Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : lentilles minces

Projection d'une diapositive

Modèle:AlUne lentille mince convergente $ℒ$, de distance focale image $f_i=5,0cm$, donne d'une diapositive de $24mm$ de hauteur, située devant elle, une image sur un écran de projection placé à $4,00m$ derrière $ℒ$.

Modèle:AlCalculer $\succ$la vergence $V$ de $ℒ$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$la position de l'objet « diapositive » par rapport à $ℒ$ et
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$la hauteur de l'image sur l'écran de projection.

Appareil photographique et objectif longue focale

Modèle:AlUn appareil photographique est équipé d'un objectif longue focale constitué d'une lentille mince de « focale image $f_i=135mm$» et tel que
Modèle:AlModèle:Transparentson champ transversal est limité par les dimensions du film de « format $24\times 36\text{en}mm$».

Champ angulaire de l'objectif longue focale

Modèle:AlCalculer le champ angulaire dans les directions $\parallel$ à la largeur et à la longueur du film $[$le champ angulaire étant défini comme l'ouverture angulaire sous lequel le centre optique $O$ de l'objectif longue focale voit l'objet placé à l'infini$]$.

Dimension d'une image par l'objectif longue focale et comparaison avec celle obtenue par un objectif normal

Modèle:AlDéterminer la dimension de l'image d'un objet de hauteur $h=200m$ situé à une distance $D=2km$ de l'objectif.

Modèle:AlComparer à l'image du même objet que donnerait un objectif normal de « focale image $f_i=50mm$».

Discussion graphique de Bouasse pour visualiser les propriétés comparées d'un objet linéique transverse et de son image par une lentille mince de focale connue

Préliminaire, réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince

Équation cartésienne de la droite passant par les points (x₀, 0) et (0, y₀) avec x₀ et y₀ non nuls

Modèle:AlMontrer que l'équation cartésienne de la droite passant par les points

$(x_0,0)$

et

$(0,y_0)$

avec

$x_0\ne 0$

et

$y_0\ne 0$

peut s'écrire :

«$\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}=1$».

Préliminaire : Réécriture de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince

Modèle:AlDéduire de la 1^ère relation de conjugaison

$($

approchée

$)$ $[$

ou relation de conjugaison

$($

approchée

$)$

de position

$]$

de Descartes d'une lentille sphérique mince que les points objet

$A_o$

d'abscisse objet de Descartes

$p_o=\overline{O{A}_o}$

et image

$A_i$

d'abscisse image de Descartes

$p_i=\overline{O{A}_i}$

sont conjugués si leurs abscisses sont liées par :

«$\frac{f_o}{p_0}+\frac{f_i}{p_i}=1$».

Traduction graphique de la 1^ère relation de conjugaison de Descartes d'une lentille sphérique mince dans un diagramme « axe des x : abscisses des objets », « axe des y : abscisses des images »

Modèle:AlAssociant à tout couple de points conjugués

$(A_o,A_i)$

caractérisé par le couple de paramètres

$(p_o,p_i)$

, la droite

${𝒟}_{(p_o,p_i)}$

du plan cartésien passant par les points

$(p_o,0)$

et

$(0,p_i)$

, montrer que la 1^ère relation de conjugaison

$($

approchée

$)$ $[$

ou relation de conjugaison

$($

approchée

$)$

de position

$]$

de DescartesModèle:, écrite pour le couple

$(A_o,A_i)$

se traduit par

« la droite ${𝒟}_{(p_o,p_i)}$ associée au couple $(A_o,A_i)$ passe par le point fixe de coordonnées $(f_o,f_i)$».

Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince convergente

Modèle:AlConsidérant les différentes positions possibles du point objet $A_o$ sur l'axe optique principal relativement aux points réels «$W_o$ d'abscisse objet de Descartes $2f_o$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$F_o$ $($foyer principal objet$)$» et
Modèle:AlModèle:Transparent«$O$ $($centre optique$)$»,

• tracer les droites ${𝒟}_{(p_o,p_i)}$ correspondantes et
• déduire du signe de $p_i$ la nature « réelle » ou « virtuelle » du point image $A_i$ en précisant nettement la « nature et la position correspondante du point objet $A_o$» dont $A_i$ est l'image ;

Modèle:Alconsidérant maintenant un objet linéique transverse $A_o{B}_o$ de pied $A_o$, ce dernier prenant les différentes positions possibles considérées précédemment, déterminer à partir des signes et des grandeurs comparées de $p_i$ et $p_o$, la nature « droite » ou « inversée » de l'image ainsi que son caractère « agrandi » ou « rapetissé ».

Modèle:AlVérifier chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes $p_o$ choisi dans la discussion de Bouasse précédente.

Discussion graphique de Bouasse pour une lentille sphérique mince divergente

Modèle:AlOn se propose de refaire l'étude précédente mais appliquée à une lentille sphérique mince divergente.

Modèle:AlRépondre aux mêmes questions, les points $F_o$ et $W_o$ $($point objet de Weierstrass$)$ par rapport auxquels on repère la position du point objet $A_o$ étant maintenant virtuels, le point $O$ étant quant à lui toujours réel, et

Modèle:Alvérifier, de même, chaque affirmation en faisant la construction de l'image d'un objet d'abscisse objet de Descartes $p_o$ choisi dans la discussion de Bouasse précédente.

Objectif photographique, profondeur de champ de netteté due au grain de la pellicule et temps de pose

Modèle:AlL’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille sphérique mince convergente de distance « focale image $f_i=38mm$».

Modèle:AlLe diaphragme d’ouverture de l’objectif a un « diamètre réglable $2R=\frac{f_i}{N}$» où $N$, appelé « nombre d'ouverture », peut varier par « valeurs discrètes de $N=2,0$ à $N=11,3$».

Modèle:AlLa pellicule ayant une structure granulaire, « la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain soit $a=30\mu m$».

Détermination de la profondeur de champ de netteté liée à la nature granulaire de la pellicule

Modèle:AlL’objectif étant « mis au point sur un point objet $A_o$ situé à la distance $|p_o|=2,50m$ de l’objectif »,
Modèle:AlModèle:Transparentdes points situés au-delà de $A_o$ c'est-à-dire à une distance $|{p^{\prime }}_{o,M}|>2,50m$ de l’objectif, donnent une image ponctuelle en deçà du film,
Modèle:AlModèle:Transparentdes points situés en deçà de $A_o$ c'est-à-dire à une distance $|{p^{\prime }}_{o,m}|<2,50m$ de l’objectif, donnent une image ponctuelle au-delà du film,
Modèle:AlModèle:Transparentdans les deux cas, apparaît une tache sur le film, laquelle semblera ponctuelle si « son diamètre est inférieur à celui du grain du film ».

