Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques

Définitions

Sinus hyperbolique

Modèle:Remarque

Tangente hyperbolique

Modèle:Remarque

Propriétés

Relation fondamentale

Cette relation possède une interprétation géométrique.

Variations

Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Propriété (Démonstration immédiate.)

Limites

Limite en $-\mathrm{\infty }$	Limite en $+\mathrm{\infty }$
$\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }\cosh =+\mathrm{\infty }$	$\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }\cosh =+\mathrm{\infty }$
$\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }\sinh =-\mathrm{\infty }$	$\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }\sinh =+\mathrm{\infty }$
$\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }\tanh =-1$	$\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }\tanh =1$

Comparaison avec la trigonométrie circulaire

On remarque une grande symétrie des définitions entre les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :

Trigonométrie circulaire	Trigonométrie hyperbolique
$\cos x=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}$	$\cosh x=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$
$\sin x=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$	$\sinh x=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$
$\tan =\frac{\sin }{\cos }$	$\tanh =\frac{\sinh }{\cosh }$
${\cos }^2+{\sin }^2=1$	${\cosh }^2-{\sinh }^2=1$
${\cos }^{\prime }=-\sin$	${\cosh }^{\prime }=\sinh$
${\sin }^{\prime }=\cos$	${\sinh }^{\prime }=\cosh$
${\tan }^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2}=1+{\tan }^2$	${\tanh }^{\prime }=\frac{1}{{\cosh }^2}=1-{\tanh }^2$

On se demande alors s'il n'y aurait pas un moyen pratique facile de passer d'une trigonométrie à l'autre.

Lien avec la trigonométrie complexe

Les fonctions $\cos$, $\sin$, $\cosh$ et $\sinh$ sont définies Modèle:Supra à partir de la fonction exponentielle donc sont en fait, comme elle, définies non seulement sur $ℝ$ mais sur $ℂ$, et sont alors (par définition même) reliées par les formules suivantes : Modèle:Propriété

Ces relations expliquent et justifient la « recette de cuisine » de la section précédente et dispensent de sa troisième étape (« on fait la preuve »).