Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Notion d'angle solide

Modèle:AlLa notion d'angle solide permet d'introduire la mesure d'une portion d'« espace affine euclidien tridimensionnel » comme la notion d'angle autorise l'introduction de la mesure d'une portion d'« espace affine euclidien bidimensionnel » $($bien que l'introduction de cette notion ne soit pas au programme de mathématiques de P.C.S.I., elle ne présente aucune difficulté et est très utile pour simplifier les exposés en physique$)$.

Rappel de la définition de la mesure d'un angle non orienté d'un plan (en radians « rad »)

Schéma de définition de la mesure $\alpha$ d'un angle non orienté

Modèle:AlDeux demi-droites distinctes de même origine délimitent dans le plan les contenant deux secteurs angulaires $($ou angles$)$,

• la portion d'espace plan convexe définit un « secteur angulaire saillant » $($voir ci-contre$)$,
• l'autre portion d'espace plan non convexe Modèle:Transparentun « secteur angulaire rentrant » $($sur le schéma ci-contre c'est la portion d'espace plan complémentaire du « secteur angulaire saillant » du plan les contenant$)$ ;

Modèle:Aldans la suite nous considérons le « secteur angulaire saillant » comme support d'explication $($mais tout ce qui est introduit est encore applicable au « secteur angulaire rentrant » complémentaire du « secteur angulaire saillant » du plan$)$ ;

Modèle:Alpour mesurer un secteur angulaire $($l'origine des deux demi-droites définissant le somment du secteur angulaire et les demi-droites ses côtés$)$,
Modèle:Alnous traçons, dans le plan contenant le secteur angulaire, un cercle de rayon $R$ quelconque centré au sommet du secteur angulaire et
Modèle:AlModèle:Transparentmesurons l'« arc $\stackrel{⌢}{s(R)}$ découpé par le secteur angulaire sur le cercle »,
Modèle:Al«$\stackrel{⌢}{s(R)}$ étant $\propto$ à $R$» $\Rightarrow$ le « rapport $\frac{\stackrel{⌢}{s(R)}}{R}$ indépendant de $R$ représente la mesure du secteur angulaire $($en $rad)$».

Modèle:Définition Modèle:AlPropriétés : $\succ$la mesure d'un secteur angulaire « saillant » est «$<$ à $\pi$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$la mesure d'un secteur angulaire « rentrant » est «$>$ à $\pi$ mais $<$ à $2\pi$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$si les côtés d'un secteur angulaire sont alignés sans être superposés, le secteur angulaire est dit « plat » et sa « mesure est $\pi$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$si les côtés d'un secteur angulaire sont superposés, le secteur angulaire est dit « nul » et sa « mesure est $0$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$le secteur angulaire complémentaire dans le plan du secteur angulaire nul est dit « plein » et sa « mesure est $2\pi$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$un secteur angulaire « saillant » à côtés $\perp$ est dit « droit » et sa « mesure est $\frac{\pi }{2}$»,

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$un secteur angulaire « saillant » de « mesure $<$ à $\frac{\pi }{2}$» est dit « aigu » et

Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$un secteur angulaire « saillant » de « mesure $>$ à $\frac{\pi }{2}$» est dit « obtus ».

Définition d'un angle solide non orienté mesurant l'intérieur d'un cône (en stéradians « sr »)

Analogie tridimensionnelle de la notion de secteur angulaire (ou angle) d'un plan

Modèle:AlDe même qu'un plan peut être découpé en deux portions par deux demi-droites de même origine donnant la notion de secteurs angulaires $($ou angles$)$ « saillant $($ou intérieur$)$» et « rentrant $($ou Modèle:Nobr la mesure du secteur angulaire « saillant $($ou intérieur$)$» étant plus petite que celle du secteur angulaire « rentrant $($ou extérieur$)$»,

Modèle:AlModèle:Transparentl'espace tridimensionnel peut être découpé en deux portions par un cône $[$c'est-à-dire un ensemble de demi-droites de même origine $($appelé sommet du cône$)$ s'appuyant sur une courbe fermée plane $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ $($appelée directrice du cône$)$, les demi-droites constituant les génératrices de ce dernier$]$,

• dans le cas où la directrice $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ du cône est « convexe », la portion « convexe » d'espace tridimensionnel délimité par le cône définit l'« intérieur du cône », l'autre portion « non convexe » $($complémentaire de l'intérieur du cône dans l'espace tridimensionnel$)$ définissant l'« extérieur du cône »,
• dans le cas où la directrice $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ du cône est « non convexe », il est possible de définir une courbe fermée plane $\left({\mathrm{\Gamma }}_{\text{sup}}\right)$ « convexe » telle que tous les points de la directrice du cône $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ « non convexe » soient à l'intérieur de cette courbe fermée plane $\left({\mathrm{\Gamma }}_{\text{sup}}\right)$ « convexe » et par suite de définir comme
  Modèle:Al« intérieur du cône de directrice $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$» la portion d'espace tridimensionnel délimité par ce dernier incluse dans l'intérieur du cône de directrice $\left({\mathrm{\Gamma }}_{\text{sup}}\right)$ de même sommet que le cône de directrice $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ et
  Modèle:Al« extérieur du cône de directrice $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$» le complémentaire de l'intérieur du cône de directrice $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ dans l'espace tridimensionnel.

Modèle:AlDans la suite nous considérons l'« intérieur du cône » comme support d'explication $($mais tout ce qui est introduit est encore applicable à l'« extérieur du cône » complémentaire de l'« intérieur du cône » dans l'espace tridimensionnel$)$.

