Matrice/Exercices/Relations entre matrices

Modèle:Exercice Soit $K$ un corps commutatif. Modèle:Clr

Exercice 5-1

Soient A et B deux matrices carrées de même taille.

1. Montrer que si A ou B est inversible alors AB et BA sont semblables.
2. Montrer par un contre-exemple que cette hypothèse d'inversibilité est indispensable.

Exercice 5-2

Soient $A,B\in {\mathrm{M}}_{m,n}(K)$.

1. Démontrer que si $A$ et $B$ sont équivalentes alors elles ont même rang.
2. Démontrer la réciproque. Indication : montrer que si $\mathrm{rang}(A)=r$ alors $A$ est équivalente à la matrice (écrite par blocs) $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0_{r,n-r}\\ 0_{m-r,r}& 0_{m-r,n-r}\end{array}\right)$.

Exercice 5-3

1. Quel est l'ensemble des matrices de ${\mathrm{M}}_n(K)$ :
   1. semblables à ${\mathrm{I}}_n$ ?
   2. équivalentes à ${\mathrm{I}}_n$ ?
2. Trouver deux matrices inversibles non semblables, bien qu'ayant même polynôme caractéristique.

Exercice 5-4

Soit $P\in K[X]$ un polynôme unitaire irréductible. Montrer que toutes les matrices carrées à coefficients dans $K$ dont le polynôme caractéristique est $P$ sont semblables. Modèle:Solution