Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances

Modèle:Clr 1°  On note $c$ et $s$ les fonctions définies sur $ℝ$ par :

$c(x)=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})s(x)=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x})$

a)  Démontrez que $c$ est paire, que $s$ est impaire, puis que :

$c^2(x)-s^2(x)=1$.

b)  Étudiez chacune de ce fonctions et tracez leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal.

De cette étude, déduisez que :

- pour tout $x>0$, $c(x)>1$ et $c(0)=1$ ;

- pour tout $x>0$, $s(x)>0$ et $s(0)=0$ ;

- pour tout réel $x$, $c^{\prime }(x)=s(x)$ et $s^{\prime }(x)=c(x)$.

Précisez les tangentes aux points d'abscisse zéro.

c)  On note $t$ la fonction définie par :

$t(x)=\frac{s(x)}{c(x)}$.

Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

Déduisez de cette étude que :

- pour tout réel $x$, $-1<t(x)<1$ ;

- pour tout réel $x>0$, $t(x)>0$ et $t(0)=0$.

2°  On note $u$ la fonction définie par :

$u(x)=\frac{\ln c(x)}{x}$

a)  Quel est l'ensemble de définition de $u$ ? Démontrer que $u$ est impaire.

b)  Démontrer que pour tout $x>0$, $u(x)>0$ ; déduisez-en que pour tout $x<0$, $u(x)<0$.

c)  On étudie la limite en zéro de la fonction $u$ ; observez que pour tout $x$ non nul, on peut écrire $u(x)=\frac{v(x)-v(0)}{x-0}$, $v$ étant une fonction à préciser.

Expliquez alors pourquoi $u$ a une limite en zéro. Quelle est-elle ?

On pose alors $u(0)=0$. Dans toute la suite, $u$ désignera la fonction ainsi prolongée sur tout $ℝ$.

d)  $x$ est un réel strictement positif.

Appliquez l'inégalité des accroissements finis à la fonction $v$ entre les réels $0$ et $x$ (la fonction $v$ a été définie en c)).

Démontrez que pour tout réel $x>0$, $0<u(x)<1$.

Déduisez-en que pour tout réel $x<0$, $-1<u(x)<0$.

3°  On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par :

$\{\begin{array}{cc}f(x)=x{[c(x)]}^{\frac{1}{x}},& \text{pour }x\ne 0\\ f(0)=0\end{array}$

a)  Vérifier que pour tout réel $x,f(x)=x{e}^{u(x)}$

Démontrez que :

- pour tout réel $x>0$, $f(x)>0$ et $f(x)>x$ ;

- pour tout réel $x<0$, $f(x)<0$.

Calculez $f(1)$ et $f(-1)$, et démontrez que la fonction $f$ n'est ni paire, ni impaire.

b)  Démontrez que :

- pour tout réel $x>0$, $x<f(x)<\mathrm{e}x$ ;

- pour tout réel $x<0$, $x<f(x)<\frac{x}{\mathrm{e}}$.

c)  Déduisez de ces inégalités que :

$\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{-\mathrm{\infty }}{\lim }f=-\mathrm{\infty }$.

4°  En utilisant la définition d'un nombre dérivé, montrez que $f$ est dérivable en zéro et que $f^{\prime }(0)=1$.

Montrez que pour $x$ non nul, $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{u(x)}(1+t(x)-u(x))$.