Définition de l'angle solide mesurant l'intérieur d’un cône (en stéradians « sr »)

Schéma de définition de la mesure de l'angle solide non orienté correspondant à l'intérieur du cône $(K)$ de sommet $O$

Modèle:AlLa mesure de la « portion d'espace tridimensionnel intérieur à un cône » est calquée sur celle de portion de plan correspondant à un « secteur Modèle:Nobr saillant », le « cercle de rayon quelconque centré sur le sommet du secteur angulaire » étant remplacé par une « sphère de rayon quelconque centrée sur le sommet du cône ».

Modèle:AlPour mesurer l'« intérieur du cône

$\left(K\right)$

, de sommet

$O$

, de directrice

$\left(\mathrm{\Gamma }\right)$

»

$[$

non représentée sur le schéma ci-contre dans le but de ne pas surcharger la figure

$]$

,
Modèle:Alnous traçons une sphère

$\left(\mathrm{\Sigma }\right)$

, de rayon

$R$

quelconque, centrée au sommet du cône et
Modèle:AlModèle:Transparentmesurons l'« aire

$\mathrm{\Sigma }(R)$

de la portion de sphère limitée par la courbe fermée découpée par le cône sur la sphère

$\left(K\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$

»,
Modèle:Al«

$\mathrm{\Sigma }(R)$

étant

$\propto$

à

$R^2$

»

$\Rightarrow$

le « rapport

$\frac{\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$

indépendant de

$R$

représente la mesure

$\omega$

de l'« intérieur du cône

$\left(K\right)$

», mesure encore appelée, par abus, « angle solide

$($

non orienté

$)$

de l'intérieur du cône

$\left(K\right)$

»

$($

en « stéradians de symbole

$sr$

»

$)$

» d'où

l'« angle solide $($non orienté$)$ mesurant l'intérieur du cône $\left(K\right)$» est défini par «$\omega =\frac{\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$» avec
«$\mathrm{\Sigma }(R)$ l'aire de la surface limitée par la courbe fermée découpée par $\left(K\right)$ sur la sphère de rayon $R$.

Algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône

Modèle:AlSi la surface sphérique limitée par l'intersection du cône

$\left(K\right)$

et de la sphère

$\left(\mathrm{\Sigma }\right)$

de rayon

$R$

centrée au sommet

$O$

du cône est orientée, en

$M$

de la surface sphérique, par le 1^er vecteur de la base sphérique de pôle

$O$

liée à

$M$

à savoir le vecteur unitaire radial «

${\overrightarrow{u}}_r=\frac{\overrightarrow{OM}}{R}$

»

$($

orientation dans le sens centrifuge

$)$

,

l'« angle solide algébrique $\mathrm{\Omega }$ mesurant l'intérieur du cône $\left(K\right)$ est $>0$»
c'est-à-dire «$\mathrm{\Omega }=\omega =\frac{\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$» ;

Modèle:Alsi la surface sphérique limitée par l'intersection du cône

$\left(K\right)$

et de la sphère

$\left(\mathrm{\Sigma }\right)$

de rayon

$R$

centrée au sommet

$O$

du cône est orientée, en

$M$

de la surface sphérique, par l'opposé du 1^er vecteur de la base sphérique de pôle

$O$

liée à

$M$

à savoir l'opposé du vecteur unitaire radial «

$-{\overrightarrow{u}}_r=-\frac{\overrightarrow{OM}}{R}$

»

$($

orientation dans le sens centripète

$)$

,

l'« angle solide algébrique $\mathrm{\Omega }$ mesurant l'intérieur du cône $\left(K\right)$ est $<0$»
c'est-à-dire «$\mathrm{\Omega }=-\omega =-\frac{\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$».

Expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ, φ) à dθ et dφ près

Schéma décrivant le repérage sphérique pour évaluer l'angle solide $($algébrique$)$ mesurant l'intérieur d'un cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par $(\theta ,\phi )$ à $d\theta$ et $d\phi$ près

Modèle:AlConsidérons le cône élémentaire $\left(dK\right)$ de sommet $O$ d'axe repéré en sphérique de pôle $O$ par $(\theta ,\phi )$ à $d\theta$ et $d\phi$ près $[$voir ci-contre$]$ ainsi que
Modèle:AlModèle:Transparentla sphère $\left(\mathrm{\Sigma }\right)$ de centre $O$ et de rayon $R$ $\{$seul le huitième de sphère du quadrant $(x>0,y>0,z>0)$ est partiellement représenté par ses méridiens de longitude $\phi$ et $\phi +d\phi$ ainsi que par les portions de parallèles localisés entre les deux méridiens précédents, parallèles de colatitude $\theta$ et $\theta +d\theta \}$,
Modèle:All'intersection du cône $\left(dK\right)$ et de la sphère $\left(\mathrm{\Sigma }\right)$ donnant une courbe fermée constituée des deux portions de parallèles de colatitude $\theta$ et $\theta +d\theta$ et des deux portions de méridiens de longitude $\phi$ et $\phi +d\phi$ localisées entre les deux parallèles précédemment cités $($en bleu sur le schéma ci-contre$)$ délimite la « portion de sphère d'aire $d\mathrm{\Sigma }(R)=R^2\sin (\theta )|d\theta ||d\phi |$» d'où

Modèle:All'angle solide

$($

non algébrisé

$)$

«

$d\omega$

» mesurant l'intérieur du cône élémentaire

$\left(dK\right)$

d'axe repéré par

$(\theta ,\phi )$

à

$d\theta$

et

$d\phi$

près

«$d\omega =\frac{d\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}=\sin (\theta )|d\theta ||d\phi |$».

