Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage

Exercice 1

Soit $\gamma$ un réel strictement positif. Pour tout entier $n\ge 1$, on pose $x_n=\frac{1}{n^{\gamma }}-\frac{1}{(n+1{)}^{\gamma }}$.

1. Calculer $\sum _{n\ge 1}{x}_n$.
2. Donner un équivalent de la suite $(x_n)$.
3. En déduire que pour tout réel $\alpha >1$, la série de Riemann $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^{\alpha }}$ converge.

Exercice 2

Pour tout entier $n\ge 2$, on pose $y_n=\ln \ln (n+1)-\ln \ln n$.

1. Montrer que $\sum _{n\ge 2}{y}_n$ diverge.
2. À l'aide du théorème des accroissements finis, démontrer que $y_n\le \frac{1}{n\ln n}$.
3. En déduire que la série $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n\ln n}$ diverge.
4. En déduire que la série de Bertrand $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }n}$ ($\alpha ,\beta \in ℝ$) diverge si $\alpha =1$ et $\beta \le 1$, ou si $\alpha <1$.

Exercice 3

Soit $\gamma$ un réel strictement positif. Pour tout entier $n\ge 2$, on pose $z_n=\frac{1}{{\ln }^{\gamma }n}-\frac{1}{{\ln }^{\gamma }(n+1)}$.

1. Calculer $\sum _{n\ge 2}{z}_n$.
2. À l'aide du théorème des accroissements finis, démontrer que $z_n\ge \frac{\gamma }{(n+1){\ln }^{\gamma +1}(n+1)}$.
3. En déduire que pour tout $\beta >1$, la série $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n{\ln }^{\beta }n}$ converge.
4. En déduire que la série de Bertrand $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }n}$ converge aussi si $\alpha >1$ (avec $\beta$ quelconque, ce qui étend le cas $\beta =0$ de l'exercice 1).
5. Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant l'exercice 1.

Remarque

L'étude des séries de Riemann et de Bertrand peut aussi se faire [[../Comparaison série-intégrale#Exercice 2|par comparaison série-intégrale]].

Exercice 4

On veut affiner l'[[../../Théorème de Stolz-Cesàro#Exemples|équivalent ln(n!) ~ n ln(n)]]. Pour tout entier $n\ge 1$, on pose

$u_n=\frac{n^{n+\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-n}}{n!}$ et $v_n=\ln \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$.

1. Montrer que la suite $(v_n{)}_{n\ge 1}$ est bien définie et que $v_n=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$.
2. Montrer que $\sum v_n$ converge et, par télescopage, en déduire que la suite $(\ln u_n)$ converge.
3. En déduire l'équivalent de De Moivre :

   $\mathrm{\exists }C>0n!\sim C\sqrt{n}{n}^n{\mathrm{e}}^{-n}$.

(En fait, $C=\sqrt{2\pi }$ : voir Intégration de Riemann/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling).

Exercice 5

Calculer $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$, où $u_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(1-\sqrt{x})}^n\mathrm{d}x$. Modèle:Solution

Exercice 6

On se propose, pour

$u_{n,k}:=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n^2-k^2}& \text{si }n\ne k\\ 0& \text{si }n=k.\end{array}$,

de démontrer que

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_{n,k}\right)\ne \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_{n,k}\right)$.

1. Pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{*}$, décomposer la fraction rationnelle $\frac{1}{X^2-k^2}$ en éléments simples.
2. En déduire, par double télescopage, la valeur de $\sum _{n\in {\mathbb{N}}^{*}}{u}_{n,k}$ en fonction de $k$.
3. En déduire que $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{n\in {\mathbb{N}}^{*}}{u}_{n,k}\right)\ne 0$.
4. Conclure.

Exercice 7

Soit $y_n=z_n-z_{n+1}$.

1. Calculer $S_n:=\sum _{k=0}^n{y}_k$.
2. En déduire que la suite $(z_n)$ converge si et seulement si la série $\sum y_n$ converge.
3. Étudier la série $\sum _{n\ge 2}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n-1]{a}-2\sqrt[n]{a})$, pour un réel $a>0$.
4. Étudier la série $\sum _{n\ge 0}{y}_n$, pour $y_0,u,v\ge 0$ et $y_{n+1}=\frac{un+v}{un+u+v+1}{y}_n$.