Application (mathématiques)/Exercices/Bijections canoniques

Modèle:Exercice On rappelle que pour tous ensembles $X$ et $Y$, $Y^X$ désigne l'ensemble des applications de $X$ dans $Y$ et $𝒫(X)$ l'ensemble des parties de $X$.

On notera :

• $X\sim Y$ pour « il existe une bijection entre $X$ et $Y$ » ;
• $X_x$ pour l'ensemble $\{x\}\times X$ (pour n'importe quel singleton $\{x\}$) ;
• $X\bigsqcup Y$ pour l'ensemble $X_0\cup Y_1$.

On utilisera que si $x\ne y$ alors $X_x\cap Y_y=\varnothing$.

Exercice 3-1

Soient $f:A\to A^{\prime }$ et $g:B\to B^{\prime }$ deux bijections. Montrer que :

1. $A_x\sim A$ ;
2. $A\times B\sim A^{\prime }\times B^{\prime }$ ;
3. si $A^{\prime }\cap B^{\prime }=\varnothing$ alors $A\bigsqcup B\sim A^{\prime }\cup B^{\prime }$ ;
4. $B^A\sim {B^{\prime }}^{A^{\prime }}$ ;
5. $𝒫(A)\sim 𝒫(A^{\prime })$.

Exercice 3-2

Montrer que :

1. $A\times B\sim B\times A$ ;
2. $A\bigsqcup B\sim B\bigsqcup A$ ;
3. $(A\times B)\times C\sim A\times (B\times C)$ ;
4. $(A\bigsqcup B)\bigsqcup C\sim A\bigsqcup (B\bigsqcup C)$ ;
5. $A\times (B\bigsqcup C)\sim (A\times B)\bigsqcup (A\times C)$ ;
6. $\varnothing \bigsqcup A\sim A$ ;
7. $A^{\{x\}}\sim A$.

Exercice 3-3

Montrer que :

1. $A^{B\bigsqcup C}\sim A^B\times A^C$ ;
2. $(A\times B{)}^C\sim A^C\times B^C$ ;
3. $(A^B{)}^C\sim A^{B\times C}$ ;
4. ${(𝒫(B))}^C\sim 𝒫(B\times C)$ : les applications de $C$ dans $𝒫(B)$ sont en bijection avec les relations de $B$ dans $C$ ;
5. $𝒫(B\bigsqcup C)\sim 𝒫(B)\times 𝒫(C)$.

Exercice 3-4

1. Déterminer $B^{\varnothing }$ et ${\varnothing }^A$.
2. À quelle condition a-t-on $B^A=\varnothing$ ?