Modèle:AlNous introduisons l'algébrisation de l'angle solide «

$d\mathrm{\Omega }$

» mesurant l'intérieur du cône élémentaire

$\left(dK\right)$

d'axe repéré par

$(\theta ,\phi )$

à

$d\theta$

et

$d\phi$

près en posant

«$d\mathrm{\Omega }=\sin (\theta )d\theta d\phi$» et

Modèle:Alen déduisons que «$d\mathrm{\Omega }$ est $>0$ si $d\theta$ et $d\phi$ sont de même signe » $[\theta$ et $\phi$ toutes deux $\nearrow$ ou $\searrow ]$,

Modèle:AlModèle:Transparent«$d\mathrm{\Omega }$ est $<0$ si $d\theta$ et $d\phi$ sont de signe contraire » $[\theta \nearrow$ et $\phi \searrow$ ou $\theta \searrow$ et $\phi \nearrow ]$.

Modèle:AlRemarques : $\succ$La définition de l'angle solide $($algébrique$)$ «$d\mathrm{\Omega }$» mesurant l'intérieur du cône élémentaire $\left(dK\right)$ d'axe repéré par $(\theta ,\phi )$ à $d\theta$ et $d\phi$ près est en accord avec celle donnée dans le paragraphe « algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône » ci-dessus car le « vecteur surface élémentaire de la portion sphérique limitée par $\left(dK\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$ étant défini selon $\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}=R^2\sin (\theta )d\theta d\phi {\overrightarrow{u}}_r$», nous en déduisons que

$▸$

si

$d\theta$

et

$d\phi$

sont de même signe

$[\theta$

et

$\phi$

toutes deux

$\nearrow$

ou

$\searrow ]$

, «

$\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}=d\mathrm{\Sigma }(R){\overrightarrow{u}}_r$

étant orienté par

${\overrightarrow{u}}_r$

», «

$d\mathrm{\Omega }$

est

$>0$

» soit

«$d\mathrm{\Omega }=d\omega =\frac{d\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}=\sin (\theta )|d\theta ||d\phi |=\sin (\theta )d\theta d\phi$», $▸$

si

$d\theta$

et

$d\phi$

sont de signe contraire

$[\theta \nearrow$

et

$\phi \searrow$

ou

$\theta \searrow$

et

$\phi \nearrow ]$

, «

$\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}=-d\mathrm{\Sigma }(R){\overrightarrow{u}}_r$

étant orienté par

$-{\overrightarrow{u}}_r$

», «

$d\mathrm{\Omega }$

est

$<0$

» soit

«$d\mathrm{\Omega }=-d\omega =-\frac{d\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}=-\sin (\theta )|d\theta ||d\phi |=\sin (\theta )d\theta d\phi$». $\succ$

Avec la définition de l'aire algébrique

$\overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}$

de la portion de sphère délimitée par l'intersection du cône

$\left(dK\right)$

et de la sphère

$\left(\mathrm{\Sigma }\right)$

selon «

$\overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}=R^2\sin (\theta )d\theta d\phi$

» permettant de réécrire le « vecteur surface élémentaire de cette portion sphérique selon

$\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}=\overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}{\overrightarrow{u}}_r$

»

$[\Rightarrow \overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}=\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}\cdot {\overrightarrow{u}}_r]$

nous pouvons réécrire l'angle solide

$($

algébrique

$)$

«

$d\mathrm{\Omega }$

» mesurant l'intérieur du cône élémentaire

$\left(dK\right)$

d'axe repéré par

$(\theta ,\phi )$

à

$d\theta$

et

$d\phi$

près selon

«$d\mathrm{\Omega }=\frac{\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}\cdot {\overrightarrow{u}}_r}{R^2}=\frac{\overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}}{R^2}=\sin (\theta )d\theta d\phi$»,

Modèle:AlModèle:Transparentce qui nous permet effectivement de retrouver l'accord avec l'algébrisation de la notion d'angle solide donnée dans le paragraphe « algébrisation d'un angle solide Ω mesurant l'intérieur d'un cône par orientation de la surface sphérique limitée par l'intersection du cône et de la sphère de rayon R centrée au sommet du cône » ci-dessus en effet,

$▸$

si

$d\theta$

et

$d\phi$

sont de même signe

$[\theta$

et

$\phi$

toutes deux

$\nearrow$

ou

$\searrow ]$

, «

$\overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}$

étant

$>0$

,

$\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}$

est dans le sens de

${\overrightarrow{u}}_r$

», «

$d\mathrm{\Omega }$

est

$>0$

» soit

«$d\mathrm{\Omega }=\frac{\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}\cdot {\overrightarrow{u}}_r}{R^2}=\frac{\overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}}{R^2}=\sin (\theta )d\theta d\phi =\sin (\theta )|d\theta ||d\phi |=d\omega =\frac{d\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$», $▸$

si

$d\theta$

et

$d\phi$

sont de signe contraire

$[\theta \nearrow$

et

$\phi \searrow$

ou

$\theta \searrow$

et

$\phi \nearrow ]$

, «

$\overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}$

étant

$<0$

,

$\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}$

est dans le sens de

$-{\overrightarrow{u}}_r$

», «

$d\mathrm{\Omega }$

est

$<0$

» soit

«$d\mathrm{\Omega }=\frac{\overrightarrow{d\mathrm{\Sigma }(R)}\cdot {\overrightarrow{u}}_r}{R^2}=\frac{\overline{d\mathrm{\Sigma }(R)}}{R^2}=\sin (\theta )d\theta d\phi =-\sin (\theta )|d\theta ||d\phi |=-d\omega =-\frac{d\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$».

Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée

Schéma de définition de l'angle solide $($algébrique$)$ sous lequel du point $O$ est vue la surface ouverte $\left(𝒮\right)$ orientée s'appuyant sur le contour fermé $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$

Modèle:AlConsidérant la surface ouverte $\left(𝒮\right)$ s’appuyant sur le contour fermé $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ $[$voir ci-contre$]$, l'« angle solide $($non algébrisé$)$ $\omega$ sous lequel du point $O$ est vue la surface ouverte $\left(𝒮\right)$» est l'« angle solide mesurant l'intérieur du cône $\left(K\right)$ de sommet $O$ s'appuyant sur la courbe fermée $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$» soit,
Modèle:Alaprès définition de la sphère $\left(\mathrm{\Sigma }\right)$ centrée en $O$ de rayon $R$ quelconque et détermination de l'aire $\mathrm{\Sigma }(R)$ de la portion de sphère limitée par $\left(K\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$, «$\omega =\frac{\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$».

Modèle:AlPour obtenir l'algébrisation de l’angle solide, on oriente la surface ouverte $\left(𝒮\right)$ par « vecteur unitaire normal $\overrightarrow{n}$ $($ou ${\overrightarrow{n}}^{\prime })$» et
Modèle:AlModèle:Transparentla portion de la sphère limitée par $\left(K\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$ en correspondance c'est-à-dire par « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de pôle $O$, ${\overrightarrow{u}}_r$ $($ou $-{\overrightarrow{u}}_r)$» ;

$\succ$

si

$\left(𝒮\right)$

est orienté par

$\overrightarrow{n}$ $[\Rightarrow$

la portion de sphère limitée par

$\left(K\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$

l'est par

${\overrightarrow{u}}_r]$

, l'« angle solide algébrisé

$\mathrm{\Omega }$

sous lequel la surface ouverte orientée

$\left(𝒮\right)$

est vue de

$O$

est

$>0$

» et

«$\mathrm{\Omega }=\omega =\frac{\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$», $\succ$

si

$\left(𝒮\right)$

est orienté par

${\overrightarrow{n}}^{\prime }$ $[\Rightarrow$

la portion de sphère limitée par

$\left(K\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$

l'est par

$-{\overrightarrow{u}}_r]$

, l'« angle solide algébrisé

$\mathrm{\Omega }$

sous lequel la surface ouverte orientée

$\left(𝒮\right)$

est vue de

$O$

est

$<0$

» et

«$\mathrm{\Omega }=-\omega =-\frac{\mathrm{\Sigma }(R)}{R^2}$».

Modèle:AlCaractère additif de la notion d'angle solide : Que l'« angle solide sous lequel du point $O$ est vue la surface ouverte orientée $\left(𝒮\right)$» soit algébrisé ou non, l'« angle solide étant défini, à partir de la sphère $\left(\mathrm{\Sigma }\right)$, de rayon $R$ et de centre $O$, en introduisant l'aire $\mathrm{\Sigma }(R)$ de la portion de sphère limitée par $\left(K\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$» $[\left(K\right)$ étant le cône de sommet $O$ s'appuyant sur la courbe fermée $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ limitant $\left(𝒮\right)]$ et « l'aire d'une portion de sphère étant une grandeur additive », nous en déduisons que
Modèle:AlModèle:Transparentl'« angle solide $($algébrisé ou non$)$ sous lequel du point $O$ est vue la surface ouverte orientée $\left(𝒮\right)$ est une grandeur additive ».

Expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé

Schéma de définition de l'angle solide $($non algébrisé$)$ sous lequel du point $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$ centrée en $M$ de coordonnées sphériques de pôle $O$ «$(r,\theta ,\phi )$»

Modèle:AlConsidérant la surface élémentaire d'aire $dS$ centrée en $M$ de coordonnées sphériques de pôle $O$ «$(r,\theta ,\phi )$» $[$ci-contre la surface élémentaire est représentée en bleu, elle n'est pas nécessairement rectangulaire$]$, l'« angle solide $($non algébrisé$)$ $d\omega$ sous lequel du point $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$» est l'« angle solide mesurant l'intérieur du cône $\left(dK\right)$ de sommet $O$ s'appuyant sur la courbe fermée limitant la surface élémentaire d'aire $dS$» $[$cône élémentaire $\left(dK\right)$ en rouge sur le schéma ci-contre$]$ soit,
Modèle:Alaprès définition de la sphère $\left(\mathrm{\Sigma }\right)$ centrée en $O$ de rayon $r$ coordonnée radiale de $M$ et détermination de l'aire $d\mathrm{\Sigma }(r)$ de la portion de sphère limitée par $\left(dK\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$ $[$représentée en rouge sur le schéma ci-contre$]$, «$d\omega =\frac{d\mathrm{\Sigma }(r)}{r^2}$».

