Polynôme/Exercices/Racines de polynômes

Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes $P\in ℂ[X]$ tels que $P(X^2)=P(X)P(X+1)$.

Exercice 1-2

Déterminer les polynômes $P\in ℂ[X]$ tels que $XP(X+1)=(X+4)P(X)$. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Soit $P(X)=X^3-X+1$. Montrer que :

1. $P$ a une unique racine réelle $\alpha$ ;
2. $\alpha <-1$.
3. Soient $\beta ,\gamma \in ℂ$ les deux autres racines de $P$. Exprimer $\beta +\gamma$ et $\beta \gamma$ en fonction de $\alpha$.
4. En déduire que $|\beta |=|\gamma |<1$.
5. Calculer ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$.

Exercice 1-4

Soit $P\in ℝ[X]$ tel que $\mathrm{\forall }x\in ℝP(x)\ge 0$. Montrer que $P$ est somme de deux carrés de polynômes réels. Modèle:Wikipédia Modèle:Clr Première méthode : chercher à factoriser $P$ dans $ℂ[X]$ sous la forme $P=Q\bar{Q}$. Modèle:Solution Seconde méthode :

1. Que dire de la décomposition de $P$ en facteurs irréductibles dans $ℝ[X]$ ?
2. Montrer l'identité $(A^2+B^2)(C^2+D^2)=(AD-BC{)}^2+(AC+BD{)}^2$.
3. Conclure.

Exercice 1-5

Soient $\alpha \in ℝ,n\in \mathbb{N},P_n={(\cos \alpha +X\sin \alpha )}^n$.

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de $P_n$ par $(X^2+1{)}^2$ et par $X^2+1$. Modèle:Solution

Exercice 1-6

1. Montrer que pour tout $(p,q,r)\in {\mathbb{N}}^3$, $X^{3p}+X^{3q+1}+X^{3r+2}$ est divisible par $X^2+X+1$.
2. Pour quelles valeurs de l'entier $n$ le polynôme $X^{2n}+X^n+1$ est-il divisible par $X^2+X+1$ ?

Modèle:Solution Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, le polynôme $P_n=(X+1{)}^{6n+1}-X^{6n+1}-1$ est divisible par $(X^2+X+1{)}^2$. Modèle:Solution

1. Montrer que le reste de la division euclidienne d'un polynôme $P$ par $X^2+pX+q$ s'obtient en remplaçant $X^2$ par $-pX-q$ autant de fois que cela est possible dans le polynôme $P$.
2. Pour quelles valeurs de l'entier $n$ le polynôme $X^3+1$ divise-t-il le polynôme $X^{3n}+1$ ?
3. Montrer que $(X-1{)}^{n+2}+X^{2n+1}$ est divisible par $X^2-X+1$.
4. Pour quels triplets $(s,t,u)\in {\mathbb{N}}^3$ le polynôme $X^{3s}-X^{3t+1}+X^{3u+2}$ est-il divisible par $X^2-X+1$ ?

Exercice 1-7

Démontrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

$\prod _{k=1}^{2n}\cos \frac{k\pi }{2n+1}=\frac{1}{(-4{)}^n}$.

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré $4n$ ayant pour racines les nombres complexes ${\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}\frac{k\pi }{2n+1}}$ pour $1\le k\le 2n$, et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme $P$ de degré $2n$ ayant pour racines les $\cos \frac{k\pi }{2n+1}$. Une relation entre coefficients et racines de $P$ permettra de conclure. Modèle:Solution Remarque : de façon équivalente, $\prod _{k=1}^n\cos \frac{k\pi }{2n+1}=\frac{1}{2^n}$.

• Pour une autre méthode, voir Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6 question 2 (dans le cas particulier $n=4$).
• Pour d'autres formules de ce genre, voir Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques.

Exercice 1-8

Soit un polygone régulier de sommets $A_1,\dots ,A_n$ inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que

$A_1{A}_2\cdot A_1{A}_3\cdots A_1{A}_n=n$.

Exercice 1-9

Le polynôme $P(X):=X^3+X+1$ a-t-il une racine double ? Modèle:Solution Trouver un polynôme $A$ tel que $A^{\prime }-A=\frac{X^n}{n!}$ et montrer que $A$ n'admet pas de racine multiple. Modèle:Solution Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Déterminer $a$, $b$ et $c$ de manière que $P:=a{X}^{n+1}+b{X}^n+c$ soit divisible par $(X-1{)}^2$. La racine 1 peut-elle être triple ? Modèle:Solution

Exercice 1-10

Soit $P$ un polynôme non constant tel que $P(X)\mid P(X^2)$.

1. En donner des exemples.
2. Si $\alpha$ est une racine de $P$, montrer que $\alpha =0$ ou $\alpha$ est une racine n-ième de 1 pour un certain n.

Exercice 1-11

Calculer $P_n(X):=(1+X)(1+X^2)(1+X^4)\dots (1+X^{2^n})$. Modèle:Solution

Exercice 1-12

Soit $P(X)=X^5-13X^4+67X^3-171X^2+216X-108$. Calculer $\mathrm{pgcd}(P,P^{\prime })$ et en déduire une factorisation de $P$. Modèle:Solution

Exercice 1-13

Trouver $a$ tel que les racines de $X^4+X^3+a{X}^2+3X+2$ vérifient $x_1+x_2=x_3{x}_4$. Résoudre alors la ou les équation(s) obtenue(s). Modèle:Solution

Exercice 1-14

1. Décomposer le polynôme $P:=X^4+12X-5$ en produit de deux polynômes du second degré sachant qu'il admet deux racines $a$ et $b$ telles que $a+b=2$.
2. Quelles sont les valeurs de $a$ et $b$ ?
3. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de $P$ dans $ℝ[X]$.

Exercice 1-15

Décomposer le polynôme $X^4+16$ en produit d'irréductibles dans $ℝ[X]$. Modèle:Solution

Exercice 1-16

Soit $P\in ℝ[X]$ de degré $n$, admettant $n$ zéros réels distincts. Montrer que $P+X{P}^{\prime }$ a la même propriété. Modèle:Solution