Série numérique/Introduction

Exemple : série géométrique

La somme

$S_n$

des

$n+1$

premiers termes d'une suite géométrique

$u_n=q^n$

de premier terme

$u_0=1$

et de raison

$q\ne 1$

est :

$S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

• Si $|q|<1$ alors $q^{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. La suite $(S_n)$ admet une limite finie :

  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{1}{1-q}$.

  La série de terme général $q^n$ converge et l'on écrit :

  $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k=\frac{1}{1-q}$

• Si $|q|>1$ alors $|q^{n+1}|$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $n$ tend vers l'infini donc $|S_n|$ aussi. Donc la suite $(S_n)$ n'admet pas de limite finie (si $q>1$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=+\mathrm{\infty }$ ; si $q<-1$, $(S_n)$ n'a aucune limite, finie ou infinie).

  La série de terme général $q^n$ diverge.

• Si $q=-1$, $S_n$ vaut alternativement 1 et 0 donc n'a pas de limite.

  La série $\mathrm{\Sigma }(-1{)}^n$ est donc divergente.

Condition nécessaire de convergence

Modèle:Théorème En effet, si la série $\sum u_n$ est convergente, alors la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $0$ puisque $\mathrm{\forall }n\ge 1,u_n=S_n-S_{n-1}$.

Lorsque le terme général d’une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite « trivialement » ou « grossièrement » divergente.