Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'ordre

Exercice 2-1

Pour la définition des (bornes) sup(érieure)s, (re)voir : Introduction aux mathématiques/Relations binaires#Relations d'ordre.

Soient $a,b,c$ trois éléments d'un ensemble ordonné. On suppose que $\sup (a,\sup (b,c))$ et $\sup (a,b)$ existent. Montrer que $\sup (\sup (a,b),c)$ existe et qu'il est égal à $\sup (a,\sup (b,c))$. Modèle:Solution

Soit $A$ une partie non vide et bornée de $ℝ$. Déterminer, en fonction de $\inf A$ et $\sup A$ :

• $\sup \lambda A$ et $\inf \lambda A$, où $\lambda A=\{\lambda x\mid x\in A\}$ (pour $\lambda \in ℝ$) ;
• $\sup |A|$, où $|A|=\{|x|\mid x\in A\}$.

Montrer que $\inf |A|$ ne dépend pas seulement de $\inf A$ et $\sup A$. Modèle:Solution

Soient $f,g:ℝ\to ℝ$ deux fonctions majorées.

1. Établir $\sup (f+g)\le \sup f+\sup g$ et donner un exemple ou l'inégalité est stricte.
2. En déduire $\sup (f-g)\ge \sup f-\sup g$ et un exemple ou l'inégalité est stricte.

Déterminer, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des parties suivantes, en précisant de plus si elles appartiennent à la partie considérée.

• $A_1=\{\frac{2n^2+3n-2}{n^2+n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{*}\}$
• $A_2=\{1+\frac{1}{n+1}|n\in \mathbb{N}\}$
• $A_3=\{\frac{1}{n}+\sin \frac{2n\pi }{3}|n\in {\mathbb{N}}^{*}\}$
• $A_4=\{\frac{\lfloor 10^n\sqrt{2}\rfloor }{10^n}|n\in \mathbb{N}\}$, où $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière de $x$
• $A_5=\{x\in ℝ\mid \mathrm{\exists }a\in ]0,1[\mathrm{\forall }y\in ]2,3[a<x<y\}$
• $A_6=\{\sum _{k=1}^n\cos \frac{2k\pi }{2n+1}|n\in \mathbb{N}\}$
• $A_7=\{(-1{)}^n+\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{*}\}$
• $A_8=\{2^{(-1{)}^{n}n}|n\in \mathbb{N}\}$.

Modèle:Solution Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $ℝ$. Montrer que les deux assertions qui suivent sont équivalentes :

• $\sup A=\inf B$ ;
• $(\mathrm{\forall }a\in A\mathrm{\forall }b\in Ba\le b)\text{ et }(\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }a\in A\mathrm{\exists }b\in Bb-a\le \epsilon )$.

Exercice 2-2

1. Il est connu que l'ensemble $ℝ$ des réels possède la propriété de la borne supérieure. Qu'est-ce que cela signifie ?
2. Le sous-ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels possède-t-il aussi cette propriété ?
3. Est-il vrai que tout ensemble bien ordonné possède cette propriété ?

Exercice 2-3

Modèle:Wikipédia On définit sur ${ℝ}^2$ la relation $⪯$ par : $(x,y)⪯(x^{\prime },y^{\prime })⟺x\le x^{\prime }\text{ et }y\le y^{\prime }$.

1. Montrer que c'est une relation d'ordre.
2. Pour cet ordre, le disque $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$ admet-il des majorants ? des éléments maximaux ? un plus grand élément ? une borne supérieure ?
3. Mêmes questions pour le carré $C=[-1,1{]}^2$.

Exercice 2-4

1. • Dans $(ℝ,\le )$, on considère l'ensemble $S$ formé par les termes de la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ définie par $u_n=1+\frac{(-1{)}^n}{n}$. $S$ admet-il une borne supérieure ? un plus grand élément ? une borne inférieure ? un plus petit élément ?
   • Même question avec la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définie par $u_n=\frac{2n+3}{n+2}$.
2. On considère l'ensemble ordonné $(\mathbb{N},\mid )$.
   • Existe-t-il des éléments maximaux dans $\mathbb{N}$ (si oui, lesquels ?) Existe-t-il des éléments minimaux dans $\mathbb{N}$ (si oui, lesquels ?)
   • L'ensemble $S=\{2,4,6,7,15\}\subset \mathbb{N}$ admet-il des majorants ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? des éléments maximaux ? des minorants ? une borne inférieure ? un plus petit élément ? des éléments minimaux ?
3. Soit $X$ un ensemble. On considère l'ensemble ordonné $(𝒫(X),\subset )$. Dans chacun des deux cas qui suivent, le sous-ensemble $S$ de $𝒫(X)$ admet-il des majorants ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? des éléments maximaux ? des minorants ? une borne inférieure ? un plus petit élément ? des éléments minimaux ?
   • $S=\{\{1,2,3\},\{3,4\},\{6\},\{1,4,6\},\{1,6,8\},\{2,4,6\}\}$ avec $X=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$.
   • $S=𝒫(X)\setminus \{\varnothing ,X\}$ avec $X=\{1,2,3,4\}$.

