Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre

Remarques :

• Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques décrivant des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
• Néanmoins on utilisera la lettre $t$ comme variable dans ce chapitre.

Exemples

1. $y^{″}+y^{\prime }-2y=t-1$
2. $y^{″}+4y=\sin (t)$

Espace vectoriel

L'ensemble des solutions de $(E_0)$ est un espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

Exemples

Donner les équations caractéristiques $(E_c)$ des équations différentielles homogènes suivantes :

• $(E_1):y^{″}+y^{\prime }-2y=0$
• $(E_2):y^{″}+4y^{\prime }=0$

Résolution

On suppose ici que les coefficients $a,b,c$ sont réels, et l'on cherche les fonctions qui sont solutions de $(E_0)$. Pour cela, il faut exprimer l'équation caractéristique en fonction des coefficients $a,b,c$ et effectuer le calcul suivant : $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ Modèle:Théorème

Équation avec second membre

Remarque : Le problème revient à trouver une solution particulière de $(E)$, ce qui n’est pas toujours évident.

Cas particulier où $d(t)={\mathrm{e}}^{\lambda t}P(t)$

Remarque

Ce cas particulier inclut, pour $\lambda =0$, la présence d'un second membre simplement polynomial.

Ce cas particulier inclut également les fonctions trigonométriques.

En effet, $\sin (t)=\mathrm{Im}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right)$ et $\cos (t)=\mathrm{Re}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\right)$.

Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

Exemple

Déterminer une solution générale de $(E)$ :

$y^{″}+3y^{\prime }+2y=3t+7$

La condition initiale

• L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.

• Le sens physique de cette remarque est très intuitif :

- un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction $f$

- pour déterminer cette fonction, il faut donner une valeur fixe à $f(0)$ et une autre valeur fixe à $f^{\prime }(0)$.

C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.

Exemple

Déterminer la solution unique de $(E)$ vérifiant les conditions initiales données :

$(E):y^{″}+4y^{\prime }-5y=10$

$y(0)=4$

$y^{\prime }(0)=0$