Oscillateurs/Oscillations amorties par un frottement fluide

Équation du mouvement

En plus de la force de rappel, la particule est soumise à une force de frottement $\overrightarrow{f}=-b\overrightarrow{v}$.

On applique le principe fondamental de la dynamique et on projette sur l'axe horizontal :

$m\ddot{x}=-b\dot{x}-kx$

$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$

On réécrit cette équation sous la forme canonique suivante :

$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$

avec ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$ et $2\beta =\frac{b}{m}$.

C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants.

Régimes de fonctionnement

L'équation caractéristique de l'équation différentielle est :

$r^2+2\beta r+{\omega }_0^2=0$

Le discriminant Δ est :

$\mathrm{\Delta }=4{\beta }^2-4{\omega }_0^2=4({\beta }^2-{\omega }_0^2)$

Son signe détermine la nature du régime de fonctionnement.

Amortissement fort

Considérons le cas Δ > 0, l'équation caractéristique admet alors deux racines réelles négatives :

$r_1=\frac{-2\beta -2\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}=-\beta -\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$

$r_2=\frac{-2\beta +2\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}=-\beta +\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$

La solution générale est de la forme :

$x(t)=A{e}^{r_{1}t}+B{e}^{r_{2}t}$

On détermine les constantes A et B à l'aide des conditions initiales. Le régime est apériodique et consiste en un retour vers la position d'équilibre sans oscillation.

Amortissement faible

Considérons le cas Δ < 0, les racines de l'équation caractéristique sont alors complexes et conjuguées :

$\{\begin{array}{c}{r}_1=-\beta -i\omega \\ r_2=-\beta +i\omega \end{array}$avec $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$

La solution générale est de la forme :

$x(t)=A_1{e}^{r_{1}t}+A_1{e}^{r_{2}t}=A{e}^{-\beta t}\cos (\omega t+\varphi )$

On détermine les constantes A et φ à l'aide des conditions initiales. Le régime est pseudo-périodique et consiste en une oscillation sinusoïdale dont l'amplitude décroît exponentiellement avec le temps.

La pseudo période est :

$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}}=\frac{2\pi }{{\omega }_0\sqrt{1-\frac{{\beta }^2}{{\omega }_0^2}}}=$

La période est toujours supérieure à la pseudo période T₀ : T > T₀

Si l'amortissement est très faible $\frac{\beta }{{\omega }_0}\ll 1$ et alors $T\simeq T_0$

Amortissement critique

Le cas intermediaire est le cas où Δ = 0, ce qui correspond à β = ω₀. L'équation caractéristique admet alors une racine double r = ω₀ . La solution générale de l'équation différentielle est :

$x(t)=(At+B)e^{-{\omega }_{0}t}$

Cette situation correspond au retour à l'équilibre sans oscillations le plus rapide.

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