Modèle:AlOn définit la « profondeur de champ de netteté » de l'objectif diaphragmé pour une mise au point sur un objet donné
Modèle:AlModèle:Transparentcomme l'intervalle de distance séparant l'objectif et les objets ponctuels à image granulaire considérée comme ponctuelle sur la pellicule,
Modèle:AlModèle:Transparent« intervalle noté $[|p_{o,m}|;|p_{o,M}|]$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentle minimum de la profondeur de champ est donc $|p_{o,m}|$ et
Modèle:AlModèle:Transparentle maximum Modèle:AlModèle:Transparent$|p_{o,M}|$,
Modèle:AlModèle:Transparentla largeur étant définie par «$\mathrm{\Delta }x(|p_o|,N)=|p_{o,M}|-|p_{o,m}|$».

Modèle:AlExprimer, en fonction du grain $a$ de la pellicule, de la distance focale image $f_i$, du nombre d'ouverture $N$ et de la distance de mise au point $|p_o|$ :
Modèle:AlModèle:Transparentle minimum de la profondeur de champ $|p_{o,m}|$,
Modèle:AlModèle:Transparentle maximum Modèle:AlModèle:Transparent$|p_{o,M}|$ et
Modèle:AlModèle:Transparentla largeur Modèle:AlModèle:Transparent$\mathrm{\Delta }x(|p_o|,N)$.

Modèle:AlFaire l'application numérique pour les valeurs extrêmes d'ouverture.

Temps de pose maximal pour que l’image d’un objet se déplaçant latéralement soit nette

Modèle:AlL’objectif est mis au point sur un objet situé à une distance de $|p_o|=8,00m$, objet se déplaçant perpendiculairement à l’axe de visée, à la vitesse de $v_o=9,0km\cdot h^{-1}$.

Modèle:AlQuel temps de pose maximum ${\tau }_{\text{max}}$ doit-on choisir pour que le déplacement de l'objet photographié n’altère pas la netteté de la photographie ?

Viseur

Modèle:AlOn constitue un viseur à l'aide d'un « objectif de distance focale image $f_{i,1}=30cm$» et d'un « oculaire de distance focale image $f_{i,2}$».

Modèle:AlL'objet placé à une « distance $d$ en avant de l'objectif » est vu à travers l'oculaire à l'infini par l'observateur qui n'accommode pas.

Modèle:AlCalculer quelle doit être la plage de translation de l'oculaire, relativement à l'objectif, pour que la distance de visée $d$ soit « réglable de $1,00m$ à l'infini »
Modèle:AlModèle:Transparent$\{$on définira cette plage de translation par le « tirage de l'oculaire $t=\overline{F_{i,1}Fo,2}$»$\}$.

Oculaire de Plössl

Modèle:AlL'oculaire de Plössl est le « doublet de lentilles minces du type $(3,1,3)$» $\Rightarrow$ la 1^ère lentille $($dans le sens de propagation de la lumière$)$ est de distance focale image «$f_{i,1}=3a$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla distance séparant les centres optiques $($dans le sens de propagation de la lumière$)$ est «$e=\overline{O_1{O}_2}=a$» et
Modèle:AlModèle:Transparentla 2^ème lentille $($dans le sens de propagation de la lumière$)$ est de distance focale image «$f_{i,2}=3a_{;}$».

Détermination des caractéristiques de l'oculaire de Plössl

Nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image

Modèle:AlVérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire de Plössl est focal ;

Modèle:Aldéterminer algébriquement en fonction de $a$ et retrouver le résultat par construction sur un schéma à l'échelle en choisissant $a=2cm$ :

• le foyer principal image $F_i$ de l'oculaire de Plössl c'est-à-dire l'image, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal,
• le foyer principal objet $F_o$ de l'oculaire de Plössl c'est-à-dire l'antécédent, par l'oculaire, du point à l'infini de l'axe optique principal ;

Modèle:Alpréciser le caractère positif ou négatif de l'oculaire de Plössl sachant qu'un oculaire est dit positif si $F_o$ est réel, négatif si $F_o$ est virtuel.

Caractère convergent de l'oculaire déterminé par construction

Modèle:AlEn considérant un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire de Plössl, vérifier que ce dernier est convergent sachant que
Modèle:Al$\succ$un système optique est convergent si un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\mathrm{\Delta }$ en s'en rapprochant ou
Modèle:AlModèle:Transparentau-dessous de $\mathrm{\Delta }$ en s'en éloignant,
Modèle:Al$\succ$un système optique est divergent si un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\mathrm{\Delta }$ en s'en éloignant ou
Modèle:AlModèle:Transparentau-dessous de $\mathrm{\Delta }$ en s'en rapprochant,
Modèle:Al$\succ$un système optique est afocal si un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$, émerge de la face de sortie du système $\parallel$ à $\mathrm{\Delta }$, après $($ou sans$)$ avoir coupé ce dernier.

Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire

Modèle:AlLes foyers principaux objet et image de l'oculaire de Plössl ayant été déterminés dans la solution de la question « nature focale de l'oculaire et position des foyers principaux objet et image » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon :

• l'abscisse objet de Newton du point objet $A_o$ de l'axe optique principal «${\sigma }_o=\overline{F_o{A}_o}$» et
• l'abscisse image de Newton du point image $A_i$ de l'axe optique principal «${\sigma }_i=\overline{F_i{A}_i}$» ;

Modèle:Alen admettant que la 1^ère relation de conjugaison $($approchée$)$ $[$ou relation de conjugaison $($approchée$)$ de position$]$ de NewtonModèle:, est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image $|f_i|$ de ce dernier $($la distance focale objet $f_o$ étant toujours opposée à la distance focale image $f_i)$, déterminer :

• $|f_i|$ en appliquant la relation de conjugaison $($approchée$)$ de position de Newton à l'oculaire de PlösslModèle:, pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
• $f_i$ sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive $($la distance focale image d'un système divergent étant négative$)$.

Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire

Modèle:AlLes points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse de pied positionné au point principal objet $H_o$, un grandissement transverse valant «$G_t(H_o)=+1$» ;

Modèle:Alen admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison $($approchée$)$ $[$ou relation de conjugaison $($approchée$)$ de grandissement transverse$]$ de NewtonModèle:, sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :

• l'abscisse objet de Newton du point principal objet «${\sigma }_o(H_o)=\overline{F_o{H}_o}$», positionner alors $H_o$ sur l'axe optique principal et
• l'abscisse image de Newton du point principal image «${\sigma }_i(H_i)=\overline{F_i{H}_i}$», positionner de même $H_i$ sur l'axe optique principal.

Définition du repérage de Descartes des points objet et image de l'oculaire

Modèle:AlVérifier, d'après les réponses de la question « détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire » plus haut dans cet exercice,
Modèle:AlModèle:Transparentque les distances focales objet et image de l'oculaire de Plössl peuvent être définies selon «$f_o=\overline{H_o{F}_o}$» et «$f_i=\overline{H_i{F}_i}$».

