Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1

Exercice 17-1

On pose :

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^n\sin \pi t\mathrm{d}t(n\in {\mathbb{N}}^{*})$.

1°  Démontrer que :

$\mathrm{\forall }n0<I_n<\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^n\mathrm{d}t$.

2°  Démontrer que :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^n\mathrm{d}t=0$.

3°  En déduire que :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n=0$.

Exercice 17-2

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $t\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$, on pose :

$I_n(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2n+1}x}$.

1°  Prouver qu'il existe des réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ de $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ :

$\frac{1}{\cos x}=(\frac{a}{1-\sin x}+\frac{b}{1+\sin x})\cos x$.

En déduire le calcul de $I_0(t)$.

2°  Démontrer que :

$2n{I}_n(t)=(2n-1)I_{n-1}(t)+\frac{\sin t}{{\cos }^{2n}t}$.

3°  En déduire $I_1(t)$, $I_2(t)$ et $I_2\left(\frac{\pi }{4}\right)$. Modèle:Solution

Exercice 17-3

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :

$f(x)=\frac{1}{x(x+1)}$.

1°  Trouver deux entiers relatifs $a$ et $x$ tels que :

$f(x)=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}$.

En déduire, pour $x$ appartenant à $]0,+\mathrm{\infty }[$, la valeur de :

$F(x):=\underset{1}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

2°  On considère la suite $s$ définie, pour $n$ entier naturel non nul, par :

$s(n)=F(1)+F(2)+\cdots +F(n)$.

Cette suite admet-elle une limite quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ ?

Exercice 17-4

Pour $n\in \mathbb{N}$, soit :

$I_n=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\cos }^n$ ;

$J_n=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\sin }^n$.

1°  Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur à $2$, on a :

$n{I}_n={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}$ ;

$n{J}_n=-{\sin }^{n-1}x\cos x+(n-1)J_{n-2}$.

2°  Calculer $I_2$, $J_2$, $I_5$ et $J_3$.

3°  Peut-on, lorsque $n$ est impair, calculer $I_n$ et $J_n$ à l'aide d'un changement de variable simple ? Modèle:Solution

Exercice 17-5

On considère la fonction $f$ définie, pour $x$ réel positif, par :

$f(x)=x[x-E(x)]$,

où $E$ désigne la fonction partie entière.

1°  Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de $f$ pour $x$ élément de $[0,3[$.

2°  Soit $k$ un entier naturel. Donner l'expression de $f(x)$ pour $x$ élément de $[k,k+1[$, puis calculer $u_k:=\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f$.

En déduire que $(u_n)$ est une suite arithmétique, dont on donnera la raison et le premier terme.

3°  Pour $n\in \mathbb{N}$, calculer $\underset{0}{\overset{n}{\int }}f$. Modèle:Solution

Exercice 17-6

Soit :

$I_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^n(n\in \mathbb{N})$.

1°  Justifier l'existence de $I_n$. Calculer $I_0$ et $I_1$.

2°  Établir une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n-2}$. En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.

3°  On pose :

$v_p={\left(\frac{2\times 4\times \cdots \times (2p)}{3\times 5\times \cdots \times (2p-1)}\right)}^2\frac{1}{2p+1}$.

Démontrer que $v_p$ est une valeur approchée par défaut de $\frac{\pi }{2}$, avec :

$\frac{\pi }{2}-v_p<\frac{v_p}{2p}$.

Exercice 17-7

Pour $n\in \mathbb{N}$ on pose : $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\ln (1+x)\mathrm{d}x$.

1. Calculer $I_0$.
2. Montrer que la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est positive et décroissante (donc convergente).
3. 1. Montrer que pour tous $n\in \mathbb{N}$ et $x\in [0,1]$ on a : $x^n\ln (1+x)\le x^n$.
   2. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $I_n\le \frac{1}{n+1}$.
   3. Calculer la limite de la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.
4. 1. En effectuant une intégration par parties, montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a

      $I_n=\frac{\ln 2}{n+1}-\frac{1}{n+1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x$.

   2. Étudier la convergence de la suite $(n{I}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

Exercice 17-8

Soit $I_n=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}{\tan }^{n}x\mathrm{d}x$ pour $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $I_0$ et $I_1$.
2. Trouver une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n-2}$ pour $n\ge 2$.
3. En déduire $I_{2p}$ et $I_{2p+1}$ pour $p\in \mathbb{N}$.