Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

Exercice 2-1

Référence pour la question 3 : Modèle:Lien web.

Soient $A,B\in {\mathrm{M}}_n(R)$, où $R$ est un anneau commutatif unitaire.

1. Montrer que si $A$ ou $B$ est inversible alors $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique.
2. Dans le cas particulier où $R$ est le corps des réels ou des complexes, étendre ce résultat au cas où ni $A$, ni $B$ n'est inversible.
3. Étendre également ce résultat en supposant seulement que l'anneau $R$ est un corps. Indication (cf. Matrice/Relations entre matrices) : si $\mathrm{rang}(A)=r$ alors $A$ est équivalente à la matrice $A^{\prime }:=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0_{r,n-r}\\ 0_{n-r,r}& 0_{n-r}\end{array}\right)$.

Exercice 2-2

Référence : Modèle:Lien web, qui indique aussi d'autres méthodes.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. On se propose de démontrer que $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique, pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de taille $n$ à coefficients dans un même anneau commutatif unitaire.

1. Soient $\mathrm{R}=\mathbb{Z}[{\mathrm{a}}_{i,j},{\mathrm{b}}_{i,j}]$ l'anneau de polynômes à coefficients entiers en $2n^2$ indéterminées ${\mathrm{a}}_{i,j},{\mathrm{b}}_{i,j},1\le i,j\le n$ et $\mathrm{A}:=({\mathrm{a}}_{i,j}),\mathrm{B}:=({\mathrm{b}}_{i,j})\in {\mathrm{M}}_n(\mathrm{R})$ les matrices dont les coefficients sont ces indéterminées. Montrer que dans $\mathrm{R}[X]$, $\det (\mathrm{A}\mathrm{B}-X{\mathrm{I}}_n)=\det (\mathrm{B}\mathrm{A}-X{\mathrm{I}}_n)$.
2. En déduire le théorème annoncé.

Exercice 2-3

Généralisation du résultat de l'exercice précédent.

Référence : Modèle:Lien web (à une coquille près).

Soient $R$ un anneau commutatif unifère, $A\in {\mathrm{M}}_{m,n}(R)$ et $B\in {\mathrm{M}}_{n,m}(R)$. On considère les matrices par blocs de ${\mathrm{M}}_{m+n}(R[X])$ :

$M=\left(\begin{array}{cc}X{\mathrm{I}}_m& A\\ B& {\mathrm{I}}_n\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{I}}_m& 0\\ -B& X{\mathrm{I}}_n\end{array}\right)$.

1. Calculer $MN$ et $NM$.
2. En déduire que $X^n\det (X{\mathrm{I}}_m-AB)=X^m\det (X{\mathrm{I}}_n-BA)$.

Exercice 2-4

Soient $R$ un anneau commutatif unifère et $A\in {\mathrm{M}}_n(R)$. On considère le polynôme $(-1{)}^n{p}_A(X)$ :

$P(X)=\det (X{\mathrm{I}}_n-A)=X^n+c_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_0$.

1. Démontrer que $\mathrm{Tr}(A)=-c_{n-1}$ ;
2. En déduire que si $P(X)=(X-{\lambda }_1)(X-{\lambda }_2)\cdots (X-{\lambda }_n)$ alors $\mathrm{Tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$.

Exercice 2-5

Soit $f$ un endomorphisme d'un $ℝ$-espace vectoriel $V$.

1. On suppose que $f$ annule les polynômes $X^2+X$ et $X^2-X$. Montrer que $f=0$.
2. On suppose que $f$ annule les polynômes $X^5-1$ et $X^2-2X+1$. Montrer que $f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$.
3. On suppose que $f$ annule les polynômes $X^3-X$, $X^3-2X^2+X$ et $X^3-X^2-X+1$. Montrer que $f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$.

Exercice 2-6

Soient $A\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}A& A\\ 0& A\end{array}\right)\in {\mathrm{M}}_{2n}(ℂ)$.

On note $P_A,P_B$ leur polynôme caractéristique, ${\sigma }_A,{\sigma }_B$ leur spectre et $m_A,m_B$ leur polynôme minimal.

1. Montrer que $P_B=P_A^2$ (donc ${\sigma }_B={\sigma }_A$).
2. Démontrer que pour tout polynôme $Q\in ℂ[X]$, $Q(B)=\left(\begin{array}{cc}Q(A)& A{Q}^{\prime }(A)\\ 0& Q(A)\end{array}\right)$.
3. Montrer que $m_A$ divise $m_B$ et que $Am{\text{'}}_B(A)=0$.
4. On suppose que la matrice $B$ est diagonalisable.
   1. Montrer que $m_A=m_B$.
   2. Montrer que $Xm{\text{'}}_A(X)=d{m}_A(X)$, où $d$ est le degré du polynôme $m_A$.
   3. En déduire que $m_A(X)=X^d$, puis que $d=1$.
   4. Conclure que $A=0$.