Modèle:AlOn définit alors le repérage de Descartes pour les points objet et image de l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl selon :

• l'abscisse objet de Descartes du point objet $A_o$ de l'axe optique principal «$p_o=\overline{H_o{A}_o}$» et
• l'abscisse image de Descartes du point image $A_i$ de l'axe optique principal «$p_i=\overline{H_i{A}_i}$» ;

Modèle:Alétablir les relations de conjugaison $($approchée$)$ de position et de grandissement transverse de Descartes à partir de celles $($admises$)$ de Newton en effectuant un changement d'origines et
Modèle:Alvérifier que ces relations de conjugaison $($approchée$)$ de position et de grandissement transverse de Descartes sont identiques à celles d'une lentille minceModèle:,.

Construction de l'image, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse en utilisant les plans principaux et justification du caractère convergent (ou divergent) d'un doublet de lentilles

Modèle:AlMontrer qu'un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ et rencontrant $($réellement ou fictivement$)$ le plan principal objet en $I_o$,
Modèle:AlModèle:Transparentémerge du plan principal image $($réellement ou fictivement$)$ en $I_i$ situé à la même distance de $\mathrm{\Delta }$ que $I_o$,
Modèle:AlModèle:Transparentle rayon émergeant en direction du foyer principal image $F_i$ ;

Modèle:Alen déduire une méthode de construction de l'image $A_i{B}_i$, par l'oculaire de Plössl, d'un objet linéique transverse $A_o{B}_o$ de pied $A_o$ en utilisant les plans principaux objet et image de l'oculaire.

Modèle:AlEn utilisant la méthode de construction qui vient d'être évoquée, justifier la propriété rappelée ci-dessous pour déterminer le caractère convergent $($ou divergent$)$ d'un système optique :

• un système optique est convergent si un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\mathrm{\Delta }$ en s'en rapprochant ou
  Modèle:Transparentau-dessous de $\mathrm{\Delta }$ en s'en éloignant ;
• un système optique est divergent si un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ en étant au-dessus de ce dernier émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\mathrm{\Delta }$ en s'en éloignant ou
  Modèle:Transparentau-dessous de $\mathrm{\Delta }$ en s'en rapprochant.

Axes optiques secondaires de l'oculaire et foyers secondaires objet ou image associés à un axe optique secondaire

Modèle:AlTout rayon incident, incliné par rapport à l'axe optique principal et passant $($directement ou par son prolongement$)$ par le point principal objet de l'oculaire de Plössl ainsi que
Modèle:Alson émergent issu $($directement ou par son prolongement$)$ du point principal image
Modèle:AlModèle:Transparentconstituent un axe optique secondaire ;

Modèle:Almontrer que les « deux demi-droites issues des points principaux d'un axe optique secondaire de l'oculaire de Plössl sont $\parallel$».

Modèle:AlEn vous basant sur la définition des foyers secondaires associés à un axe optique secondaire d'une lentille mince, introduire cette notion pour un doublet de lentilles et en particulier
Modèle:AlModèle:Transparentpour l'oculaire de Plössl puis

Modèle:AlModèle:Transparenten déduire une méthode de construction du point image, par l'oculaire de Plössl, d'un point objet de l'axe optique principal, méthode utilisant exclusivement la notion de foyers secondaires objet ou image.

Détermination du grossissement de l'oculaire en fonction de sa « puissance optique » pour un objet situé à l'infini

Modèle:AlPréliminaire : la puissance optique d'un oculaire est le degré auquel l'oculaire fait converger ou diverger la lumière,
Modèle:Transparentelle est égale au quotient de l'angle sous lequel l'œil voit l'image en sortie de l'oculaire sur la taille de l'objet,
Modèle:Transparentelle est exprimée en dioptries $\left(\delta \right)$.

Détermination du rayon angulaire que l'oculaire de Plössl donne de l'image d'un objet situé dans le plan focal objet de ce doublet de lentilles minces

Modèle:AlUn disque transverse centré sur l'axe optique principal de l'oculaire de Plössl est placé dans le plan focal objet de ce dernier ;
Modèle:AlModèle:Transparentsachant que le rayon du disque est $\rho$ déterminer le rayon angulaire ${\alpha }^{\prime }$ de son image à l'infini.

Calcul de la puissance de l'oculaire

Modèle:AlÉvaluer la puissance de l'oculaire de Plössl «$𝒫=\frac{{\alpha }^{\prime }}{\rho }$» en fonction de $a$ puis
Modèle:Alcalculer sa valeur en dioptries si $a=2,0cm$.

Évaluation du grossissement de l'oculaire relativement à l'observation du disque au punctum proximum de l'œil de l'observateur

Modèle:AlL'objet observé à l'œil nu, à la distance minimale de vision distincte $d=25cm$, serait vu sous le rayon angulaire ${\alpha }_0$,
Modèle:AlModèle:Transparentobservé à travers l'oculaire de Plössl, il est vu sous le rayon angulaire ${\alpha }^{\prime }$ ;
Modèle:Alévaluer le grossissement de l'oculaire «$G=\frac{{\alpha }^{\prime }}{{\alpha }_0}$» en fonction de la puissance de ce dernier et de la distance minimale de vision distincte puis
Modèle:Alcalculer sa valeur numérique.

Doublet de lentilles minces non accolées constitué d'une lentille convergente et d'une divergente

Modèle:AlSoit le « doublet de lentilles minces du type $(4,1,-2)$» $\Rightarrow$ la 1^ère lentille $($dans le sens de propagation de la lumière$)$ est convergente de distance focale image «$f_{i,1}=4a$»,
Modèle:AlModèle:Transparentla distance séparant les centres optiques $($dans le sens de propagation de la lumière$)$ est «$e=\overline{O_1{O}_2}=a$» et
Modèle:AlModèle:Transparentla 2^ème lentille $($dans le sens de propagation de la lumière$)$ est divergente de distance focale image «$f_{i,2}=-2a_{;}$» ;

Modèle:AlModèle:Transparentce doublet de lentilles minces non accolées pouvant être utilisé pour voir un objet avec plus de détails constitue un « oculaire ».

Déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet F_o et image F_i de l'oculaire

Modèle:AlVérifier, sur un schéma à l'échelle, que l'oculaire est focal ;

Modèle:Aldéterminer, en fonction de $a$, le positionnement des foyers principaux objet $F_o$ et image $F_i$ de l'oculaire et

Modèle:Aldire si cet oculaire est « positif ou négatif » sachant qu'un oculaire est dit positif si son foyer principal objet $F_o$ est réel et
Modèle:AlModèle:Transparentnégatif siModèle:Transparent$F_o$ est virtuel.

Caractère divergent de l'oculaire déterminé par construction

Modèle:AlEn considérant un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal et en traçant le cheminement de ce rayon à travers l'oculaire, vérifier que ce dernier est divergent sachant que
Modèle:Al$\succ$un système optique est convergent si un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\mathrm{\Delta }$ en s'en rapprochant ou
Modèle:AlModèle:Transparentau-dessous de $\mathrm{\Delta }$ en s'en éloignant,
Modèle:Al$\succ$un système optique est divergent si un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ et au-dessus de ce dernier, émerge de la face de sortie du système au-dessus de $\mathrm{\Delta }$ en s'en éloignant ou
Modèle:AlModèle:Transparentau-dessous de $\mathrm{\Delta }$ en s'en rapprochant,
Modèle:Al$\succ$un système optique est afocal si un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$, émerge de la face de sortie du système $\parallel$ à $\mathrm{\Delta }$, après $($ou sans$)$ avoir coupé ce dernier.

