ appartenant à l'axe optique principal son image est sur cet axe.

[relation_de_conjugaison_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)-54] 54,0 et ^54,1 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet)

[Applicabilité_relation_de_Descartes_de_position_avec_origine_en_C-55] 55,0 et ^55,1 Cette relation est applicable à tout point objet $A_{o} \neq C$ de l'axe optique principal, le cas $A_{o} = C$ conduisant à une forme indéterminée.

[relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)-56] 56,0 ^56,1 et ^56,2 Voir la solution de la question « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.

[Applicabilité_relation_de_Descartes_de_grandissement_transverse_avec_origine_en_C-57] 57,0 et ^57,1 Cette relation est applicable à tout objet linéique transverse $A_{o} B_{o}$ de pied $A_{o} \neq C$ , le cas $A_{o} = C$ conduisant à une forme indéterminée.

[Newton-58] 58,0 ^58,1 ^58,2 ^58,3 ^58,4 ^58,5 ^58,6 et ^58,7 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.

[Applicabilité_relation_de_Newton-59] 59,0 et ^59,1 Applicable pour tout point objet $A_{o} \neq F_{o}$ et $A_{o} \neq A_{o, \infty}$ , ces cas conduisant à une forme indéterminée.

[définition_du_grandissement_angulaire_d'un_pinceau_par_un_système_catadioptrique-60] 60,0 et ^60,1 Voir le paragraphe « définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet » du chap. $12$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[Angles_petits-61] 61,0 ^61,1 ^61,2 et ^61,3 Les angles $θ_{o}$ et $θ_{i}$ sont de valeur absolue petite c'est-à-dire $| θ_{o} | ≪ 1$ et $| θ_{i} | | ≪ 1$ .

[62] L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un miroir sphérique concave mais elle reste applicable pour un miroir sphérique convexe.

[grandissement_angulaire_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)-63] Voir la solution de la question « expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet » plus haut dans cet exercice.

[Lagrange-64] 64,0 et ^64,1 Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle $($ son nom italien était Giuseppe Luigi Modèle:Nobr
Modèle:Alon lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes $[$ propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune $($ c'est-à-dire petites variations de son orbite $)]$ ;
Modèle:Alen $1788$ , alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités ;
Modèle:Alon remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Lagrange un domaine privilégié $($ ni pour Helmholtz non plus $)$ !

[Helmholtz-65] 65,0 et ^65,1 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894) physiologiste et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;
Modèle:Alon remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Helmholtz un domaine privilégié $($ ni pour Lagrange non plus $)$ !

[66] Cette relation est différente de celle établie dans le paragraphe « relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors « $G_{t} (A_{o}) G_{a} (A_{o}) = + 1$ » $($ à condition, toutefois, que les espaces image et objet soient de même indice $)$ .

[67] Si le dioptre est « concave », $C$ est réel, et si le dioptre est « convexe », $C$ est virtuel.

[orientation_de_l'axe_optique_principal_d'un_système_dioptrique-68] 68,0 et ^68,1 Supposant l'axe optique principal horizontal, l'espace objet réel étant situé à gauche du dioptre, la partie incidente de l'axe optique principal est orientée dans le sens $\to$ et l'espace image réelle étant alors situé à droite du dioptre, la partie émergente est orientée dans le même sens $\to$ ; il est donc inutile de préciser en indice le sens de l'orientation de l'axe optique principal contrairement à ce qui doit être fait dans le cas d'un miroir sphérique.

[69] En précisant la modification des résultats pour un dioptre sphérique des trois autres types.

[Définition_sommet_dioptre-70] Si le point objet $A_{o}$ est sur le dioptre, l'axe optique principal associé à ce point objet ayant pour support $(C A_{o})$ , $A_{o}$ joue le rôle de sommet $S$ du dioptre ; ainsi, dans la mesure où l'axe optique principal n'a pas été préalablement défini, tout point du dioptre peut être considéré comme un sommet.

