Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'équivalence

Exercice 1-1

Soit $f:A\to A$ une injection. On définit sur $A$ la relation $ℛ$ par (pour tous $x,y\in A$) :

$xℛy⟺\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}y=f^n(x)\text{ ou }x=f^n(y)$.

(Pour la notation $f^n$, voir Puissances itérées d'une fonction.)

1°   Montrer que (pour tous $x,y\in A$)

$xℛy⟺\mathrm{\exists }p,q\in \mathbb{N}{f}^p(x)=f^q(y)$.

2°   Montrer que $ℛ$ est une relation d'équivalence sur $A$.

3°  Soit $C$ une classe d'équivalence pour $ℛ$.

a)  Montrer que $f(C)=C\cap \mathrm{Im}(f)$.

b)  Montrer que si $a\in C\setminus f(C)$ alors $C=\{f^n(a)\mid n\in \mathbb{N}\}$ et $C\setminus f(C)=\{a\}$.

4°  Montrer que toute partie $X\subset A$ telle que $f(X)=X$ est une réunion de classes d'équivalence.

5°  Soit $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ définie par : $f(n)=\{\begin{array}{ccc}n+2& \text{si }& n<0\\ n+4& \text{si }& n\ge 0.\end{array}$

a)  Montrer que $f$ est injective.

b)  Déterminer $\mathrm{Im}(f)$.

c)  Décrire les classes d'équivalence de la relation $ℛ$ associée à $f$.

Exercice 1-2

Les relations $(X,\mathrm{\Gamma })$ suivantes sont-elles des relations d'équivalence ? Si oui, décrire les classes d'équivalence et l'ensemble quotient.

1. $X=\mathbb{Z}$, $\mathrm{\Gamma }=\{(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2\mid x+y\in 2\mathbb{Z}\}$.
2. $X=ℝ$, $\mathrm{\Gamma }=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid \cos (2x)=\cos (2y)\}$.
3. $X=ℝ$, $\mathrm{\Gamma }=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2-y^2=x-y\}$.
4. $X=\mathbb{Z}$, $\mathrm{\Gamma }=\{(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2\mid x^2-y^2\in 3\mathbb{Z}\}$.
5. $X={\mathbb{Z}}^2$, $\mathrm{\Gamma }=\{((x,y),(x^{\prime },y^{\prime }))\in X^2\mid (x+x^{\prime },y^2-y{\text{'}}^2)\in (2\mathbb{Z})\times (3\mathbb{Z})\}$.
6. $X={ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$, $\mathrm{\Gamma }=\{(u,v)\in X^2\mid \mathrm{\exists }\lambda \in ℝv=\lambda u\}$.

Exercice 1-3

Soient $(E,ℛ)$ un ensemble muni d'une relation d'équivalence et $f:F\to E$ une application.

Montrer élégamment (au lieu de vérifier séparément les trois propriétés usuelles) que la relation $𝒮$ sur $F$ définie par

$x𝒮y⟺f(x)ℛf(y)$

est une relation d'équivalence. Modèle:Solution

Exercice 1-4

1. Montrer que sur $X=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, la relation $ℛ$ définie par $(m,n)ℛ(m^{\prime },n^{\prime })⟺m+n^{\prime }=n+m^{\prime }$ est une relation d'équivalence.
2. Montrer que sur $X/ℛ$, les deux opérations suivantes sont bien définies :
   $\overline{(m,n)}+\overline{(s,t)}=\overline{(m+s,n+t)}$ et $\overline{(m,n)}\cdot \overline{(s,t)}=\overline{(ms+nt,ns+mt)}$.
3. Quel est l'intérêt de cette construction ?

Exercice 1-5

Modèle:Wikipédia Pour un ensemble infini $E$ fixé, notons

$\mathrm{cofin}(E)=\{C\in 𝒫(E)\mid \bar{C}\text{ est fini}\}$

où $\bar{C}$ désigne le complémentaire de $C$ dans $E$, et définissons sur $𝒫(E)$ la relation $ℛ$ suivante :

$AℛB⟺\mathrm{\exists }C\in \mathrm{cofin}(E)A\cap C=B\cap C$.

