Module sur un anneau/Exercices/Modules libres

Exercice 1

Modèle:Wikipédia Soient $A$ un anneau intègre et $M$ un $A$-module. Un vecteur $m\in M$ est dit de torsion s'il existe un scalaire $a\in A$ non nul tel que $am=0$.

Montrer que l'ensemble ${\mathrm{Tor}}_A(M)$ des éléments de torsion de $M$ est un sous-module. Modèle:Solution

Exercice 2

Soient $A$ un anneau principal et $M$ un $A$-module sans torsion (c'est-à-dire tel que le sous-module ${\mathrm{Tor}}_A(M)$ soit réduit au vecteur nul). Montrer que si $M$ est de type fini, alors il est libre de rang fini. Modèle:Solution

Exercice 3

Soient $A$ un anneau principal et $M$ un $A$-module de type fini. Montrer que $M\simeq A^r\oplus {\mathrm{Tor}}_A(M)$ pour un certain $r\in \mathbb{N}$. Modèle:Solution