Mathématiques en terminale générale/Examen/Bac S math France 2007

Sujet

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Corrigé des exercices 1, 2 et 5

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Exercice 1

Voir Produit scalaire dans l'espace/Exercices/Exercices#Exercice 2.

Exercice 2

Question 1

Voir Intégration de Riemann/Intégrale et primitives#Intégration par parties.

Question 2

a

On va intégrer $I$ par parties de deux façons.

On choisit d'abord de poser sur l'intervalle $[0,\pi ]$ les fonctions $u$ et $v$ telles que :

• $u^{\prime }:=\exp$, de primitive (par exemple) $u:=\exp$ ;
• $v:=\sin$, de dérivée $v^{\prime }=\cos$.

Les fonctions $u$ et $v$ sont bien dérivables à dérivée continue sur l'intervalle $[0,\pi ]$. On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :

$\begin{array}{cc}I& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x\\ & =[uv{]}_0^{\pi }-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x\\ & =u(\pi )\times 0-u(0)\times 0-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{e}}^x\cos x\mathrm{d}x\\ & =-J.\end{array}$

De même, en posant :

• $u^{\prime }:=\sin$, de primitive (par exemple) $u:=-\cos$ ;
• $v:=\exp$, de dérivée $v^{\prime }=\exp$,

on obtient :

$\begin{array}{cc}I& =-\cos \pi \times {\mathrm{e}}^{\pi }-(-\cos 0)\times {\mathrm{e}}^0-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{e}}^x(-\cos x)\mathrm{d}x\\ & ={\mathrm{e}}^{\pi }+1+J.\end{array}$

b

$-J=I={\mathrm{e}}^{\pi }+1+J$ donc $J=-\frac{e^{\pi }+1}{2}$ et $I=\frac{e^{\pi }+1}{2}$.

Exercice 5

Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe C

Question 1

Soient $u,v:]-1,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ définies par

$v(x)=1+x$ et $u=\ln v$.

Alors (pour tout $x>-1$)

$v^{\prime }(x)=1$ et $u^{\prime }(x)=\frac{v^{\prime }(x)}{v(x)}=\frac{1}{1+x}$ donc

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =1-\frac{\frac{1}{1+x}(1+x)-\ln (1+x)}{(1+x{)}^2}\\ & =\frac{(1+x{)}^2-1+\ln (1+x)}{(1+x{)}^2}.\end{array}$

Question 2

• $x\mapsto (1+x{)}^2$ est strictement croissante sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ ;
• $x\mapsto \ln (1+x)$ est strictement croissante sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ ;
• La somme de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante.

Donc $N$ est strictement croissante sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$.

$N(0)=1^2-1+\ln (1)=0$.

Par conséquent, $N$ est strictement négative sur $]-1,0[$ et strictement positive sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Puisque $f^{\prime }(x)=\frac{N(x)}{(1+x{)}^2}$ est du même signe, on en déduit le tableaux de variations suivant pour $f$ :

$\begin{array}{ccccccc}x& -1& & & 0& & +\mathrm{\infty }\\ \text{Signe de }{f}^{\prime }(x)& \Vert & & -& 0& +& \\ & \Vert & +\mathrm{\infty }& & & & +\mathrm{\infty }\\ f(x)& \Vert & & \searrow & & \nearrow & \\ & \Vert & & & 0& & & \end{array}$

Question 3

Soit $x\in ]-1,+\mathrm{\infty }[$.

$\begin{array}{cc}f(x)=x& \iff x-\frac{\ln (1+x)}{1+x}=x\\ & \iff \frac{\ln (1+x)}{1+x}=0\\ & \iff \ln (1+x)=0\\ & \iff 1+x=1\\ & \iff x=0.\end{array}$

L'unique point d'intersection de $𝒞$ et $𝒟$ est donc l'origine du repère : $O(0,0)$.

Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction Modèle:Formule

Question 1

$f$ est croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ donc

$0\le x\le 4\Rightarrow f(0)\le f(x)\le f(4)\Rightarrow 0\le f(x)\le 4-\frac{\ln 5}{5}\Rightarrow 0\le f(x)<4$.

Question 2

a

b

Montrons par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\in [0,4]$.

• Initialisation : $u_0=4\in [0,4]$.
• Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $u_n\in [0,4]$. Alors, d'après la question B.1, $u_{n+1}=f(u_n)\in [0,4]$.

Le principe de récurrence permet de conclure.

c

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=-\frac{\ln (1+u_n)}{1+u_n}\le 0$ car $u_n\ge 0$.

La suite $(u_n)$ est donc décroissante.

d

Puisque $(u_n)$ est décroissante et minorée (par $0$), elle converge.

e

Puisque la suite est récurrente de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f:[0,4]\to [0,4]$ continue,

sa limite est un réel $\ell \in [0,4]$ tel que $f(\ell )=\ell$,

c'est-à-dire (d'après la question A.3) : $\ell =0$.