Modèle:AlPour obtenir l'algébrisation de l'angle solide élémentaire sous lequel de $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$, on oriente

• cette dernière par « vecteur unitaire normal $\overrightarrow{n}$ $($ou ${\overrightarrow{n}}^{\prime }=-\overrightarrow{n})$» $\{$voir les coupes ci-dessous réalisées dans le plan méridien passant par $M$ $[$c'est-à-dire le plan $(\overrightarrow{Oz},M)]$, « cas où la surface élémentaire d'aire $dS$ est orientée par $\overrightarrow{n}$ à gauche » et « celui où elle est orientée par ${\overrightarrow{n}}^{\prime }=-\overrightarrow{n}$ à droite »$\}$ et
• la portion de sphère limitée par $\left(dK\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$ en correspondance par « vecteur unitaire radial du repérage sphérique de pôle $O$, ${\overrightarrow{u}}_r$» $($ou son opposé $-{\overrightarrow{u}}_r)$» ;

Schéma de définition en coupe de l'angle solide $($algébrisé$)$ sous lequel du point $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$ centrée en $M$ de coordonnées sphériques de pôle $O$ «$(r,\theta ,\phi )$» avec orientation de $\overrightarrow{dS}$ s'éloignant de $O$

Schéma de définition en coupe de l'angle solide $($algébrisé$)$ sous lequel du point $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$ centrée en $M$ de coordonnées sphériques de pôle $O$ «$(r,\theta ,\phi )$» avec orientation de $\overrightarrow{dS}$ se rapprochant de $O$

Modèle:Al$\succ$1^er cas $[$voir schéma ci-contre à gauche$]$ la portion de sphère limitée par $\left(dK\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$ étant orientée par «${\overrightarrow{u}}_r$», l'« angle solide Modèle:Nobr $d\mathrm{\Omega }$ sous lequel du point $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$ est $>0$» $\Rightarrow$ «$d\mathrm{\Omega }=d\omega =\frac{d\mathrm{\Sigma }(r)}{r^2}$» ;
Modèle:Alil reste à évaluer $d\mathrm{\Sigma }(r)$ en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire $dS$, soit, en notant $\alpha =\widehat{({\overrightarrow{u}}_r,\overrightarrow{n})}$, «$d\mathrm{\Sigma }(r)=$ $dS\cos (\alpha )$» ou encore «$d\mathrm{\Sigma }(r)=\overrightarrow{dS}\cdot {\overrightarrow{u}}_r$» ;
Modèle:Alfinalement nous obtenons dans ce cas «$d\mathrm{\Omega }=d\omega =\frac{\overrightarrow{dS}\cdot {\overrightarrow{u}}_r}{r^2}$».

Modèle:Al$\succ$2^ème cas $[$voir schéma ci-contre à droite$]$ la portion de sphère limitée par $\left(dK\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$ étant orientée par «$-{\overrightarrow{u}}_r$», l'« angle solide Modèle:Nobr $d\mathrm{\Omega }$ sous lequel du point $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$ est $<0$» $\Rightarrow$ «$d\mathrm{\Omega }=-d\omega =-\frac{d\mathrm{\Sigma }(r)}{r^2}$» ;
Modèle:Alil reste à évaluer $d\mathrm{\Sigma }(r)$ en fonction de l'orientation de la surface élémentaire et de son aire $dS$, soit, en notant ${\alpha }^{\prime }=\widehat{(-{\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{n}}^{\prime })}$, «$d\mathrm{\Sigma }(r)=$ $dS\cos ({\alpha }^{\prime })$» ou encore «$d\mathrm{\Sigma }(r)=\overrightarrow{dS}\cdot (-{\overrightarrow{u}}_r)$» $\Rightarrow$ «$d\mathrm{\Omega }=-d\omega =-\frac{\overrightarrow{dS}\cdot (-{\overrightarrow{u}}_r)}{r^2}$» ;
Modèle:Alfinalement nous obtenons dans ce cas «$d\mathrm{\Omega }=-d\omega =\frac{\overrightarrow{dS}\cdot {\overrightarrow{u}}_r}{r^2}$».

Modèle:AlConclusion : Quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire d'aire

$dS$

centrée en

$M$

, l'« angle solide

$($

algébrisé

$)$ $d\mathrm{\Omega }$

sous lequel du point

$O$

est vue la surface élémentaire » s'écrit

«$d\mathrm{\Omega }=\frac{\overrightarrow{dS}\cdot {\overrightarrow{u}}_r}{r^2}$» dans lequel
$r=OM$ est la coordonnée radiale de $M$ dans son repérage sphérique de pôle $O$,
${\overrightarrow{u}}_r$ étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à $M$.

Modèle:AlModèle:TransparentL'« angle solide $($algébrisé$)$ $d\mathrm{\Omega }$ sous lequel du point $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$ centrée en $M$» s'écrivant encore «$d\mathrm{\Omega }=\frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r^2}\cdot \overrightarrow{dS}$» quelle que soit l'orientation de la surface élémentaire, nous en déduisons que c'est aussi « le flux élémentaire du champ vectoriel $\frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r^2}$ à travers la surface élémentaire de vecteur surface $\overrightarrow{dS}$».

Définition (équivalente) de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée

Modèle:AlAyant établi d'une part dans le paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface orientée ouverte (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus haut dans ce chapitre que l'« angle solide $($algébrisé ou non$)$ sous lequel du point $O$ est vue une surface ouverte orientée $\left(𝒮\right)$ est une grandeur additive » et

Modèle:AlModèle:Transparentd'autre part dans le paragraphe « expression de l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit une surface élémentaire de vecteur surface fixé (2^ème conclusion) » précédent que l'« angle solide $($algébrisé$)$ $d\mathrm{\Omega }$ sous lequel du point $O$ est vue la surface élémentaire d'aire $dS$ centrée en $M$ $[$de coordonnée radiale $r$ dans son repérage sphérique de pôle $O$, le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à $M$ étant ${\overrightarrow{u}}_r]$ est le flux élémentaire du champ vectoriel $\frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r^2}$ à travers la surface élémentaire de vecteur surface $\overrightarrow{dS}$» c'est-à-dire «$d\mathrm{\Omega }=\frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r^2}\cdot \overrightarrow{dS}$»,