1. Montrer que $\mathrm{cofin}(E)$ est non vide et stable par intersection (c'est-à-dire $\mathrm{\forall }C,D\in \mathrm{cofin}(E)C\cap D\in \mathrm{cofin}(E)$).
2. Montrer que $ℛ$ est une relation d'équivalence.
3. Montrer que pour tous $A,B\subset E$, $AℛB$ si et seulement si la différence symétrique $A\mathrm{\Delta }B$ est finie.
4. Donner un exemple de deux parties de $E$ qui ne sont pas en relation par $ℛ$.

Exercice 1-6

Soient $E$ un ensemble et $A$ une partie fixée de $E$. On définit une relation $ℛ$ sur $𝒫(E)$ par :

$XℛY⟺X\cup A=Y\cup A$.

1. Justifier que $ℛ$ est une relation d'équivalence.
2. Trouver un sous-ensemble $B$ de $E$ tel que l'application $𝒫(B)\to 𝒫(E)/ℛ,X\mapsto \mathrm{cl}(X)$ soit bijective.

Exercice 1-7

On note ${𝔽}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1},-\bar{1}\}$ l'ensemble des classes de congruence modulo $3$, muni des opérations $+$ et $\times$ (déduites, par passage au quotient, des opérations usuelles sur $\mathbb{Z}$, donc héritant des bonnes propriétés de ces opérations usuelles — associativité, commutativité, neutres, distributivité — qui font de ${𝔽}_3$ ce qu'on appelle un anneau commutatif unitaire).

1. Dresser les tables de ces deux opérations sur ${𝔽}_3$.
2. Soit $A={𝔽}_3[X]$ l'anneau des polynômes à coefficients dans ${𝔽}_3$ et $B\subset A$ le sous-ensemble des polynômes de degré strictement inférieur à $2$ (y compris le polynôme $\bar{0}$, qui par convention est de degré Modèle:Nobr
   Dresser la liste des éléments de $B$.
3. En notant $q(P)$ et $r(P)$ (pour tout $P\in A$) le quotient et le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^2+\bar{1}$ dans $A$, caractérisés par
   $q(P)\in A,r(P)\in B\text{et}P=(X^2+\bar{1})q(P)+r(P)$,
   on définit sur $A$ une relation d'équivalence $ℛ$ par :
   $PℛQ\iff r(P)=r(Q)$.
   On note $\mathrm{cl}(P)$ la $ℛ$-classe d'un élément $P\in A$.
   Montrer que l'application
   $\bar{r}:A/ℛ\to B,\mathrm{cl}(P)\mapsto r(P)$
   est bien définie et bijective.
4. Montrer que $PℛQ$ si et seulement si $X^2+\bar{1}\mid P-Q$ (c'est-à-dire si $P-Q$ est le produit de $X^2+\bar{1}$ par un polynôme de $A$).
5. Montrer qu'il existe une unique application $\oplus :A/ℛ\times A/ℛ\to A/ℛ$ et une unique application $\otimes :A/ℛ\times A/ℛ\to A/ℛ$ telles que
   $\mathrm{\forall }P,Q\in A\mathrm{cl}(P)\oplus \mathrm{cl}(Q)=\mathrm{cl}(P+Q)\text{ et }\mathrm{cl}(P)\otimes \mathrm{cl}(Q)=\mathrm{cl}(P\times Q)$.
6. Calculer $r(-X^2)$ et $r((X+\bar{1})(X-\bar{1}))$, puis montrer que
   $\mathrm{\forall }P\in B\setminus \{\bar{0}\}\mathrm{\exists }Q\in Br(P\times Q)=\bar{1}$.
   Comment cette propriété se traduit-elle sur les éléments de l'anneau $A/ℛ$ ?

Exercice 1-8

Soit $ℛ$ la relation binaire sur $ℝ$ définie par :

$xℛy⟺x^2-y^2=x-y$.

1. Montrer que $ℛ$ est une relation d'équivalence.
2. Décrire ses classes d'équivalence, et l'ensemble quotient $ℝ/ℛ$.
3. Donner un exemple de partie $X$ de $ℝ$ contenant exactement un élément de chaque classe.

Modèle:Solution Soit $ℛ$ la relation binaire sur $ℝ$ définie par :

$xℛy⟺x^3-y^3=3(x-y)$.