[71] Dès lors que $A_{o}$ est $\neq C$ , l'axe optique principal est parfaitement défini ainsi que le sommet $S$ qui est l'intersection de l'axe optique principal et du dioptre.

[2ème_loi_de_Snell_-_Descartes_de_la_réfraction-72] 72,0 ^72,1 ^72,2 et ^72,3 Voir le paragraphe « 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[indépendance_de_la_nature_du_dioptre-73] 73,0 et ^73,1 Nous admettrons que cette relation $($ ou propriété $)$ établie dans le cas d'un dioptre sphérique concave convergent est encore applicable, sans modification, à un dioptre sphérique concave divergent ou à un dioptre sphérique convexe convergent ou divergent.

[74] Pour le repérage de Descartes dans un dioptre sphérique concave ou convexe, convergent ou divergent, il y a deux origines utilisées : l'origine au sommet qui est la plus fréquemment utilisée et l'origine au centre qui l'est beaucoup moins.

[75] Mais évidemment pas sous la forme « $\frac{n_{i}}{p_{i}} - \frac{n_{o}}{p_{o}} = V$ » qui est indéterminée quand on l'applique à $S$ , son abscisse objet $p_{o}$ y étant nulle $\dots$

[76] C.-à-d. que, pour un point quelconque $M_{o}$ de $A_{o} B_{o}$ , avec la définition de l'axe optique secondaire associé de support $(C M_{o})$ $($ cet axe jouant le rôle d'axe optique principal pour le point objet $M_{o}$ est qualifié de secondaire relativement au point objet $A_{o})$ , les rayons incidents issus de $M_{o}$ doivent être paraxiaux $[$ peu inclinés relativement à l'axe optique secondaire de support $(C M_{o})$ et à point d'incidence restant proche du sommet secondaire $S_{M_{o}}$ , intersection de l'axe optique secondaire de support $(C M_{o})$ avec le dioptre $]$ .

[77] C.-à-d. hors conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché, voir le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[78] C'est cette façon qui a été vue en cours, $S$ étant en effet le point de l'axe optique principal appartenant à la face d'entrée du dioptre dans le paragraphe « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[relation_de_conjugaison_de_position_Descartes_(avec_origine_au_centre)_-_ter-79] Voir la solution de la question « relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre) » plus bas dans cet exercice.

[80] Il y a donc aplanétisme approché du dioptre sphérique pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre à condition qu'il soit vu de ce centre sous un petit angle.

[paraxial_-_ter-81] Le caractère paraxial étant indispensable pour satisfaire au stigmatisme approché du dioptre pour le point objet $M_{o}$ $[$ voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ , tous les rayons non paraxiaux issus de $M_{o}$ seront arrêtés par un diaphragme centré sur $S$ ;
Modèle:Alon vérifie aisément que les rayons incidents $M_{o} S$ et $M_{o} F_{o}$ sont deux candidats respectant la paraxialité, par contre le rayon incident $M_{o} C$ pouvant ne pas l'être car $A_{o}$ est proche de $C$ $($ et si tel était le cas il serait alors arrêté par le diaphragme centré en $S)$ , nous ne l'utiliserons pas.

[définition_de_Sx_et_Sy_-_bis-82] 82,0 et ^82,1 L'axe $\vec{S x}$ étant porté par l'axe optique principal orienté dans le sens incident et l'axe $\vec{S y}$ étant porté par la représentation symbolique du dioptre orienté vers le haut, l'objet $A_{o} B_{o}$ étant lui aussi orienté vers le haut.

[83] Cette partie de dioptre $⊥$ en $S$ à l'axe optique principal est terminée par des bords inclinés vers la droite pour un dioptre convergent et vers la gauche pour un dioptre divergent.

[Foyers_à_ajouter_-_bis-84] La position des foyers principaux sont à ajouter suivantleur détermination de la solution de la question « caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image » plus haut dans cet exercice.