Modèle:Solution Soient $A,B,C\in {\mathrm{M}}_n(ℂ)$. On suppose que $A$ et $B$ ont chacune une seule valeur propre. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice

$M=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)\in {\mathrm{M}}_{2n}(ℂ)$

soit diagonalisable. Modèle:Solution

Exercice 2-7

Soient $E$ un espace vectoriel et $f\in \mathrm{L}(E)$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mathrm{L}(E)$ défini par $T(u)=f\circ u$. Montrer que toute valeur propre de $f$ est valeur propre de $T$. Modèle:Solution

Exercice 2-8

Soient $E$ un $K$-e.v. et $f$ un endomorphisme de $E$ de rang $1$. Montrer qu'il existe un unique scalaire $\lambda$ tel que le polynôme $X(X-\lambda )$ annule $f$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ pour que $f$ soit diagonalisable. Modèle:Solution

Exercice 2-9

Soient $Q\in ℝ[X]$ défini par $Q(X)=X^4-5X^3+7X^2$ et $u$ un endomorphisme de ${ℝ}^3$ qui est non nilpotent et non inversible. On suppose que $Q(u)=0$.

1. 1. Justifier l'inclusion : $\mathrm{i}\mathrm{m}(u^2)\subset \ker (u^2-5u+7{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{ℝ}^3})$.
   2. Prouver l'égalité : ${ℝ}^3=\ker (u^2)\oplus \mathrm{i}\mathrm{m}(u^2)$.
2. 1. Soit $m(X)$ le polynôme minimal de $u$. Montrer qu'il est déterminé de manière unique par les hypothèses et donner son expression.
   2. Déterminer le polynôme caractéristique de $u$ ; l'endomorphisme $u$ est-il trigonalisable ?
   3. Vérifier que $0$ est valeur propre simple de $u$ ; quelle est la dimension de $\ker u$ ?
3. Déduire de ce qui précède les égalités : $\ker u=\ker (u^2)$ et $\mathrm{i}\mathrm{m}u=\mathrm{i}\mathrm{m}(u^2)$. Montrer que $\mathrm{i}\mathrm{m}u$ est le seul plan vectoriel de ${ℝ}^3$ stable par $u$.

Exercice 2-10

Soient $\beta$ un paramètre réel (lorsque $\beta \ge 0$ on notera $\alpha =\sqrt{\beta }$), et $u_{\beta }$ l'endomorphisme de ${ℝ}^4$ dont la matrice dans la base canonique $e=(e_1,\dots ,e_4)$ est

$U_{\beta }={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u_{\beta })=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& \beta -1& 0\\ 0& 1& 2\beta & 1\\ 4& 0& -2& 0\\ -2\beta & 1& 0& 1\end{array}\right)$.

1. 1. Montrer sans aucun calcul que 0 est valeur propre de $u_{\beta }$.
   2. Déterminer le sous-espace propre $N$ associé à cette valeur propre 0. (Préciser, selon les valeurs de $\beta$, sa dimension, et en expliciter une base.)
   3. Pour $\beta =0$, calculer directement $U_0^2$ et $U_0^3$ et les comparer.
2. Déterminer le sous-espace $Q$ formé des $x\in {ℝ}^4$ tels que $u_{\beta }(x)=2x$. (Préciser, selon les valeurs de $\beta$, sa dimension, et en expliciter une base.)
3. 1. Calculer le polynôme caractéristique $P_{\beta }(X)$ de $u_{\beta }$.
   2. Préciser, selon les valeurs de $\beta$, le nombre des racines de $P_{\beta }(X)$ et leurs ordres de multiplicité.
4. Trouver l'ensemble des valeurs de $\beta$ pour lesquelles $u_{\beta }$ est trigonalisable.
5. Trouver l'ensemble des valeurs de $\beta$ pour lesquelles $u_{\beta }$ est diagonalisable.
6. Déterminer, pour chaque valeur de $\beta$, le poynôme minimal $M_{\beta }(X)$ de $u_{\beta }$. Quel est l'ensemble des valeurs $\beta$ pour lesquelles $M_{\beta }(X)\ne P_{\beta }(X)$ ?

Exercice 2-11

Soient $E={ℝ}_2[X]$ et $f:E\to E$ définie par

$f(P)(X)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(t^2-4Xt+X^2)P(t){\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$.

Montrer que $f\in \mathrm{L}(E)$ et déterminer ses éléments propres. Modèle:Solution

Exercice 2-12

Soit $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$. Exprimer le polynôme caractéristique de $A^{-1}$ en fonction de celui de $A$. Modèle:Solution

Exercice 2-13

Soient $E$ un espace vectoriel complexe de dimension $q$ et $a,b\in F:=\mathrm{L}(E)$ de spectres disjoints.

1. Montrer que $P_b(a)$ est inversible (appliquer le lemme des noyaux à $a$ et à $P_a{P}_b$).
2. En déduire que pour $\phi \in \mathrm{L}(F)$ défini par $\phi (x)=ax-xb$, on a $\ker \phi =\{0\}$.
3. Soient maintenant $A,B\in {\mathrm{M}}_q(ℂ)$ ayant une valeur propre commune $\lambda$ et $U,V$ matrices colonnes non nulles telles que $AU=\lambda U$ et $B^{t}V=\lambda V$. Si $X=U{V}^t$, calculer $AX-XB$. Conclusion ?

Liens externes

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