Détermination de la distance focale (image) de l'oculaire

Modèle:AlLes foyers principaux objet et image de l'oculaire ayant été déterminés dans la solution de la question « déterminations algébrique et graphique des foyers principaux objet F_o et image F_i de l'oculaire » plus haut dans cet exercice, il devient possible d'utiliser le repérage de Newton pour positionner les points objet et image de l'axe optique principal selon :

• l'abscisse objet de Newton du point objet $A_o$ de l'axe optique principal «${\sigma }_o=\overline{F_o{A}_o}$» et
• l'abscisse image de Newton du point image $A_i$ de l'axe optique principal «${\sigma }_i=\overline{F_i{A}_i}$» ;

Modèle:Alen admettant que la 1^ère relation de conjugaison $($approchée$)$ $[$ou relation de conjugaison $($approchée$)$ de position$]$ de NewtonModèle:, est encore applicable à un doublet focal de lentilles minces et que ceci permet de définir la valeur absolue de la distance focale image $|f_i|$ de ce dernier $($la distance focale objet $f_o$ étant toujours opposée à la distance focale image $f_i)$, déterminer :

• $|f_i|$ en appliquant la relation de conjugaison $($approchée$)$ de position de Newton à l'oculaire pour un couple de points conjugués judicieusement choisis, puis
• $f_i$ sachant qu'un système convergent a une distance focale image positive $($la distance focale image d'un système divergent étant négative$)$.

Détermination des points principaux objet H_o et image H_i de l'oculaire

Modèle:AlLes points principaux objet et image d'un système optique sont les points conjugués de l'axe optique principal tels que le système optique donne, d'un objet linéique transverse de pied positionné au point principal objet $H_o$, un grandissement transverse valant «$G_t(H_o)=+1$» ;

Modèle:Alen admettant que les deux formes de la 2^ème relation de conjugaison $($approchée$)$ $[$ou relation de conjugaison $($approchée$)$ de grandissement transverse$]$ de NewtonModèle:, sont encore applicables à un doublet focal de lentilles minces, déterminer :

• l'abscisse objet de Newton du point principal objet «${\sigma }_o(H_o)=\overline{F_o{H}_o}$», positionner alors $H_o$ sur l'axe optique principal et
• l'abscisse image de Newton du point principal image «${\sigma }_i(H_i)=\overline{F_i{H}_i}$», positionner de même $H_i$ sur l'axe optique principal.

Modèle:AlDéterminer graphiquement la position des points principaux objet $H_o$ et image $H_i$ de l'oculaire en utilisant la méthode de détermination graphique exposée ci-après $($on vérifiera l'accord avec la détermination algébrique précédente$)$ :

• lors de la détermination du foyer principal image $F_i$ de l'oculaire, on considère un rayon incident $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ qui se réfracte à partir de la lentille ${ℒ}_1$ en un rayon intermédiaire dont le prolongement passe par le foyer principal image $F_{i,1}$ de cette dernière, ce rayon intermédiaire $\parallel$ à l'axe optique secondaire $(\delta )$ de la lentille ${ℒ}_2$ conduisant à un rayon émergent, à partir de cette lentille, passant par le foyer secondaire image ${\phi }_{i,2}(\delta )$ correspondant à cet axe optique secondaire $(\delta )$ et l'intersection de ce rayon émergent et de l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ définissant le foyer principal image $F_i$ de l'oculaire ; considérant ensuite un objet linéique transverse $A_o{B}_o$ de pied $A_o$ sur l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ et dont l'autre extrémité est sur le rayon incident $\parallel$ à $\mathrm{\Delta }$ précédemment utilisé, dans l'hypothèse où $A_o$ serait en $H_o$, l'image $A_i{B}_i$ étant de même taille et de même sens que l'objet $A_o{B}_o$ et l'extrémité $B_i$ devant être sur le rayon émergent de l'oculaire passant par le foyer principal image $F_i$, $B_i$ se trouve à l'intersection de ce rayon émergent et du rayon incident conjugué, $A_i$ projeté orthogonal de $B_i$ sur $\mathrm{\Delta }$ définissant alors la position du point principal image $H_i$ ;
• lors de la détermination du foyer principal objet $F_o$ de l'oculaire, on considère un rayon émergent $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ dont l'antécédent en deçà de la lentille ${ℒ}_2$ est un rayon intermédiaire de prolongement passant par le foyer principal objet $F_{o,2}$ de cette dernière, ce rayon intermédiaire $\parallel$ à l'axe optique secondaire $({\delta }^{\prime })$ de la lentille ${ℒ}_1$ conduisant à un rayon incident, en deçà de cette lentille, passant par le foyer secondaire objet ${\phi }_{i,1}({\delta }^{\prime })$ correspondant à cet axe optique secondaire $({\delta }^{\prime })$ et l'intersection de ce rayon incident et de l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ définissant le foyer principal objet $F_o$ de l'oculaire ; considérant ensuite une image linéique transverse $H_i{I}_i$ dont l'autre extrémité $I_i$ est sur un rayon émergent $\parallel$ à $\mathrm{\Delta }$, l'antécédent $H_o{I}_o$ étant de même taille et de même sens que l'image $H_i{I}_i$ et l'extrémité $I_o$ devant être sur le rayon incident correspondant passant par le foyer principal objet $F_o$, $I_o$ se trouve à l'intersection de ce rayon incident et du rayon émergent conjugué, le point principal objet $H_o$ s'obtenant par projection orthogonale de $I_o$ sur $\mathrm{\Delta }$.

Détermination de la vergence d'une lentille mince, méthode d'autocollimation

Modèle:AlOn se propose de déterminer expérimentalement la vergence «$V$» d'une lentille mince convergence $ℒ$, de centre optique $O$, de distance focale $($image$)$ «$f_i$» inconnue
Modèle:AlModèle:Transparentpar la méthode d'autocollimation ;

Modèle:Alpour cela on accole à la lentille $ℒ$, un miroir plan $ℳ$ et on obtient le système catadioptrique «$ℒ\cup ℳ\cup {ℒ}^{-1}$» ;

Modèle:Alle système obtenu étant catadioptrique, on adopte l'algébrisation physique de l'axe optique principal $($on précisera en indice le sens de propagation de la partie d'axe optique principal considérée$)$.