[rayon_incident_passant_par_C_-_bis-85] En effet le rayon émergent doit être issu du point d'incidence $I$ du rayon incident et passer par l'image de $C$ par le dioptre c'est-à-dire $C$ lui-même.

[attention_à_l'utilisation_de_2ème_loi_de_Snell_-_Descartes_de_la_réfraction_sur_la_représentation_symbolique_d'un_dioptre_sphérique-86] Attention le sommet $S$ du dioptre est le seul point d'incidence en lequel on peut appliquer la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réfraction en travaillant sur la représentation symbolique du dioptre car c'est le seul point pour lequel la direction de cette représentation symbolique se confond avec la direction réelle du dioptre $($ autrement dit c'est le seul point où la normale réelle est $⊥$ à la représentation symbolique, par exemple le rayon incident $B_{o} C$ qui se confond avec la normale réelle du dioptre en $I$ n'est pas $⊥$ à la représentation symbolique du dioptre en $I)$ .

[87] Car le dioptre est stigmatique approché pour $B_{o}$ .

[dioptre_aplanétique_approché_pour_AoBo-88] Car le dioptre est aplanétique approché pour $A_{o} B_{o}$ .

[89] Le dioptre sphérique n'est stigmatique rigoureux que pour le pied $C$ de l'objet linéique, pour tous les autres points objet constituant ce dernier on suppose le stigmatisme approché du dioptre c'est-à-dire l'utilisation de rayons incidents issus de $M_{o} (\neq C) \in A_{o} B_{o}$ paraxiaux $($ ce qui peut être réalisé en pratique avec un diaphragme centré en $S$ collé contre le dioptre $)$ .

[90] L'objet, collé contre le dioptre sphérique, de pied $A_{o} = S$ , l'axe optique principal ayant pour support $(C A_{o})$ , ne peut être rigoureusement linéique $($ c'est-à-dire rectiligne $)$ car il suit la courbure du dioptre mais, s'il est vu de $C$ sous un petit angle non algébrisé $α$ , on peut confondre l'arc de cercle de centre $C$ et le segment correspondant lui étant tangent à l'ordre un en $α$ , raison pour laquelle l'objet est qualifié de « linéique transverse » ;
Modèle:Alle dioptre sphérique est stigmatique rigoureux pour tous les points de l'objet linéique car tous ces points, étant sur le dioptre, jouent le rôle de sommet $($ secondaire $)$ pour lequel le dioptre est stigmatique rigoureux.

[91] Qui est aussi la condition pour que l'objet collé sur le dioptre puisse être considéré comme linéique.

[applicabilité_grandissement_transverse_origine_au_sommet_-_bis-92] Nous pouvons donc affirmer que la 2^ème relation de conjugaison $[$ ou relation de conjugaison de grandissement transverse $]$ de Descartes $($ avec origine au sommet $)$ d'un dioptre sphérique est applicable à tout objet linéiqua transverse $A_{o} B_{o}$ de pied $A_{o} \neq S$ ou $A_{o} = S$ par levée de l'indétermination.

[relation_de_conjugaison_de_position_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_-_bis-93] 93,0 et ^93,1 Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées relation de conjugaison de position de Descartes (avec origine au sommet) - bis

[relation_de_conjugaison_de_grandissement_transverse_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_-_bis-94] 94,0 ^94,1 et ^94,2 Voir la solution de la question « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » plus haut dans cet exercice.

[relations_de_conjugaison_communes_dioptre_-_lentille-95] C.-à-d., comme cela sera vu dans les paragraphes « 1^ère relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de position) de Newton » et « 2^ème relation de conjugaison (ou relation de conjugaison de grandissement transverse) de Newton » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous obtenons la même relation de conjugaison $($ approchée $)$ de position ${$ ou de grandissement transverse $}$ de Newton $]$ que celle d'une lentille mince $($ à condition que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison de Newton soient explicitées uniquement en fonction des abscisses objets ou des abscisses images et non simultanément des deux $)$ .