Exercice 2-5

On considère l'ensemble ordonné $(𝒫(\mathbb{N}),\subset )$.

1. L'ensemble $S$ des parties finies de $\mathbb{N}$ a-t-il des éléments minimaux ? un plus petit élément ? des éléments maximaux ? un plus grand élément ? (et si oui, lesquels ?)
2. Mêmes questions pour l'ensemble $T$ des parties de $\mathbb{N}$ cofinies, c'est-à-dire de complémentaire fini.

Exercice 2-6

Soit $E$ un ensemble. On considère l'ensemble ordonné $(𝒫(E),\subset )$.

1. Montrer que tout sous-ensemble $𝒢\subset 𝒫(E)$ admet dans $𝒫(E)$ une borne inférieure $\inf (𝒢)$.
2. On fixe désormais un ensemble $ℱ$ de parties de $E$ et pour chaque $P\subset E$, on pose

   ${𝒢}_P=\{A\in ℱ\mid P\subset A\}$, puis $\hat{P}=\inf ({𝒢}_P)$.

   Montrer que $P\subset \hat{P}$.

3. Montrer que si $P\in ℱ$ alors $\hat{P}=P$. La réciproque est-elle vraie ?
4. Pour toute partie $P$ de $E$, montrer que $\mathrm{\forall }A\in ℱ\hat{P}\subset A\iff P\subset A$, et en déduire que $\hat{\hat{P}}=\hat{P}$.

Exercice 2-7

Modèle:Wikipédia On considère la relation $⪯$ sur $C=[0,1{]}^2$ définie par : $(x,y)⪯(x^{\prime },y^{\prime })⟺x<x^{\prime }\text{ ou }(x=x^{\prime }\text{ et }y\le y^{\prime })$.

1. Montrer que c'est une relation d'ordre.
2. L'ensemble $C$ admet-il des éléments maximaux ? des éléments minimaux ?
3. Est-ce que toute partie non vide de $C$ admet un plus grand élément ?

Exercice 2-8

Soit $E$ un espace vectoriel (de dimension non nécessairement finie). On considère l'ensemble $ℒ$ des parties libres de $E$, ordonné par l'inclusion.

1. Démontrer formellement que $\varnothing \in ℒ$.
2. $(ℒ,\subset )$ a-t-il des éléments minimaux ? un élément minimum ?
3. $(ℒ,\subset )$ a-t-il des éléments maximaux ? un élément maximum ?

Exercice 2-9

Modèle:Wikipédia On considère les parties d'un ensemble ordonné $(E,\le )$.

1. Montrer que la partie $E$ a une borne supérieure si et seulement si $E$ a un maximum.
2. Montrer que la partie $\varnothing$ a une borne supérieure si et seulement si $E$ a un minimum.
3. On dit que $(E,\le )$ est un treillis complet si dans $E$, toute partie a une borne supérieure. Montrer que le segment réel $[0,1]$ (muni de l'ordre usuel) est un treillis complet.
4. Soit $(E,\le )$ un treillis complet. Démontrer que chaque partie $A$ de $E$ admet aussi une borne inférieure. (Une piste : en notant $B$ l'ensemble des minorants de $A$ et $\beta$ la borne supérieure de $B$, montrer que tout élément de $A$ est supérieur ou égal à $\beta$.)

Exercice 2-10

Soit $ℛ$ une relation binaire sur un ensemble $E$. On définit, sur l'ensemble $E^{\mathbb{N}}$ des suites $u=(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ à valeurs dans $E$, une relation $𝒮$ par :

$u𝒮v⟺\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\ge p{u}_nℛv_n$.

1. Montrer que si $ℛ$ est transitive alors $𝒮$ est transitive.
2. Démontrer la réciproque.

Exercice 2-11

Dans l'ensemble ordonné $(\mathbb{N},\mid )$ ($x\mid y\iff x$ divise $y$), l'ensemble $A=\{1,2,3,4\}$ a-t-il :

1. des éléments maximaux ?
2. un élément maximum ?
3. une borne supérieure ?