Détermination de la distance algébrique δ entre l'objet et l'image par le système catadioptrique

Modèle:AlLorsque le point objet $A_o$ considéré d'abscisse de Descartes «$p_o={\overline{O{A}_o}}_{\to }$» se déplace sur l'axe optique principal, son image $A_i$ par le système catadioptrique «$ℒ\cup ℳ\cup {ℒ}^{-1}$», point image d'abscisse de Descartes «$p_i={\overline{O{A}_i}}_{\leftarrow }$», se déplace aussi ;

Modèle:Aldéterminer l'expression de la mesure algébrique «$\delta ={\overline{A_o{A}_i}}_{\to }$» en fonction de «$p_o$ et de $f_i$».

Étude de la variation de δ en fonction de l'abscisse de Descartes de l'objet

Modèle:AlÉtudier la variation de la distance algébrique entre l'objet et l'image «$\delta ={\overline{A_o{A}_i}}_{\to }$» en fonction de l'abscisse de Descartes de l'objet «$p_o$» ;

Modèle:Alpréciser pour quelles valeurs de «$p_o$» on obtient «$\delta =0$».

Mise en œuvre de la méthode d'autocollimation

Modèle:AlOn déplace l'ensemble « lentille $ℒ$ - miroir plan $ℳ$» relativement à un « objet linéique transverse $A_o{B}_o$» de façon à recueillir l'« image $A_i{B}_i$ dans le plan de front de l'objet »,
Modèle:AlModèle:Transparentla distance algébrisée « objet - lentille » étant alors «$p_o=-33,3cm$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenten déduire la vergence «$V$» de la lentille «$ℒ$».

Téléobjectif

Modèle:AlUn téléobjectif est constitué de deux lentilles minces coaxiales, l'une «${ℒ}_1$» convergente de distance focale image «$f_{i,1}=100mm$» et
Modèle:AlModèle:Transparentl'autre «${ℒ}_2$» divergente de distance focale image «$f_{i,2}=-40mm$».
Modèle:AlLorsque le téléobjectif est mis au point sur l'infini, son encombrement $($distance de la lentille mince ${ℒ}_1$ à la plaque photographique$)$ est «$D=190mm$».

Calcul de la distance séparant les centres optiques des deux lentilles minces coxiales du téléobjectif avec la mise au point de ce dernier à l'infini

Modèle:AlCalculer la distance «$e=O_1{O}_2$» entre les centres optiques de ${ℒ}_1$ et ${ℒ}_2$ du téléobjectif dont la mise au point est faite sur l'infini $\{$pour cela on explicitera le foyer principal image «$F_i$» du téléobjectif par rapport à ${ℒ}_2$ et on utilisera la définition de $D\}$.

Détermination des foyers principaux image F_i et objet F_o du téléobjectif

Modèle:AlPréciser la position du foyer principal image «$F_i$» du téléobjectif et
Modèle:Aldéterminer celle du foyer principal objet «$F_o$» de ce dernier.

Détermination de la distance focale image f_i du téléobjectif

Modèle:AlEn admettant l'applicabilité, au doublet de lentilles minces coaxiales, de la relation de conjugaison $($appliquée$)$ de position $[$ou 1^ère relation de conjugaison $($appliquée$\left)\right]$ de Newton, déterminer la distance focale image «$f_i$» de ce téléobjectif $($on vérifiera auparavant le caractère convergent du doublet$)$.

Modèle:AlEn déduire le principal avantage de ce téléobjectif par rapport à un objectif simple de même focale.

Détermination de la dimension de l'image d'une tour supposée à l'infini par le téléobjectif

Modèle:AlCalculer la dimension de l'image, par le téléobjectif, d'une tour si très éloignée de faible diamètre angulaire apparent «$\alpha =0,03rad$» $($par exemple tour de $30m$ de haut située à $d=1km$ du téléobjectif$)$.

Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince puis d'un doublet de lentilles sphériques minces accolées ou non, formule de Gullstrand

Vergence et aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince

Modèle:AlUne lentille sphérique est un cas particulier de « système dioptrique centré » d'axe de révolution jouant le rôle d'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$,
Modèle:AlModèle:Transparentobtenu par la juxtaposition de deux dioptres sphériques ou plan dont l'un au moins est sphérique,
Modèle:AlModèle:Transparentde même espace optique intermédiaire d'indice $n$ :

• le 1^er dioptre ${𝒟}_e$, dit dioptre d'entrée, est de sommet $S_e$, de centre $C_e$, de rayon de courbure algébrisé $\overline{R_e}=\overline{S_e{C}_e}\ne 0$, séparant l'espace optique d'indice $n_o$ $($jouant le rôle d'espace objet réel pour la lentille sphérique$)$ et l'espace optique intermédiaire d'indice $n$ ;
• le 2^ème dioptre ${𝒟}_s$, dit dioptre de sortie, est de sommet $S_s$, de centre $C_s$, de rayon de courbure algébrisé $\overline{R_s}=\overline{S_s{C}_s}\ne 0$, séparant l'espace optique intermédiaire d'indice $n$ et l'espace optique d'indice $n_i$ $($jouant le rôle d'espace image réelle pour la lentille sphérique$)$ ;

Modèle:Alnous admettrons les relations de conjugaison $($approchée$)$ de Descartes $($avec origine au sommet$)$ d'un dioptre sphérique établies dans la solution des questions « conclusion : stigmatisme approché du dioptre sphérique (concave convergent) pour le point objet A_o et relation de conjugaison (approchée) de position de Descartes (avec origine au sommet) » et « relation de conjugaison (approchée) de grandissement transverse de Descartes (avec origine au sommet) » de la série $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir $\{$le dioptre sphérique étant de sommet $S$ séparant un milieu d'indice $n_o$ situé à gauche de $S$ d'un milieu d'indice $n_i$ situé à droite de $S$, le rayon de courbure algébrisé étant $\bar{R}=\overline{SC}$ où $C$ est le centre de courbure$\}$ :

• la 1^ère relation de conjugaison $($approchée$)$ $[$ou relation de conjugaison $($approchée$)$ de position$]$ de Descartes $($avec origine au sommet$)$ «$\frac{n_i}{\overline{S{A}_i}}-\frac{n_o}{\overline{S{A}_o}}=V$» avec «$V$ une constante définissant la vergence du dioptre sphérique selon $V=\frac{-(n_o-n_i)}{\bar{R}}$» $[$dans le cas d'un dioptre plan cette relation est encore applicable avec $V=0]$ ;
• la 2^ème relation de conjugaison $($approchée$)$ $[$ou relation de conjugaison $($approchée$)$ de grandisssement transverse$]$ de Descartes $($avec origine au sommet$)$ «$G_t(A_o)=\frac{n_o}{n_i}\frac{\overline{S{A}_i}}{\overline{S{A}_o}}$» Modèle:Nobr applicable dans le cas d'un dioptre plan$]$.

