Matrice/Produit matriciel

Modèle:Clr Modèle:Wikipédia Nous allons introduire dans ce chapitre la notion de produit matriciel. Cette notion n'est pas immédiate ; il faudra prendre soin de bien la maîtriser. Modèle:Clr

Multiplication par un scalaire

Avant de se lancer dans les choses difficiles, on peut compléter de façon très naturelle la structure définie au chapitre précédent.

Produit de matrices

Modèle:Définition Plus explicitement :

$AB=\left(\begin{array}{cccc}\sum _{k=1}^n{a}_{1,k}{b}_{k,1}& \sum _{k=1}^n{a}_{1,k}{b}_{k,2}& \cdots & \sum _{k=1}^n{a}_{1,k}{b}_{k,p}\\ \sum _{k=1}^n{a}_{2,k}{b}_{k,1}& \sum _{k=1}^n{a}_{2,k}{b}_{k,2}& \cdots & \sum _{k=1}^n{a}_{2,k}{b}_{k,p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \sum _{k=1}^n{a}_{m,k}{b}_{k,1}& \sum _{k=1}^n{a}_{m,k}{b}_{k,2}& \cdots & \sum _{k=1}^n{a}_{m,k}{b}_{k,p}\end{array}\right)$.

Exemples

Le lecteur est invité à reproduire et compléter ces exemples, à titre d'exercice.

Matrice identité

Il existe une matrice carrée de taille n qui, multipliée par toute autre matrice pour laquelle le produit existe, ne la modifie pas :

On montre facilement : Modèle:Propriété

Structure d'anneau

Puisqu'en général le produit matriciel est une application de ${\mathrm{M}}_{m,n}\left(K\right)\times {\mathrm{M}}_{n,p}\left(K\right)$ dans ${\mathrm{M}}_{m,p}\left(K\right)$, il est en particulier une loi interne sur ${\mathrm{M}}_n\left(K\right)$. Cette loi n'est pas commutative (cf. Exemple 3) mais elle est associative, admet un élément neutre ${\mathrm{I}}_n$, et elle est distributive par rapport à l'addition.

Toutes ces propriétés sont immédiates sauf peut-être l'associativité, que nous admettons provisoirement (on peut la prouver soit par un calcul élémentaire mais illisible à moins de l'écrire soi-même, soit de façon plus conceptuelle, cf. [[../Matrice d'une application linéaire|chapitre « Matrice d'une application linéaire »]]). On les résume par :

Remarquons de plus que, dans ce contexte, le produit par un scalaire $\lambda$ Modèle:Supra n'est autre que le produit par la matrice scalaire $\lambda {\mathrm{I}}_n$. Ainsi, si K est un corps commutatif (comme $ℝ$ ou $ℂ$), alors ${\mathrm{M}}_n\left(K\right)$ est une algèbre sur ce corps, et les matrices diagonales forment une sous-algèbre (en particulier : $\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)\mathrm{diag}(b_1,\dots ,b_n)=\mathrm{diag}(a_1{b}_1,\dots ,a_n{b}_n)$). Tout est donc bel et bon… sauf que :

Modèle:Remarque Modèle:Exemple Nous étudierons en détail ce problème au [[../Inverse|chapitre « Inverse »]]. Pour « préparer le terrain », nous parlerons, dans les deux chapitres qui suivent, du déterminant d'une matrice carrée et d'abord, plus accessoirement, de la transposée d'une matrice quelconque.

Remarques

Il existe d'autres « produits » de matrices, comme le produit de Hadamard ou le produit de Kronecker (ou produit tensoriel). Nous ne les aborderons pas dans le cadre de cette leçon.

Le produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne est un nombre. Ce nombre est le produit scalaire des deux vecteurs.

L'efficacité algorithmique du produit matriciel est toujours l’objet de recherches actuelles. L'algorithme manuel présenté dans ce chapitre possède une complexité en O(n³). L'algorithme de Coppersmith-Winograd (1990) possède une complexité en O(n^2,376), mais n'est réellement efficace que pour de très grosses matrices.