Réduction des endomorphismes/Trigonalisabilité

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $\phi \in \mathrm{L}(E)$.

Définition

Remarque

On obtient une définition équivalente en remplaçant « triangulaire supérieure » par « triangulaire inférieure ». En effet, on vérifie facilement que la matrice de $\phi$ dans une base $(e_1,\dots ,e_n)$ est triangulaire supérieure si et seulement si celle dans $(e_n,\dots ,e_1)$ est triangulaire inférieure. Ou plus savamment (cf. cet exercice du chapitre 7) : toute matrice est semblable à sa transposée.

Exemples

Matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels

Soit $M=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -\frac{3}{4}& -2\end{array}\right)\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)$ ; son polynôme caractéristique est $p_M(X)={(X+\frac{1}{2})}^2$ qui a comme unique racine $-\frac{1}{2}$, qui est donc l'unique valeur propre de $M$.

On peut déjà en déduire que $M$ n'est pas diagonalisable (car $M\ne -\frac{1}{2}{I}_2$) et prévoir que par conséquent, le sous-espace propre $E_{-\frac{1}{2}}$ est de dimension 1.

Le calcul le confirme :

$E_{-\frac{1}{2}}=\{\left(\begin{array}{c}2x\\ -x\end{array}\right)|x\in ℝ\}=\mathrm{Vect}(e{\text{'}}_1)$, avec $e{\text{'}}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$.

On peut alors compléter $e{\text{'}}_1$ avec par exemple le vecteur $e{\text{'}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$, de manière que $B^{\prime }=({e_1}^{\prime },e{\text{'}}_2)$ forme une base de ${ℝ}^2$.

On sait déjà que $Me{\text{'}}_1=\frac{-1}{2}{e_1}^{\prime }$ et l'on trouve facilement $Me{\text{'}}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)=\frac{3}{2}e{\text{'}}_1-\frac{1}{2}e{\text{'}}_2$.

La matrice $M$ dans la base $B^{\prime }$ s'écrit donc

$T=\left(\begin{array}{cc}\frac{-1}{2}& \frac{3}{2}\\ 0& \frac{-1}{2}\end{array}\right)$.

La matrice $P$ telle que $M=PT{P}^{-1}$ n'est autre que la matrice de passage de la base canonique $B=(e_1,e_2)$ à la base $B^{\prime }$. Elle est donc constituée des vecteurs de $B^{\prime }$ exprimés dans la base $B$ :

$P=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$.

De même, pour calculer $P^{-1}$, il suffit d'exprimer les vecteurs de $B$ dans la base $B^{\prime }$. On trouve facilement

$e_1=\frac{1}{2}e{\text{'}}_1+\frac{1}{2}e{\text{'}}_2$ et $e_2=e{\text{'}}_2$ donc

$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)$.

Matrice carrée d'ordre 3 à coefficients complexes

Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{i}& 2& -1\\ 0& \mathrm{i}& 0\\ 0& -1& 2\end{array}\right)\in {\mathrm{M}}_3(ℂ)$ ; son polynôme caractéristique est $p_M(X)={(\mathrm{i}-X)}^2(2-X)$.

Comme dans l'exemple précédent, on a après calculs : $E_{\mathrm{i}}=\mathrm{Vect}(e{\text{'}}_1)$ et $E_2=\mathrm{Vect}(e{\text{'}}_2)$ avec

$e{\text{'}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\in E_{\mathrm{i}}$ et $e{\text{'}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \mathrm{i}-2\end{array}\right)$,

que l’on complète par $e{\text{'}}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ pour former une base $B^{\prime }=(e{\text{'}}_1,e{\text{'}}_2,e{\text{'}}_3)$ de ${ℂ}^3$, et l'on calcule :

$Me{\text{'}}_3=\frac{8-\mathrm{i}}{5}e{\text{'}}_1+\frac{2+\mathrm{i}}{5}e{\text{'}}_2+\mathrm{i}e{\text{'}}_3$.

La matrice $M$ dans $B^{\prime }$ est donc

$T=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{i}& 0& \frac{8-\mathrm{i}}{5}\\ 0& 2& \frac{2+\mathrm{i}}{5}\\ 0& 0& i\end{array}\right)$

et l’on a $M=PT{P}^{-1}$ avec $P$ la matrice de passage de la base canonique $B$ à la base $B^{\prime }$, d'où :

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& \mathrm{i}-2& 0\end{array}\right)$ et $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{2+\mathrm{i}}{5}\\ 0& 0& \frac{-2-\mathrm{i}}{5}\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$.