Vergence d'une lentille sphérique mince

Modèle:AlUne lentille sphérique étant « mince » si « son épaisseur $e=S_e{S}_s$ est très petite » c'est-à-dire si « les sommets des faces d'entrée et de sortie peuvent être confondus » $S_e\simeq S_s$, le point commun définissant le centre optique $O$ de la lentille sphérique mince,
Modèle:Alétablir les 1^ère et 2^ème relations de conjugaison $($approchée$)$ de Descartes à partir de celles des dioptres d'entrée et de sortie $($avec origine au sommet respectif$)$ et
Modèle:Aldéterminer l'expression de la vergence de la lentille sphérique mince séparant l'espace objet réel d'indice $n_o$ de l'espace image réelle d'indice $n_i$,

Modèle:Alpuis retrouver les relations de conjugaison $($approchée$)$ de position et de grandissement transverse de Descartes dans le cas où la lentille sphérique mince est plongée dans l'air et
Modèle:AlModèle:Transparentréécrire l'expression de sa vergence.

Aberrations chromatiques d'une lentille sphérique mince

Principe de l'aberration chromatique : l'indice du milieu constituant la lentille $\nearrow$ quand la longueur d'onde dans le vide $\searrow$

Modèle:AlLa vergence d'une lentille sphérique mince plongée dans l'air dépendant de l'indice $n$ du milieu constituant la lentille et celui-ci étant a priori plus ou moins dispersif, on observe, suivant la couleur considérée d'un faisceau incident de lumière blanche, $\parallel$ à l'axe optique principal, que chaque couleur émerge en se focalisant sur l'axe optique principal en des foyers principaux image dont la localisation dépend de la couleur $($voir ci-contre$)$, défauts appelés aberrations chromatiques de la lentille sphérique mince et quantifiés de deux façons :

• en « aberration chromatique longitudinale » $\overline{A_L}$ définie par la distance algébrique qui sépare le foyer principal image bleu $F_{i,F}$ du foyer principal image rouge $F_{i,C}$ $\{$on observe donc un défaut de focalisation ponctuelle sur l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ du faisceau incident de lumière blanche $\parallel$ à $\mathrm{\Delta }$, le point foyer principal image de couleur blanche n'existant pas mais étant remplacé, sur $\mathrm{\Delta }$, par un segment de couleurs étalées $[F_{i,F}{F}_{i,C}]$$\}$,
• en « aberration chromatique transversale » $A_T$ définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse observée dans les plans focaux image de chaque couleur, le faisceau incident, $\parallel$ à l'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ de la lentille sphérique mince, étant de lumière blanche $\{$il s'agit donc d'un défaut de focalisation ponctuelle dans les plans focaux image du faisceau incident de lumière blanche $\parallel$ à $\mathrm{\Delta }$, par exemple dans le plan focal image rouge $($bleu ou autre$)$, la focalisation est ponctuelle pour le rouge $($bleu ou autre$)$ et remplacée par un disque de plus ou moins grand rayon pour chaque autre couleurModèle:,$\}$.

Modèle:AlSachant que le caractère plus ou moins dispersif d'un milieu se quantifie par la constringence $($ou le nombre d'Abbe$)$ de ce dernier «${\nu }_D=\frac{n_D-1}{n_F-n_C}$» dans laquelle les indices ${}_C$, ${}_D$ et ${}_F$ représentent respectivement les couleurs « rouge ${\lambda }_{0,C}=$ $0,6563\mu m$ $($raie $C$ de l'hydrogène$)$», « jaune ${\lambda }_{0,D}=$ $0,5893\mu m$ $($raie $D$ du sodium$)$» et « bleu ${\lambda }_{0,F}=0,4861\mu m$ $($raie $F$ de l'hydrogène$)$», on se propose de déterminer les aberrations chromatiques longitudinale et transversale d'une lentille sphérique mince biconvexe de rayons de courbure non algébrisés d'entrée $R_e=$ $20cm$ et de sortie $R_s=80cm$, de diamètre d'ouverture $D=6cm$ et d'indice suivant la relation de Cauchy «$n=a+\frac{b}{{\lambda }_0^2}$ avec $\left\{\begin{array}{c}a=1,657\\ b=8,310^{-3}\mu m^2\end{array}\right\}$».

Détermination de la constringence du milieu et de la vergence moyenne de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie

Modèle:AlÀ partir des données précédemment introduites déterminer, pour la lentille sphérique mince biconvexe, algébriquement et numériquement

1. la constringence du milieu la constituant et commenter le choix de ce milieu pour limiter les aberrations chromatiques de la lentille,
2. la vergence moyenne ainsi que la distance focale image moyenne de la lentille.

Détermination de l'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie

Modèle:AlÀ partir des mêmes données précédemment introduites déterminer, algébriquement puis numériquement, en fonction de la constringence et de la distance focale image moyenneModèle:,
Modèle:AlModèle:Transparentl'aberration chromatique longitudinale de la lentille sphérique mince biconvexe.

Détermination de l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe précédemment définie

Modèle:AlÀ partir des mêmes données précédemment introduites déterminer algébriquement l'aberration chromatique transversale de la lentille sphérique mince biconvexe,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$d'abord en fonction de l'aberration chromatique longitudinale, des distances focales des couleurs extrêmes et du diamètre d'ouverture
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$puis en fonction de la constringence et du diamètre d'ouverture,
Modèle:AlModèle:Transparentet terminer en faisant l'application numérique ;

Modèle:Alcomparer les deux aberrations chromatiques et commenter.

Doublet de lentilles sphériques minces accolées, condition d'équivalence à une lentille sphérique mince et vergence de cette dernière, achromat mince

Modèle:AlLes deux lentilles sphériques minces ${ℒ}_1$ et ${ℒ}_2$ de même axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ d'un doublet sont dites « accolées » quand leurs centres optiques $O_1$ et $O_2$ sont confondus, leur position commune étant notée $O$ ; notant $V_1$ et $V_2$ les vergences respectives des lentilles sphériques ${ℒ}_1$ et ${ℒ}_2$, on se propose de déterminer

• à quel système dioptrique le doublet de lentilles sphériques minces ${ℒ}_1$ et ${ℒ}_2$ accolées est équivalent puis,
• dans le cas où il serait équivalent à une lentille sphérique mince, dans quelle mesure il est possible de construire un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée et d'indice judicieusement choisi.

Applicabilité des relations de conjugaison de position et de grandissement transverse au doublet de lentilles sphériques minces accolées

Modèle:AlVérifier que le point $O$ est un point double du doublet de lentilles sphériques minces accolées puis

Modèle:Alétablir les relations de conjugaison de position et de grandissement transverse de Descartes du doublet en choisissant $O$ comme origine du repérage de Descartes des points objets et des points images correspondant.

Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles sont opposées

Modèle:AlVérifier que tous les points objet $A_o$ sont des points doubles du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences de celles-ci sont opposées et

Modèle:Alpréciser le système dioptrique équivalent au doublet de lentilles sphériques minces accolées.

Équivalence du doublet de lentilles sphériques minces accolées dans le cas où les vergences des deux lentilles ne sont pas opposées

Modèle:AlVérifier que le doublet de lentilles sphériques minces accolées est équivalent à une lentille sphérique mince dont le centre optique est le point $O$ dans le cas où les vergences des lentilles ne sont pas opposées et

Modèle:Alpréciser la vergence de la lentille sphérique mince équivalente en fonction des vergences des lentilles individuelles.