Modèle:Alnous en déduisons une définition $($équivalente$)$ de l'« angle solide $($algébrique$)$ $\mathrm{\Omega }$ sous lequel du point $O$ est vue une surface ouverte orientée $\left(𝒮\right)$» comme « flux du champ vectoriel $\frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r^2}$ à travers la surface ouverte orientée $\left(𝒮\right)$» :

Modèle:Définition Modèle:AlRemarque : Ci-dessus nous avons établi que la définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel du point $O$ est vue la surface ouverte orientée $\left(𝒮\right)$ du paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée » $\Rightarrow$ la définition de ce paragraphe,
Modèle:AlModèle:Transparentpour affirmer l'équivalence des deux définitions il conviendrait d'établir la réciproque à savoir que
Modèle:AlModèle:Transparentle « flux du champ vectoriel $\frac{{\overrightarrow{u}}_r}{r^2}$ à travers la surface ouverte orientée $\left(𝒮\right)$» $[r$ étant la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle $O$ du point générique $M$ de $\left(𝒮\right)$ et ${\overrightarrow{u}}_r$ le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à $M]$ mesure algébriquement l'« intérieur du cône $\left(K\right)$ de somment $O$ s'appuyant sur le contour fermé $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ limitant $\left(𝒮\right)$» mais
Modèle:AlModèle:Transparentl'établissement de la réciproque ne présentant aucune difficulté est laissé au soin du lecteur $\dots$

Expression de l'angle solide mesurant l'intérieur d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α à partir du sommet du cône

Schéma de description d'un cône de révolution de sommet $O$, d'axe $Oz$ et demi-angle au sommet $\alpha$ avec repérage sphérique de pôle $O$ des directions intérieures au cône

Modèle:AlConsidérons un cône de révolution $\left(K\right)$, de sommet $O$, d'axe $Oz$ et de demi-angle au sommet $\alpha$ $[$les génératrices du cône $\left(K\right)$ étant des demi-droites ne sont pas limitées du côté opposé au sommet, contrairement à la représentation qui en est faite ci-contre$]$, chaque direction intérieure au cône $\left(K\right)$ étant repérée par sa « colatitude $\theta \in [0,\alpha [$» et sa « longitude $\phi \in [0,2\pi [$»,

Modèle:Alnous nous proposons d'évaluer l'« angle solide $($non algébrisé$)$ $\omega$ mesurant l'intérieur de ce cône de révolution $\left(K\right)$» à l'aide du résultat obtenu au paragraphe « expression en coordonnées sphériques de l'angle solide (algébrique) mesurant l'intérieur du cône élémentaire d'axe repéré en sphérique par (θ,_φ) à dθ et dφ près (avant algébrisation) » plus haut dans ce chapitre à savoir «$d\omega =\sin (\theta )|d\theta ||d\phi |$».

Modèle:AlAyant justifié dans le paragraphe « définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une surface ouverte orientée (caractère additif de la notion d'angle solide) » plus haut dans ce chapitre qu'« un angle solide

$($

algébrisé ou non

$)$

est une grandeur additive » nous en déduisons
Modèle:All'expression de l'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$ $\omega$

mesurant l'intérieur de ce cône de révolution

$\left(K\right)$

» sous forme de l'intégrale surfacique sur la portion de sphère

$\left(\mathrm{\Sigma }\right)$

de centre

$O$

, de rayon

$R$

quelconque, limitée par le contour fermé

$\left(K\right)\cap \left(\mathrm{\Sigma }\right)$

, portion de sphère notée

$\left(\mathrm{\Delta }\mathrm{\Sigma }\right)$

,

«$\omega =\underset{\left(\mathrm{\Delta }\mathrm{\Sigma }\right)}{\iint }d\omega (\theta ,\phi )=\underset{\left(\mathrm{\Delta }\mathrm{\Sigma }\right)}{\iint }\sin (\theta )|d\theta ||d\phi |$» qui s'intégre selon $\omega =\underset{\phi =0}{\overset{\phi =2\pi }{\int }}[\underset{\theta =0}{\overset{\theta =\alpha }{\int }}\sin (\theta )d\theta ]d\phi$

$=\underset{\phi =0}{\overset{\phi =2\pi }{\int }}d\phi \times \underset{\theta =0}{\overset{\theta =\alpha }{\int }}\sin (\theta )d\theta$

$=2\pi \times {[-\cos (\theta )]}_0^{\alpha }$

soit finalement

l'« angle solide $($non algébrisé$)$ $\omega$ mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet $O$ et de demi-angle au sommet $\alpha$»
«$\omega =2\pi [1-\cos (\alpha )]$» $($résultat utile à connaître$)$.

Modèle:AlApplications :

$\succ$

L'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$

mesurant l'espace tridimensionnel entier à partir d'un point

$O$

quelconque » est aussi l'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$

mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet

$O$

et de demi-angle au sommet

$\pi$

» d'où

${\omega }_{\text{espace entier}}=2\pi [1-\cos (\pi )]$

soit

«${\omega }_{\text{espace entier}}=4\pi sr$» $($à connaître$)$. $\succ$

L'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$

mesurant l'espace tridimensionnel situé d'un même côté de plan à partir d'un point

$O$

situé de l'autre côté du plan

$($

c'est-à-dire un demi-espace

$)$

» est aussi l'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$

mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet

$O$

et de demi-angle au sommet

$\frac{\pi }{2}$

» d'où

${\omega }_{\text{demi-espace}}=2\pi [1-\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)]$

soit

«${\omega }_{\text{demi-espace}}=2\pi sr$» $($à connaître$)$. $\succ$

L'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$

sous lequel d'un point

$O$

est vu un disque

$\left(𝒟\right)$

, de centre

$C$

, de rayon

$R$

, d'axe

$\mathrm{\Delta }$

passant par

$O$

tel que

$OC=h$

» est aussi l'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$

mesurant l'intérieur du cône de révolution de sommet

$O$

et de demi-angle au sommet

$\alpha =\arctan \left(\frac{R}{h}\right)$

» d'où

${\omega }_{\left(𝒟\right)\text{vu de }O}=2\pi \{1-\cos [\arctan \left(\frac{R}{h}\right)]\}$

soit

«${\omega }_{\left(𝒟\right)\text{vu de }O}=2\pi (1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}})sr$».