[96] L'expression du grandissement angulaire est établie en utilisant un dioptre sphérique concave convergent mais elle reste applicable pour tout type de dioptre sphérique.

[grandissement_angulaire_de_Descartes_(avec_origine_au_sommet)_-_bis-97] Voir la solution de la question « expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet » plus haut dans cet exercice.

[Lagrange_-_Helmholtz_dioptre-98] Cette relation est la même que celle établie dans le paragraphe « relation de Lagrange-Helmholtz d'une lentille (sphérique) mince » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans laquelle il n'y a aucune réflexion, la relation de Lagrange - Hemholtz s'écrivant alors « $G_{t} (A_{o}) G_{a} (A_{o}) = + 1$ » dans le cas usuel d'une lentille mince où les espaces image et objet sont de même indice.

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : conditions de Gauss

Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

Démonstration du stigmatisme approché d'un miroir sphérique concave sous conditions de Gauss

Établissement de la relation liant θo, θi et ω

Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

Points pour lesquels la conjugaison du miroir sphérique est rigoureuse et points doubles

Caractère focal d'un miroir sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image

Quelques propriétés découlant du caractère focal d'un miroir sphérique

Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du miroir sphérique, caractère convergent ou divergent du miroir et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

Démonstration de l'absence de conjugaison non rigoureuse du miroir sphérique (concave) pour le point objet à l'infini sur l'axe optique principal

Aplanétisme approché d'un miroir sphérique sous conditions de Gauss

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du miroir et vu de ce centre sous un petit angle

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un miroir sphérique concave pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du miroir et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)

Construction de l'image par un miroir sphérique d'un objet linéique transverse

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Newton

Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss

Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet

Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz

Stigmatisme et aplanétisme approchés d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss

Démonstration du stigmatisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent sous conditions de Gauss

Établissement de la relation liant θo, θi, ω, no et ni

Évaluation des angles θo, θi et ω en fonction des abscisses de Ao, Ai et C repérées relativement à H

Établissement de la confusion de H et de S à l'ordre un en ω

Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet Ao et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

Points pour lesquels la conjugaison du dioptre sphérique est rigoureuse et points doubles

Caractère focal d'un dioptre sphérique, position des foyers principaux objet et image, lien de la vergence et des distances focales objet et image, signe de la vergence

Caractère focal d'un dioptre sphérique, définition des foyers principaux objet et image, lien de la vergence avec les distances focales objet et image

Signe de la vergence suivant la nature concave ou convexe du dioptre sphérique et la valeur de l'indice de l'espace objet comparé à celle de l'espace image, caractère convergent ou divergent du dioptre et nature réelle ou virtuelle des foyers principaux

Aplanétisme approché d'un dioptre sphérique sous conditions de Gauss

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied non proche du centre du dioptre et vu de ce centre sous un petit angle

Démonstration de l'aplanétisme approché d'un dioptre sphérique concave convergent pour un objet linéique transverse de pied proche du centre du dioptre et vu du sommet de ce dernier sous un petit angle

Relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet)

Construction de l'image par un dioptre sphérique d'un objet linéique transverse

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes (avec origine au centre) sous conditions de Gauss

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Newton sous conditions de Gauss

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Newton

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Newton

Relations de Lagrange - Helmholtz sous conditions de Gauss

Expression de Descartes (avec origine au sommet) du grandissement angulaire d'un pinceau incident issu d'un point objet

Établissement de la relation de Lagrange - Helmholtz

Notes et références

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Établissement de la relation liant θ_o, θ_i et ω

Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H

Conclusion : stigmatisme approché du miroir sphérique (concave) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton

Établissement de la relation liant θ_o, θ_i, ω, n_o et n_i

Évaluation des angles θ_o, θ_i et ω en fonction des abscisses de A_o, A_i et C repérées relativement à H

Conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet)

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes (avec origine au centre)

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Newton

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Newton