Introduction à l'acoustique/Annexe/Équation d'onde pour v

Nous avons montré que, au premier ordre, la pression d'un fluide obéissait à une équation d'onde. En réalité, il en est de même pour la vitesse, ce qui justifie la notion d'impédance acoustique. La preuve est relativement simple, mais utilise intensivement les théorèmes d'analyse vectorielle.

L'équation d'Euler, lorsqu'on néglige le terme convectif, s'écrit :

${\rho }_0\frac{\partial 𝐯}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }p(1)$

Prenons le rotationnel de cette expression :

$𝐫𝐨𝐭\left({\rho }_0\frac{\partial 𝐯}{\partial t}\right)=𝐫𝐨𝐭(-\mathrm{\nabla }p)$

Le rotationnel d'un gradient est nul, donc le membre de droite s'annule. Le rotationnel est linéaire, donc on peut le faire « rentrer » dans la dérivée. Cette équation s'écrit donc :

${\rho }_0\frac{\partial }{\partial t}𝐫𝐨𝐭𝐯=\mathrm{𝟎}$

Ce qui implique :

$𝐫𝐨𝐭𝐯={𝐂}^{𝐭𝐞}$

Le fluide étant au repos à l'instant initial, cette constante est nulle, donc le rotationnel de l'écoulement est identiquement nul, donc il existe une fonction $\varphi$ appelée potentiel des vitesses telle que :

$𝐯=\mathrm{\nabla }\varphi$

Dérivons (1) par rapport au temps :

${\rho }_0\frac{{\partial }^2𝐯}{\partial t^2}=-\mathrm{\nabla }\frac{\partial p}{\partial t}=+\frac{1}{{\chi }_s}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)=\frac{1}{{\chi }_s}\mathrm{\Delta }𝐯$

Avec Δ le laplacien vectoriel. On peut dire cela car on sait que p vérifie une équation d'onde. Finalement, la vitesse vérifie :

$\mathrm{\Delta }𝐯-{\rho }_0{\chi }_s\frac{{\partial }^2𝐯}{\partial t^2}=\mathrm{𝟎}$

Ainsi, la vitesse se « propage » à la vitesse du son.