Utilisation des symétries de l'espace pour évaluer des angles solides

Modèle:AlPréliminaire : Il faut entendre ici par « symétrie » de l'espace, le fait qu'à partir d'un même point $O$ l'espace entier $($ou une partie de ce dernier$)$ peut être décomposé en $n$ parties disjointes ${𝒫}_k$ semblables avec $n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$, la symétrie étant alors dite d'ordre $n$ ;
Modèle:AlModèle:Transparentla similitude de chaque partie ${𝒫}_k$ vue du point $O$ $\Rightarrow$ l'identité des angles solides $($non algébrisés$)$ ${\omega }_k$ sous lequel de $O$ est vue chaque partie ${𝒫}_k$ soit «${\omega }_k=cste\mathrm{\forall }k\in \left[[1,n]\right]$» ;
Modèle:AlModèle:Transparentconnaissant l'angle solide sous lequel du point $O$ est vu l'espace entier $($ou une partie de ce dernier$)$ et utilisant le caractère additif de la notion d'angle solide, nous en déduisons que l'« angle solide $($non algébrisé$)$ ${\omega }_k$ sous lequel de $O$ est vue chaque partie ${𝒫}_k$ vaut $\frac{1}{n}$ de l'angle solide sous lequel de $O$ est vu l'espace entier » $($ou une partie de ce dernier$)$.

Modèle:AlExemples :

$\succ$

Utilisation d'une symétrie d'ordre deux

$($

ou symétrie orthogonale par rapport à un plan

$)$

,
Modèle:AlModèle:Transparentl'espace tridimensionnel situé de part et d'autre d'un plan

$\left(\mathrm{\Pi }\right)$

passant par

$O$

peut être décomposé en

$2$

parties disjointes

$[$

à l'exception du plan

$\left(\mathrm{\Pi }\right)]$

, celles situées d'un côté ou de l'autre de

$\left(\mathrm{\Pi }\right)$

, ces deux parties étant symétriques l'une de l'autre par rapport à

$\left(\mathrm{\Pi }\right)$

sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide

$($

non algébrisé

$)$

sous lequel de

$O$

elles sont vues

${\omega }_{\text{demi-espace}}$

» ; nous en déduisons que l'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$ ${\omega }_{\text{demi-espace}}$

sous lequel de

$O$

est vue la partie d'espace située d'un même côté du plan

$\left(\mathrm{\Pi }\right)$

passant par

$O$

vaut

$\frac{1}{2}$

de l'angle solide sous lequel de

$O$

est vu l'espace entier » d'où

«${\omega }_{\text{demi-espace}}=\frac{1}{2}{\omega }_{\text{espace entier}}=2\pi sr$». $\succ$

Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre

$($

ou invariance par rotation d'angle

$\frac{\pi }{2}$

autour d'un même axe

$)$

,
Modèle:AlModèle:Transparentle demi-espace tridimensionnel situé d'un même côté d'un plan

$\left(\mathrm{\Pi }\right)$

passant par

$O$

peut être décomposé en un ensemble ordonné de

$4$

parties

$\{$

se déduisant respectivement par rotation autour d'un axe

$\left(\mathrm{\Delta }\right)\perp$

à

$\left(\mathrm{\Pi }\right)$

en

$O$

d'angle

$\frac{\pi }{2}\}$

disjointes

$[$

à l'exception du plan

$\left(\mathrm{\Pi }\right)$

et de l'axe

$\left(\mathrm{\Delta }\right)]$

, ces quatre parties se déduisant les unes des autres par rotation autour de

$\left(\mathrm{\Delta }\right)$

d'angle

$\frac{\pi }{2}$

sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide

$($

non algébrisé

$)$

sous lequel de

$O$

elles sont vues

${\omega }_{\text{int. trièdre rect.}}$

» ; nous en déduisons que l'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$ ${\omega }_{\text{int. trièdre rect.}}$

sous lequel de

$O$

est vue la partie d'espace située à l'intérieur d'un trièdre rectangle d'origine

$O$

vaut

$\frac{1}{4}$

de l'angle solide sous lequel de

$O$

est vu le demi-espace » d'où

«${\omega }_{\text{int. trièdre rect.}}=\frac{1}{4}{\omega }_{\text{demi-espace}}=\frac{1}{4}\left(2\pi \right)=\frac{\pi }{2}sr$» $\{$c'est aussi le «$\frac{1}{8}$ de l'angle solide sous lequel de $O$ est vu l'espace entier »$\}$. $\succ$

Utilisation d'une symétrie d'ordre quatre

$($

ou invariance par rotations d'angle

$\frac{2\pi }{3}$

autour d'au moins deux axes

$)$

,
Modèle:AlModèle:Transparentl'espace tridimensionnel vu à partir du centre

$O$

d'un tétraèdre régulier peut être décomposé en

$4$

parties

$\{$

trois d'entre elles se déduisant respectivement par rotation d'angle

$\frac{2\pi }{3}$

autour d'un axe issu de

$O$

passant par un sommet du tétraèdre et la 4^ème se déduisant de n'importe laquelle des précédentes par rotation d'angle