Construction d'un achromat mince de vergence fixée en accolant deux lentilles sphériques minces de vergence adaptée utilisant des milieux d'indice judicieusement choisi

Modèle:AlOn se propose de réaliser un objectif achromatique mince, de vergence $V=4,25\delta$, en accolant deux lentilles sphériques minces :

• l'une plan convexe, de rayons de courbure non algébrisés $R_{e,1}$ et $R_{s,1}=\mathrm{\infty }$ en verre « crown » de constringence ${\nu }_{D,1}=52$ et d'indice $n_{D,1}$ $=1,516$ pour la radiation jaune,
• l'autre plan concave, de rayons de courbure non algébrisés $R_{e,2}=\mathrm{\infty }$ et $R_{s,2}$ en verre « flint » de constringence ${\nu }_{D,2}=43$ et d'indice $n_{D,2}=1,681$ pour la radiation jaune ;

Modèle:Alen utilisant la vergence d'une lentille sphérique mince en fonction des rayons de courbures algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que de l'indice du milieu constituant la lentille
Modèle:AlModèle:Transparent«$V=(1-n)(\frac{1}{{\bar{R}}_s}-\frac{1}{{\bar{R}}_e})$» $($voir solution de la question « vergence d'une lentille sphérique mince » plus haut dans cet exercice$)$,
Modèle:AlModèle:Transparentla relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu «$n=a+\frac{b}{{\lambda }_0^2}$» avec $a$ et $b$ constantes caractéristiques du milieu et
Modèle:AlModèle:Transparentla définition de la constringence d'un milieu «${\nu }_D=\frac{n_D-1}{n_F-n_C}$», laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante $b$ de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence ${\nu }_D$, de l'indice $n_D$ pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, «$b=$ $\frac{n_D-1}{{\nu }_D(\frac{1}{{\lambda }_{0,F}^2}-\frac{1}{{\lambda }_{0,C}^2})}$»,

1. déterminer une 1^ère expression de la vergence $V$ du doublet de lentilles sphériques minces accolées en fonction des vergences $V_1$ et $V_2$ de chaque lentille individuelle $[$dont l'expression pour la radiation jaune définit la relation $(1)]$, puis
   Modèle:Transparentune 2^ème expression en fonction des rayons de courbure algébrisés des faces d'entrée et de sortie ainsi que des indices des milieux présents et enfin,
2. déterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces accolées soit achromatique en écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0$ est nulle pour ${\lambda }_0={\lambda }_{0,D}$, on explicitera cette condition en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle $[$relation $(2)]$ ;

Modèle:Alrésoudre littéralement et numériquement le système d'équations linéaires $\{(1);(2)\}$ aux deux inconnues $[V_1({\lambda }_{0,D});V_2({\lambda }_{0,D})]$ puis

Modèle:Alpréciser la nature « convergente ou divergente » de l'achromat mince obtenu et enfin

Modèle:Alen déduire littéralement et numériquement :
Modèle:AlModèle:Transparentles distances focales image de chaque lentille pour la radiation jaune,
Modèle:AlModèle:Transparentles rayons de courbure non algébrisés d'entrée de la lentille plan convexe et de sortie de la lentille plan concave.

Doublet de lentilles sphériques minces non accolées, formule de Gullstrand et condition d'achromatisme du doublet

Modèle:AlOn considère un doublet de lentilles sphériques minces non accolées constitué

• d'une 1^ère lentille sphérique mince convergente ${ℒ}_1$, de centre optique $O_1$, d'axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ et de vergence $V_1>0$ puis
• d'une 2^ème lentille sphérique mince divergente ou convergente ${ℒ}_2$, de centre optique $O_2$, de même axe optique principal $\mathrm{\Delta }$ et de vergence $V_2>\text{ou}<0$,
  Modèle:Transparentséparée de la précédente ${ℒ}_1$ de la distance $e=O_1{O}_2$ ;

Modèle:Alon se propose dans un 1^er temps de déterminer les caractéristiques du doublet en fonction des vergences de chaque lentille ainsi que de la distance les séparant, c'est-à-dire
Modèle:AlModèle:Transparentde préciser à quelle condition le doublet est focal et, dans cette hypothèse, de positionner les foyers principaux objet et image de ce doublet, puis

Modèle:AlModèle:Transparentdans un 2^ème temps de déterminer la valeur absolue de la distance focale image du doublet par applicabilité des deux relations de conjugaison approchée de Newton au doublet,
Modèle:AlModèle:Transparentenfin, en admettant $\succ$le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément convergentes si «$e<f_{i,1}+f_{i,2}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentdivergent du doublet de lentilles sphériques minces simultanément convergentes ou
Modèle:AlModèle:Transparent simultanément divergentes Modèle:Alsi «$e>f_{i,1}+f_{i,2}$» ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$le caractère convergent du doublet de lentilles sphériques minces de natures différentes si «$e>f_{i,1}+f_{i,2}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentdivergent du doublet de lentilles sphériques minces de natures différentes si «$e<f_{i,1}+f_{i,2}$»,
Modèle:AlModèle:Transparentpour en déduire la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet, et enfin

Modèle:AlModèle:Transparentdans un 3^ème temps de déterminer l'écartement $e$ pour un doublet achromatique avec ${ℒ}_1$ en verre « crown » de constringence ${\nu }_{D,1}=56$Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparentde vergence pour la radiation jaune $V_{D,1}=6,25\delta$Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparent${ℒ}_2$ en verre « flint » de constringence ${\nu }_{D,2}=40$Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparentde vergence pour la radiation jaune $V_{D,2}=-12,5\delta$Modèle:, ou,
Modèle:AlModèle:Transparentavec ${ℒ}_1$ de vergence pour la radiation jaune $V_{D,1}=6,25\delta$Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparent${ℒ}_2$ de vergence pour la radiation jaune $V_{D,2}=12,5\delta$Modèle:,,
Modèle:AlModèle:Transparenttoutes deux en verre « flint » de constringence ${\nu }_D=40$Modèle:,.

Condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit focal et détermination des positions des foyers principaux objet et image

Modèle:AlPréciser à quelle condition liant les distances focales image des deux lentilles à la distance les séparant, le doublet de lentilles sphériques minces est focal puis

Modèle:Alpositionner algébriquement les foyers principaux objet $F_o$ et image $F_i$ du doublet.