1. Montrer que $ℛ$ est une relation d'équivalence.
2. Montrer que chaque $ℛ$-classe a au plus 3 éléments.
3. Pour préciser le résultat précédent, on pose
   $A_k:=\{x\in ℝ\mid \text{la classe de }x\text{ a exactement }k\text{ éléments}\}$.
   Déterminer les ensembles $A_3$, $A_2$, $A_1$ et $A_0$ (il pourra éventuellement être utile de remarquer que $-1ℛ2$).
4. Donner un exemple de partie $X$ de $ℝ$ contenant exactement un élément de chaque classe.
5. Montrer qu'une telle partie $X$ a la puissance du continu.

Modèle:Solution Soit $ℛ$ la relation sur $ℝ$ définie par :

$xℛy⟺x^3-y^3=3(x^2-y^2)$.

1. Montrer que $ℛ$ est une relation d'équivalence.
2. Montrer que les $ℛ$-classes sont finies et pour tout $k\in \mathbb{N}$, déterminer l'ensemble

   $A_k:=\{x\in ℝ\mid \text{la classe de }x\text{ a exactement }k\text{ éléments}\}$.

3. Donner un exemple de partie $X$ de $ℝ$ contenant exactement un élément de chaque classe.

Exercice 1-9

On rappelle que :

• deux matrices carrées $A,B\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)$ sont dites semblables, ce que nous noterons $A𝒮B$, s'il existe une matrice inversible, $P\in {\mathrm{GL}}_2(ℝ)$, telle que $B=P^{-1}AP$ ;
• $𝒮$ est une relation d'équivalence sur ${\mathrm{M}}_2(ℝ)$.

On notera $[A]$ la $𝒮$-classe d'une matrice $A$, et $\det (A)$ son déterminant.

1. Montrer qu'il existe une unique application $\bar{\det }:{\mathrm{M}}_2(ℝ)/𝒮\to ℝ$ telle que
   $\mathrm{\forall }A\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)\stackrel{(}{\det }[A])=\det (A)$.
2. Cette application est-elle surjective ? injective ?

Exercice 1-10

Soient $F$ et $G$ deux ensembles et $E=G^F$ l'ensemble des applications de $F$ dans $G$. On suppose $F$ non vide et l'on fixe un élément $x\in F$.

Pour tout $y\in G$, on note ensuite $A_y:=\{f\in E\mid f(x)=y\}$. Montrer que ces ensembles $A_y$ forment une partition de $E$. Modèle:Solution

Exercice 1-11

On définit, sur l'espace ${ℝ}_4[X]$ des polynômes réels de degré $\le 4$, une relation $ℛ$ par : $AℛB\iff A-B\in {ℝ}_2[X]$. Démontrer que $ℛ$ est une relation d'équivalence et expliciter la classe ${\mathrm{c}\mathrm{l}}_{ℛ}(X^k)$ pour $k=0,1,2,3,4$. Modèle:Solution

Exercice 1-12

1. Démontrer que la relation ${\complement }_{E}A\subset B$ entre sous-ensembles de $E$ est symétrique.
2. De même pour la relation $B\subset {\complement }_{E}A$.

Exercice 1-13

Soient $n_1,\dots ,n_k\in \mathbb{Z}$ et ${ℛ}_i$ la relation de congruence $x\equiv ymod{n}_i$ dans $\mathbb{Z}$. Calculer l'intersection des ${ℛ}_i$. Modèle:Solution

Exercice 1-14

Soient $E$ un espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.

Montrer que tout supplémentaire de $F$ dans $E$ est un ensemble de représentants pour la relation d'équivalence $ℛ$ sur $E$ définie par : $xℛy\iff x-y\in F$. Modèle:Solution

Exercice 1-15

Sur l'ensemble $E^{\mathbb{N}}$, on définit la relation $\sim$ par :

$(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\sim (v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\iff \mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\ge N{u}_n=v_n$.

Démontrer que $\sim$ est une relation d'équivalence. Modèle:Solution

Exercice 1-16

Quels intervalles sont des ensembles de représentants pour la relation de congruence modulo $2\pi$ sur $ℝ$ ? Modèle:Solution