Mathématiques financières/Exercices/Valeur acquise d'une suite de versements en progression arithmétique

On considère une suite de versements sur un compte rémunéré à un taux constant $i$ mais le montant des versements, au lieu d'être fixe, est en progression arithmétique.

Les données du problèmes sont illustrées par l'exemple suivant : une personne place de l'argent sur un compte d'épargne rémunéré à 5 % l'an. Elle verse Modèle:Unité la première année et augmente chaque versement ultérieur de Modèle:Unité. Les 5 premiers versements sont donc de Modèle:Unité, Modèle:Unité, Modèle:Unité, Modèle:Unité et Modèle:Unité. De quelle somme disposera-t-elle quand le cinquième versement sera effectué ? Dans cet exemple simple, il suffit de capitaliser 4 fois Modèle:Unité, 3 fois Modèle:Unité, 2 fois Modèle:Unité, une seule fois Modèle:Unité et aucune fois Modèle:Unité, ce qui donne donc :

Modèle:Unité + Modèle:Unité + Modèle:Unité + Modèle:Unité + Modèle:Unité = Modèle:Unité soit Modèle:Unité.

Revenons au cas général. On notera

$a=a_1$

le montant du premier versement,

$r$

la raison de la suite arithmétique

${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$

des versements, et l'on cherche à calculer la valeur totale

$V_n$

acquise lors du

$n$

-ième versement. Cette somme est illustrée sur le schéma suivant :

thumbs

Les paramètres sont donc $i$, $a$ et $r$ mais au cours des calculs, on allègera les notations en posant $q=1+i$.

1. Démontrer que $V_{n+1}=q{V}_n+a_n+r$.
2. On pose $u_n=V_n-V_{n-1}+\frac{r}{i}$. Vérifier que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge 1}$ est géométrique de raison $q$.
3. En calculant de deux façons la somme $u_n+u_{n-1}+\dots +u_2+u_1$, en déduire l'expression de $V_n$ en fonction de $n$ et des paramètres.
4. Vérifier la formule obtenue, sur l'exemple donné en introduction.
5. Que donne cette même formule si $r=0$ ?