Établissement de la formule de Gullstrand déterminant la vergence du doublet de lentilles sphériques minces non accolées dans le cas où il est focal

Modèle:AlEn supposant applicables au doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées les relations de conjugaison $($approchée$)$ de position et de grandissement transverse de NewtonModèle:,,
Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer, en choisissant un couple de points conjugués par le doublet,
Modèle:AlModèle:Transparentla valeur absolue de la distance focale image $|f_i|$ de ce dernier puis
Modèle:AlModèle:Transparentla valeur absolue de sa vergence $|V|=\frac{1}{|f_i|}$ et enfin

Modèle:Alen admettant le caractère convergent du doublet focal de lentilles sphériques minces non accolées si «$e\left\{\begin{array}{c}<f_{i,1}+f_{i,2}\text{ avec }{f}_{i,1}{f}_{i,2}>0\\ >f_{i,1}+f_{i,2}\text{ avec }{f}_{i,1}{f}_{i,2}<0\end{array}\right\}$» et
Modèle:AlModèle:Transparentdivergent Modèle:AlModèle:Transparentsi «$e\left\{\begin{array}{c}>f_{i,1}+f_{i,2}\text{ avec }{f}_{i,1}{f}_{i,2}>0\\ <f_{i,1}+f_{i,2}\text{ avec }{f}_{i,1}{f}_{i,2}<0\end{array}\right\}$»,
Modèle:Alétablir la formule de Gullstrand précisant la vergence du doublet $V=\frac{1}{f_i}$ en fonction de $e$, $f_{i,1}$ et $f_{i,2}$.

Condition sur la distance séparant les deux lentilles sphériques minces du doublet focal de ces dernières non accolées pour que le doublet soit achromatique

Modèle:AlAdmettant la disparition des aberrations chromatiques du doublet de lentilles sphériques minces non accolées
Modèle:AlModèle:Transparentsi sa vergence $V=\frac{1}{f_i}$ est indépendant de la longueur d'onde dans le vide de la lumière le traversant,
Modèle:AlModèle:Transparentavec « la vergence d'une lentille sphérique mince d'indice $n({\lambda }_0)$ s'écrivant $[1-n({\lambda }_0)](\frac{1}{{\bar{R}}_s}-\frac{1}{{\bar{R}}_e})$»Modèle:,,
Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer la condition pour que le doublet de lentilles sphériques minces non accolées soit achromatique
Modèle:AlModèle:Transparenten écrivant que la dérivée de sa vergence par rapport à la longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0$ est nulle pour ${\lambda }_0={\lambda }_{0,D}$ $[$on rappelle la relation de Cauchy gérant la variation de l'indice d'un milieu «$n=a+\frac{b}{{\lambda }_0^2}$» avec $a$ et $b$ constantes caractéristiques du milieu et la définition de la constringence d'un milieu «${\nu }_D=$ $\frac{n_D-1}{n_F-n_C}$», laquelle, associée à la formule de Cauchy, permet de déterminer la valeur de la constante $b$ de la relation de Cauchy, en fonction de la constringence ${\nu }_D$, de l'indice $n_D$ pour la radiation jaune et des longueurs d'onde de référence, «$b=$ $\frac{n_D-1}{{\nu }_D(\frac{1}{{\lambda }_{0,F}^2}-\frac{1}{{\lambda }_{0,C}^2})}$»$]$ $\{$on explicitera cette condition d'abord en fonction de la vergence pour la radiation jaune et de la constringence de chaque lentille individuelle, puis en fonction des distances focales image pour la radiation jaune et de la constringence des mêmes lentilles$\}$.

Modèle:AlÉtudier chaque cas proposé ci-après : $\succ$lentille sphérique mince ${ℒ}_1$ en verre « crown » de constringence ${\nu }_{D,1}=56$Modèle:, et de vergence pour la radiation jaune $V_{D,1}=6,25\delta$Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparent${ℒ}_2$ en verre « flint » de constringence ${\nu }_{D,2}=40$Modèle:, et de vergence pour la radiation jaune $V_{D,2}=-12,5\delta$Modèle:,,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$lentille sphérique mince ${ℒ}_1$ de vergence pour la radiation jaune $V_{D,1}=6,25\delta$Modèle:, et
Modèle:AlModèle:Transparent${ℒ}_2$ de vergence pour la radiation jaune $V_{D,2}=12,5\delta$Modèle:,,
Modèle:AlModèle:Transparenttoutes deux en verre « flint » de constringence ${\nu }_D=40$Modèle:,.

Étude d'un triplet de lentilles sphériques minces convergentes

Modèle:AlOn considère le système constitué de trois lentilles sphériques minces convergentes «${ℒ}_1$, ${ℒ}_2$ et ${ℒ}_3$», de distances focales $($image$)$ respectives «$f_{1,i}=3a$, $f_{2,i}=x$ et $f_{3,i}=a$»
Modèle:AlModèle:Transparenttelles que «$O_1{O}_2=3a$ et $O_2{O}_3=a$»,
Modèle:AlModèle:Transparentles trois lentilles sphériques minces ayant même axe optique principal.

Détermination de la distance focale image f_{i, 2} de la 2^ème lentille pour que le centre optique O₂ de cette dernière soit un point double du triplet

Modèle:AlDéterminer la distance focale image «$x=f_{i,2}$» de la 2^ème lentille sphérique mince ${ℒ}_2$ pour que le centre optique $O_2$ de cette dernière soit son propre conjugué par le triplet.

Détermination des caractéristiques du système optique équivalent

Modèle:AlOn se propose de déterminer les caractéristiques du système optique équivalent au triplet de lentilles sphériques minces coaxiales «${ℒ}_1$, ${ℒ}_2$ et ${ℒ}_3$»,
Modèle:AlModèle:Transparentle centre optique $O_2$ de la 2^ème lentille ${ℒ}_2$ étant un point double du triplet.

Point conjugué, par le triplet, du point objet situé à l'infini sur l'axe optique principal

Modèle:AlDéterminer le point conjugué, par le triplet, du point à l'infini sur l'axe optique principal ; comment peut-on alors qualifier le système ?

Construction de l'image A_iB_i donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse A_oB_o et grandissement transverse du triplet associé à cet objet

Modèle:AlFaire la construction de l'image $A_i{B}_i$ donnée par le triplet, d'un objet linéique transverse $A_o{B}_o$, $A_o$ étant sur l'axe optique principal ;

Modèle:Alen déduire que « le grandissement transverse $G_t(A_o)$ du triplet associé à cet objet est indépendant de la position de ce dernier » et

Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer sa valeur «$G_t$».

Construction de l'émergent d'un rayon incident passant par A_o et grandissement angulaire du triplet associé au pinceau incident situé entre ce rayon incident et l'axe optique principal

Modèle:AlFaire la construction de l'émergent, par le triplet, d'un rayon incident passant par un point objet $A_o$ de l'axe optique principal et légèrement incliné par rapport à ce dernier $\{$la lumière localisée entre ce rayon incident et l'axe optique principal définissant un « pinceau incident issu de $A_o$»$\}$ ;

Modèle:Alen admettant l'applicabilité de la relation de Lagrange - HelmholtzModèle:, d'un système dioptrique dans l'air,
Modèle:AlModèle:Transparentdéduire que « le grandissement angulaire $G_a(A_o)$ du triplet associé au pinceau incident de sommet $A_o$ est le même $\mathrm{\forall }{A}_o$» et
Modèle:AlModèle:Transparentdéterminer la valeur $G_a$ de ce dernier.