$\frac{2\pi }{3}$

autour d'un autre axe issu de

$O$

passant le sommet adéquat

$\}$

disjointes

$[$

à l'exception des quatre demi-droites issues de

$O$

passant par l'un des sommets du tétraèdre

$]$

, ces quatre parties se déduisant les unes des autres par rotation d'angle

$\frac{2\pi }{3}$

sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide

$($

non algébrisé

$)$

sous lequel de

$O$

elles sont vues

${\omega }_{\text{int. face tétraèdre}}$

» ; nous en déduisons que l'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$ ${\omega }_{\text{int. face tétraèdre}}$

sous lequel de

$O$

est vue une face quelconque du tétraèdre régulier de centre

$O$

vaut

$\frac{1}{4}$

de l'angle solide sous lequel de

$O$

est vu l'espace entier » d'où

«${\omega }_{\text{int. face tétraèdre}}=\frac{1}{4}{\omega }_{\text{espace entier}}=\pi sr$». $\succ$

Utilisation d'une symétrie d'ordre six

$($

ou invariance par rotations d'angle

$\frac{\pi }{2}$

autour d'au moins deux axes

$)$

,
Modèle:AlModèle:Transparentl'espace tridimensionnel vu à partir du centre

$O$

d'un cube peut être décomposé en

$6$

parties

$\{$

quatre d'entre elles

$({}_1,{}_2,{}_3,{}_4)$

se déduisant respectivement par rotation d'angle

$\frac{\pi }{2}$

autour d'un axe issu de

$O$

passant par le centre d'une des faces du cube et les deux autres s'obtenant à partir de deux des précédentes n'ayant que

$O$

comme point commun

$[$

par exemple

$({}_1,{}_3)]$

par rotation d'angle

$\frac{\pi }{2}$

autour d'un axe issu de

$O$

passant par le centre d'une des deux faces incluses dans l'une des deux parties

$({}_2,{}_4)\}$

disjointes

$[$

à l'exception des huit demi-droites issues de

$O$

passant par l'un des sommets du cube

$]$

, ces six parties se déduisant les unes des autres par rotation d'angle

$\frac{\pi }{2}$

sont semblables et sont mesurées par le « même angle solide Modèle:Nobr algébrisé

$)$

sous lequel de

$O$

elles sont vues

${\omega }_{\text{int. face cube}}$

» ; nous en déduisons que l'« angle solide

$($

non algébrisé

$)$ ${\omega }_{\text{int. face cube}}$

sous lequel de

$O$

est vue une face quelconque du cube de centre

$O$

vaut

$\frac{1}{6}$

de l'angle solide sous lequel de

$O$

est vu l'espace entier » d'où

«${\omega }_{\text{int. face cube}}=\frac{1}{6}{\omega }_{\text{espace entier}}=\frac{2\pi }{3}sr$».

Définition de l'angle solide (algébrique) sous lequel de O on voit une courbe fermée orientée

Schémas de définition des orientations couplées d'une surface ouverte $\left(𝒮\right)$ et de la courbe fermée $\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ sur laquelle s'appuie la surface $\left(𝒮\right)$

Modèle:AlRappel des orientations couplées entre contour fermé et surface ouverte s’appuyant sur le contour : Supposant que l'espace tridimensionnel est orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe, nous appliquons la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la surface ouverte $(𝒮)$ à partir de celle de la courbe fermée $(\mathrm{\Gamma })$ la limitant $($voir schémas ci-contre$)$ :

Modèle:Al« plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point $P_{\mathrm{\Gamma }}$ de $(𝒮)$ limitrophe de $(\mathrm{\Gamma })$ et le tournant dans le sens choisi sur $(\mathrm{\Gamma })$, le sens défini sur $(𝒮)$ en $P_{\mathrm{\Gamma }}$ correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur $(𝒮)$ en tout autre point $M$ étant obtenu par continuité »

Modèle:AlModèle:Transparent$[$nous pouvons aussi appliquer la règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier, le pouce pointant le sens choisi sur $(\mathrm{\Gamma })$ en un point $P$ de cette dernière, l'index pointant un point $M$ de $(𝒮)$ à partir de $P$ et le majeur pointant le sens défini sur $(𝒮)$ en $M]$.

Modèle:AlModèle:TransparentRemarque : dans l'hypothèse $($très peu fréquente$)$ où l'espace tridimensionnel est orienté à gauche avec choix d'une base orthonormée indirecte $($au sens de la physique$)$, nous utilisons la règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher, le pouce pointant le sens choisi sur $(\mathrm{\Gamma })$ en un point $P$ de cette dernière, l'index pointant un point $M$ de $(𝒮)$ à partir de $P$ et le majeur pointant le sens défini sur $(𝒮)$ en $M$, ce qui donne un sens opposé à celui obtenu dans un espace tridimensionnel orienté à droite avec choix d'une base orthonormée directe.

Propriétés

Modèle:Proposition Modèle:AlJustification : En effet si nous modifions la surface ouverte en gardant le même contour, le cône s'appuyant sur le contour reste le même et par suite l'ange solide $($non algébrisé$)$ reste inchangé ; si les orientations des surfaces ouvertes s'appuyant sur le contour restent couplées à celle du contour, l'algébrisation de l'angle solide n'est pas modifiée.

Modèle:Proposition Modèle:AlJustification : En effet si nous modifions la courbe fermée en gardant le même cône, l'ange solide $($non algébrisé$)$ reste inchangé ; si les orientations des courbes fermées sont dans le même sens, l'algébrisation de l'angle solide n'est pas modifiée.