Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1

Exercice 10-1

En supposant $a+b+c=\pi$, simplifier les expressions :

1°  $\frac{\sin a+\sin b+\sin c}{\sin a+\sin b-\sin c}$

2°  $1+\cos a+\cos b-\cos c$ Modèle:Solution

Exercice 10-2

Calculer la somme :

$S={\sin }^4\frac{\pi }{8}+{\sin }^4\frac{3\pi }{8}+{\sin }^4\frac{5\pi }{8}+{\sin }^4\frac{7\pi }{8}$

Exercice 10-3

De la relation $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, déduire :

${\cos }^{4}x=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$.

Calculer :

$S={\cos }^4\frac{\pi }{8}+{\cos }^4\frac{3\pi }{8}+{\cos }^4\frac{5\pi }{8}+{\cos }^4\frac{7\pi }{8}$.

Exercice 10-4

Mettre sous forme de produit ou de quotient les expressions suivantes :

1°  $\sin a+2\sin 2a+\sin 3a$ ;

2°  $\cos a+2\cos 2a+\cos 3a$ ;

3°  ${\sin }^{2}a+{\sin }^{2}b-{\sin }^2(a+b)$ ;

4°  $1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x$ ;

5°  ${\sin }^{2}b-{\sin }^{2}a={\cos }^{2}a-{\cos }^{2}b$. Modèle:Solution

Exercice 10-5

Mettre sous forme de produit ou de quotient les expressions :

1°  $1-{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}y$ ;

2°  $\cos 2x-{\cos }^{2}x$ ;

3°  $\sin x+\sin 2x$ ;

4°  $1+\tan x\tan 2x$ ;

5°  $1+\cos 2x+2\cos x$. Modèle:Solution

Exercice 10-6

Démontrer les relations :

1°  $S=\sin \frac{\pi }{9}\sin \frac{2\pi }{9}\sin \frac{3\pi }{9}\sin \frac{4\pi }{9}=\frac{3}{16}$ ;

2°  $C=\cos \frac{\pi }{9}\cos \frac{2\pi }{9}\cos \frac{3\pi }{9}\cos \frac{4\pi }{9}=\frac{1}{16}$. Modèle:Solution