Introduction aux mathématiques/Applications

Graphes

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Modèle:Définition

Dans pareil cas, on dit que

• $E$ est l'ensemble de départ ou la source de $f$,
• $F$ l'ensemble d'arrivée ou le but de $f$,
• $\mathrm{\Gamma }$ le graphe de $f$.

Pour un $x\in E$, l'unique $y$ de la définition est appelé image de $x$ par $f$, noté $f(x)$. On note souvent $f:E\to F,x\mapsto f(x)$.
Deux applications sont donc égales ssi elles ont même source, même but et même graphe.
Dans les cas particulier où $F=ℝ$ (resp$ℂ$) on parle de fonction numérique (resp: complexe). Si $E=\mathbb{N}$ on parle de suite d'éléments de $F$.
On appelle identité de $E$, l’application $i{d}_E:E\to E,x\mapsto x$.

Restrictions, prolongements

Soit $f:E\to F$ une application et $A\subset E$.

Composition

Pour plus de détails sur cette section, voir le chapitre « Composition » de la leçon « Opérations sur les fonctions ».

Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$ deux applications. On définit alors l'application composée de $f$ et $g$ par $g\circ f:E\to G,x\mapsto g(f(x))$.

Ainsi la notation $h\circ g\circ f$ est sans ambiguité.

Injections, surjections et bijections

Pour plus de détails sur toute cette section, voir le chapitre « Injection, surjection, bijection » de la leçon « Application (mathématiques) ».

Définitions

Soient $f:E\to F$ une application et $y\in F$.

Exemple : pour $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto x^2$, le réel $-2$ n'a pas d'antécédent alors que $2$ en a deux.

Exercice : Restreindre l’application $f$ de l'exemple précédent au départ et/où à l'arrivée pour la rendre injective/surjective/bijective.

Bijection réciproque

Soit $f:E\to F$ une bijection. Pour tout $y\in F$, on note $f^{-1}(y)$ l'unique $x\in E/f(x)=y$. Ceci permet de définir une application $f^{-1}:F\to E,y\mapsto f^{-1}(y)$. On appelle cete application bijection réciproque de $f$.

On a clairement les deux égalités $f\circ f^{-1}={\mathrm{Id}}_F$ et $f^{-1}\circ f={\mathrm{Id}}_E$. Réciproquement : Modèle:Proposition

Ainsi pour montrer qu'une application est bijective on peut :

• ou bien le faire à la main : à $y$ fixé dans $F$, on montre qu’il existe un seul et unique antécédent ;
• ou bien construire une bijection réciproque (qui s'avère être la bijection réciproque).

Familles

Modèle:Définition

Exemple : une partition évidente de E est $\{A,A^c\}$ valable pour tout $A\subset E$.

Images directes et réciproques

Soit $f:E\to F$ une application.

Définition

Pour $A\subset E$, on appelle image directe de $A$ par $f$ la partie de $F$, notée $f(A)$ et définie par $f(A):=\{y\in F/\mathrm{\exists }x\in A/y=f(x)\}$. En particulier $f(E)$ est appelé l'image de $f$.
Pour $B\subset F$, on appelle image réciproque de $B$ par $f$ la partie de $E$, notée $f^{-1}(B)$ et définie par $f^{-1}(B):=\{x\in E/f(x)\in B\}$.

Remarques :

• $f^{-1}(B)$ est toujours envisageable, même si $f$ n’est pas bijective
• $f^{-1}(F)=E$ alors qu'en générale $f(E)\ne F$. C'est le cas ssi $f$ est surjective.

Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications $𝒫(E)\to 𝒫(F),A\mapsto f(A)$ et $𝒫(F)\to 𝒫(E),B\mapsto f^{-1}(B)$ en fonction de celles de $f:E\to F$.

Fibres

Soit $y\in F$, les ensembles $f^{-1}(\{y\})=\{x\in E/f(x)=y\}$ sont appelés les fibres de $f$. Lorsque $f$ est surjective, elles forment une partition de $E$, exercice dont on reparlera...

Remarques : Dire que $f$ est

• injective équivaut à dire que toute fibre de $f$ a au plus un élément,
• surjective équivaut à dire qu'aucune fibre de $f$ n'est vide,
• bijective équivaut à dire que toute fibre de $f$ est réduite à un singleton.

Quelques propriétés

Modèle:Bas de page