Introduction à la théorie des nombres/Approximation diophantienne et fractions continues

Modèle:Chapitre Soit $x$ un réel.

Approximation d'un réel par des rationnels

Application du principe des tiroirs

On cherche à approcher $x$ par des rationnels $p/q$ « raisonnables » (de dénominateur $q$ et numérateur $p\approx xq$ « pas trop grands »). Comme $\mathbb{Q}$ est dense dans $ℝ$, plus on s'autorise $q$ grand, plus on peut se rapprocher du réel $x$. La taille nécessaire pour $q$ en fonction de l'erreur tolérée dépend de $x$, mais pour tous les réels on a déjà :

Application

On en déduira (dans l'exercice lié) que si $x\notin \mathbb{Q}$, alors il existe une infinité de fractions $p/q$ — et a fortiori de couples $(p,q)$ — vérifiant $|x-p/q|<1/q^2$.

Remarques

• À l'inverse, si $x=a/b\in \mathbb{Q}$ alors, en excluant les solutions triviales $(p,q)=(na,nb)$, il ne reste qu'un nombre fini de solutions Modèle:Infra.
• On verra au chapitre 6 un théorème plus général d'[[../Géométrie des nombres#Théorème de Minkowski pour des formes linéaires|approximation diophantienne simultanée de plusieurs réels]].

Mesure d'irrationalité

Modèle:Définition Plus cette « mesure » est grande, mieux $x$ est approchable par des rationnels différents de $x$, et moins il est algébrique. Plus précisément :

• Elle vaut $1$ si $x\in \mathbb{Q}$ (voir l'[[../Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues#Exercice 2-1|exercice 2-1]]), et elle est supérieure ou égale à $2$ sinon Modèle:Supra.
• Elle est finie si $x$ est algébrique, d'après le théorème de Liouville ci-dessous. Les nombres de Liouville sont donc transcendants.

Modèle:CfExo Exemple de nombre de Liouville : la constante de Liouville $\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{1}{10^{n!}}$ (voir l'exercice lié).

On démontrera en exercice la proposition suivante :

Modèle:Proposition Cette définition équivalente de la mesure d'irrationalité est plus commode pour démontrer le théorème suivant : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Fractions continues

Réduites, ou fractions continues finies

Modèle:Définition La preuve de la propriété suivante est laissée en exercice. Modèle:Propriété

Remarques

• En particulier, $[a_0,\dots ,a_p]=[a_0,\dots ,a_{p-1}+1/a_p]$, ce qui fournit une définition récursive équivalente à la précédente.
• On n'a pas imposé pour l'instant que les $a_i$ soient des entiers, ni pris la précaution de supposer non nulles les quantités qu'on inverse. Cette définition est donc à prendre au sens formel, c'est-à-dire en considérant les $a_i$ comme des indéterminées et en se plaçant dans leur corps de fractions rationnelles. Par exemple :

  $[a_0,a_1,a_2]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}=a_0+\frac{a_2}{a_1{a}_2+1}=\frac{a_0{a}_1{a}_2+a_0+a_2}{a_1{a}_2+1}\in \mathbb{Q}(a_0,a_1,a_2)$.

Les deux fractions continues (finies) d'un rationnel

Pour tout rationnel $r$, l'algorithme d'Euclide fournit un développement de $r$ en fraction continue finie « simple », c'est-à-dire avec $a_0\in \mathbb{Z}$ et $a_i\in {\mathbb{N}}^{*}$ pour $i>0$. Modèle:Démonstration déroulante

Le développement $r=[a_0,\dots ,a_n]$ obtenu ainsi a la particularité que les $a_i$ pour $i>0$ sont même strictement supérieurs à $1$. On en déduit un second développement de $r$ en fraction continue simple, qui n'a plus cette particularité : $r=[a_0,\dots ,a_n-1,1]$.Modèle:CfExoCe sont les deux seuls (cf. exercice lié).

La fraction continue (infinie) d'un irrationnel

Dans l'algorithme d'Euclide ci-dessus, si l'on note $x_j=p_j/p_{j+1}$ (en particulier $x_0=r$), $a_j$ était la partie entière de $x_j$ et $1/x_{j+1}$ sa partie fractionnaire. Pour tout irrationnel $x$, le même algorithme donne une fraction continue simple infinie :

$x_0:=x,a_n:=\lfloor x_n\rfloor ,x_n=:a_n+\frac{1}{x_{n+1}}$.

Ainsi, $x=[a_0,\dots ,a_n,x_{n+1}]$ et l'algorithme ne s'arrête évidemment jamais. L'irrationnel $x_p$ ($>1$ si $p>0$) et sa partie entière $a_p$ sont appelés le quotient complet et le quotient partiel de $x$ d'indice $p$.

Numérateurs et dénominateurs des réduites

On a déjà observé que les réduites associées à une suite $\left(a_n\right)$ s'expriment rationnellement en fonction des $a_i$. On peut systématiser l'exemple qui l'illustrait : Modèle:Définition On obtient ainsi : Modèle:Proposition

Remarques

• Comme dans la définition des réduites Modèle:Supra, ces formules sont à prendre au sens formel, les $a_i$ étant des indéterminées et les $h_p,k_p$ des polynômes en ces indéterminées. On peut donc y remplacer à volonté les indéterminées par des entiers ou même des réels, tant que cela ne remplace pas les dénominateurs par $0$.
• En particulier, pour une fraction continue simple infinie :
  • pour tout $p\ge 0$ : $h_p\in \mathbb{Z}$ et $k_p\in {\mathbb{N}}^{*}$ ;
  • $h_p\wedge k_p=1$ ;
  • la suite d'entiers ${\left(k_p\right)}_{p\ge 1}$ est strictement croissante donc tend vers l'infini.

Bijection entre irrationnels et fractions continues infinies

Les résultats de cette section sont centraux dans la théorie des fractions continues : ils établissent une bijection entre l'ensemble des fractions continues infinies simples et l'ensemble des irrationnels, et montrent au passage que les réduites d'un irrationnel en constituent une « bonne approximation », en un sens qui sera précisé dans la section suivante.

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Meilleure approximation

Remarque

La fraction $p/q$ approche alors mieux $x$, au sens ordinaire (plus faible que celui de la définition), que toute autre fraction de dénominateur plus petit, car

si $q^{\prime }\le q$ et $|q^{\prime }x-p^{\prime }|>|qx-p|$ alors $|x-p^{\prime }/q^{\prime }|>|x-p/q|$.

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Fraction continue d'un irrationnel quadratique

Modèle:Wikipédia
Modèle:Définition Modèle:Théorème Pour un tel développement, on introduit la notation suivante : Modèle:Définition Modèle:Corollaire Modèle:Corollaire