Modèle:Solution Dans l'ensemble ordonné $({\mathbb{N}}^{*},\mid )$, montrer que toute paire admet une borne inférieure et une borne supérieure et les reconnaître. Modèle:Solution

Exercice 2-12

Soit $ℛ$ la relation sur $\mathbb{Z}$ définie par :

$xℛy⟺[x=y\text{ ou }(x\text{ est impair et }x<y)]$.

1. Montrer que $ℛ$ est une relation d'ordre.
2. Le sous-ensemble $S:=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ a-t-il, pour cet ordre :
   1. un plus petit élément ?
   2. des éléments minimaux ?
   3. une borne inférieure ?
   4. des éléments maximaux ?
   5. une borne supérieure ?
   6. un plus grand élément ?

Dans chaque cas, préciser le(s)quel(s), en justifiant. Modèle:Solution

Exercice 2-13

Soient $(E,\le )$ un ensemble ordonné et $a$ un élément de $E$.

1. Rappeler les définitions formelles de « $a$ est minimum » et « $a$ est minimal ».
2. Montrer que si $a$ est minimum alors $a$ est l'unique minimal (donc l'unique minimum).
3. Montrer que si l'ordre est total et si $a$ est minimal, alors il est minimum.
4. Montrer (par deux exemples) que $E$ peut avoir plusieurs éléments minimaux, ou aucun.
5. Montrer (par un exemple) que $E$ peut avoir un unique minimal et aucun minimum.

Exercice 2-14

Soit $(E,\le )$ un ensemble ordonné. On appelle antichaîne de $E$ toute partie de $E$ dont les éléments sont 2 à 2 incomparables, c'est-à-dire tout ensemble $A\subset E$ tel que $\mathrm{\forall }(x,y)\in A^2(x\le y\Rightarrow x=y)$. On note $F$ l'ensemble des antichaînes de $E$.

1. Dans le cas particulier où $\le$ est total, décrire $F$.
2. Dans le cas particulier où $(E,\le )$ est $(𝒫(X),\subset )$ (où $X$ est un ensemble fixé et $𝒫(X)$ désigne l'ensemble de ses parties), soit $A_k$ l'ensemble des parties de $X$ à $k$ éléments.
   Montrer que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{A}_k\in F$.
3. On revient au cas général et l'on munit $F$ de la relation $ℛ$ définie par :
   pour toutes antichaînes $A$ et $B$, $AℛB\iff \mathrm{\forall }x\in A\mathrm{\exists }y\in Bx\le y$.
   Démontrer que $ℛ$ est une relation d'ordre sur $F$.

Exercice 2-15

Soient $(E,\le )$ un Modèle:W et $f:E\to E$ une application strictement croissante. Démontrer par induction que

$\mathrm{\forall }x\in Ef(x)\ge x$.

Exercice 2-16

Soient $(E,\le )$ et $(F,⩽)$ deux ensembles ordonnés, $f:E\to F$ une application croissante et $A$ une partie de $E$.

1. Montrer que si $\max (A)$ existe alors $\max (f(A))$ existe et est égal à $f(\max (A))$.
2. Donner un exemple montrant que la propriété devient fausse si l'on remplace $\max$ par $\sup$.

Exercice 2-17

Soient $(E,\le )$ et $(F,⩽)$ deux ensembles ordonnés et $f:E\to F$ une application croissante.

1. Montrer que si $f$ est injective alors elle est strictement croissante
2. Montrer (par un contre-exemple) que la réciproque est fausse.
3. Montrer que cette réciproque devient vraie si l'on suppose que l'ordre sur $E$ est total.

Exercice 2-18

Modèle:Wikipédia Soit $E$ un ensemble totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure.

On suppose en outre que $E$ a au moins deux éléments, et que l'ordre est dense c'est-à-dire

$\mathrm{\forall }x,y\in E(x<y\Rightarrow \mathrm{\exists }z\in Ex<z<y)$.

Montrer que $E$ a au moins la puissance du continu. Modèle:Solution

Exercice 2-19

Soient $A$ un sous-ensemble borné non vide de $ℝ$ et $f:ℝ\to ℝ$ une application croissante.

Prouver les inégalités $f(\inf A)\le \inf f(A)\le \sup f(A)\le f(\sup A)$.

A-t-on des informations supplémentaires si $f$ est continue ?

Montrer que $\underset{x\in A}{\sup }(x^2)={(\underset{x\in A}{\sup }|x|)}^2$ et que cette quantité n'est pas nécessairement égale à $(\sup (A){)}^2$. Modèle:Solution